高三数学教案：函数的和差积商的导数2_第1页
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文档简介

1、函数的和、差、积、商的导数（2）目的要求1 掌握两个函数的商的求导法则.2 能正确运用已学过的导数四则运算法则，求某些简单函数的导数.3 能运用导数的几何意义与物理意义，解决有关的曲线、直线问题及物体运动问题 .教学过程一、复习引入（1）求函数 y=x2 +sinx 的导数 .（2）求函数 y=x2 sinx 的导数 .（3）问题：如何求函数 y=x 2的导数？sin x二、新授1 法则 3 两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方 .u= uvuv （v）vv 20回顾导数定义： f(x) limy = limf ( xx)f (x)x 0xx

2、 0x证明：设 y=f(x)= u( x) ，v(x)0.v( x)则y= u( xx) u( x) u(xx)v( x) u( x)v( xx)v( xx)v( x)v( xx)v(x)u( xx) u(x) v(x) u( x) v(xx) v(x)=v(xx) v( x)yu(xx)u( x) v(x)u( x)v( xx)v( x)xx.=v(xx) v( x)x因为 v(x) 在点 x 处可导，所以 v(x) 在点 x 处连续 .于是当 x0时， v(x+ x )v(x).从而limyu ( x)v(x)u( x)v ( x)即 u= u vuv.x=2.y =vv2x 0v( x)

3、说明：若两个函数可导，则它们的和、差、积、商（商的分母不为0）必可导 .第 1页共 2页若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导.例如，设 f(x)=sinx+ 1 、g(x)=cosx 1 ,则 f(x) 、g(x)在 x=0 处均不可导，xx但它们的和 f(x)+g(x)=sinx+cosx 在 x=0 处可导 .三、范例例 1判断下列求导是否正确，加以改正。1cos x2x(1cos x)x2 sin xx2 =x2例 2 求 y= x2 的导数 . sin x例 3 求 y= x 3 在点 x=3 处的导数 .x 2 3例 4 求 y=tanx 的导数变式练习：求 y=c

4、otx 的导数 .2例 5 求 y 1sinx 的导数sin 2 x解：将函数变形为： y 1sin2 x sin 2sin 2xy（ tanx） 1 （ cotx） sec2 x2x cos2 x sin 2 2sin x cos x1 csc2 x2x tanx 1 cotx2例 6 求 y 3x 2x x 5 x 9 的导数x注：有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简， 然后进行求导 有时可以避免使用商的求导法则， 减少运算量例 7 求曲线 y2x在点（，）处的切线方程x21回顾导数的几何意义：函数y f(x) 在 x 0 处的导数就是曲线 y=f(x) 在点 p(x0 ,f(x) 处的切线的斜率 .例 8 曲线运动方程为 s t 1 2t2 ，求 t3 时的速

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