《复杂网络理论及其应用》读书笔记

1、.复杂网络理论及其应用读书笔记1 引言二十世 ，科学研究的特点是分析的方法， 原 的方法：物理学（牛 力学、 量子力学、 子 、半 体），化学（量子分子 ），生物（双螺旋 构）；建筑工程（ 力 分析） ，。二十一世 （二十世 末），系 成 主要的研究 象，整合成 主要方法。普列高津的耗散 构理 ，哈肯的 同学，混沌和复 系 理 ，系 生物学 。当分析 主要的研究方法 ，人 关注如何将系 “分析” 、“分解”，揭开系 的 部，了解是什么元素或部件 成了系 ，却忽 或破坏了 些元素是如何 合成系 的。 而整合的方法在于了解 部以后，研究“如何 合” 的 。 种方法 致复 网 构的研究。美国 sci

2、ence周刊：“如果 当前流行的、 髦的关 行一番分析，那么人 会 ， “系 ”高居在排行榜上。 ”2 复 网 的 特征如前所述，复 网 具有很多与 网 和随机网 不同的 特征，其中最重要的是小世界效 （ small -world effect ）和无 度特性（ scale -free property）。在网 中，两点 的距离被定 接两点的最短路所包含的 的数目，把所有 点 的距离求平均，就得到了网 的平均距离（ average distance ）。另外一个叫做簇系数（ clustering coefficient）的参数， 用来衡量网 点聚 的情况。比如在朋友关系网中，;.你朋友的朋友很

3、可能也是你的朋友； 你的两个朋友很可能彼此也是朋友。簇系数就是用来度量网络的这种性质的。用数学化的语言来说，对于某个节点，它的簇系数被定义为它所有相邻节点之间连的数目占可能的最大连边数目的比例，网络的簇系数c 则是所有节点簇系数的平均值。研究表明，规则网络具有大的簇系数和大的平均距离，随机网络具有小的簇系数和小的平均距离。1998 年，watts 和 strogatz通过以某个很小的概率 p 切断规则网络中原始的边，并随机选择新的端点重新连接，构造出了一种介于规则网络和随机网络之间的网络（ws 网络），它同时具有大的簇系数和小的平均距离，因此既不能当作规则网络处理，也不能被看作是随机网络。随后

4、，newman 和watts 给出了一种新的网络的构造方法，在他们的网络（ nw 网络）中，原有的连边并不会被破坏， 平均距离的缩短源于以一个很小的概率在原来的规则网络上添加新的连边。 后来物理学家把大的簇系数和小的平均距离两个统计特征合在一起称为小世界效应， 具有这种效应的网络就是小世界网络（ small-world networks）。图 1 ：小世界网络拓扑结构示意图左边的网络是规则的，右边的网络是随机的，中间的网络是在规则网络上加上一点随机的因素而形成的小世界网络，它同时具有大的簇系数和小的平均距离。;.大量的实证研究表明， 真实网络几乎都具有小世界效应， 同时科学家还发现大量真实网络

5、的节点度服从幂率分布， 这里某节点的度是指该节点拥有相邻节点的数目， 或者说与该节点关联的边的数目。 节点度服从幂律分布就是说具有某个特定度的节点数目与这个特定的度之间的关系可以用一个幂函数近似地表示。幂函数曲线是一条下降相对缓慢的曲线， 这使得度很大的节点可以在网络中存在。对于随机网络和规则网络， 度分布区间非常狭窄， 几乎找不到偏离节点度均值较大的点，故其平均度可以被看作其节点度的一个特征标度。在这个意义上，我们把节点度服从幂律分布的网络叫做无标度网络（scale-free networks ），并称这种节点度的幂律分布为网络的无标度特性。1999 年，barabsi 和 albert 给

6、出了构造无标度网络的演化模型,他们所用的方法与 price 的方法是类似的。 barabsi 和 albert 把真实系统通过自组织生成无标度的网络归功于两个主要因素： 生长和优先连接，而他们的网络模型 （ba 网络）正是模拟这两个关键机制设计的。除了小世界效应和无标度特性外，真实网络还有很多统计上的特征，例如混合模式，度相关特性，超小世界性质等等。3 复杂系统与复杂网络3.1 复杂系统与复杂网络的概念系统定义：集合（具体元素）+ 结构 +功能。例：不同角度分析系统，人。系统的结构是：一切系统的基础结构都是网络；一切系统的核心结构都是逻辑网络；复杂系统的结构就是复杂网络。;.复杂网络是构成复杂

7、系统的基本结构，每个复杂系统都可以看作是单元或个体之间的相互作用网络；复杂网络在刻画复杂性方面的重要性是由于结构决定功能的。 复杂网络是研究复杂系统的一种角度和方法，它关注系统中因子相互关联作用的拓扑结构，是理解复杂系统性质和功能的基础。3.2 复杂系统与复杂网络的主要特性：a 开放性。即与环境和其它系统进行相互作用，交换物质、能量、信息，保持和发展系统内部的有序性与结构稳定性。在这种交换中，系统经历着从低级向高级、 从简单到复杂、 从无序向有序的不断优化的动态发展过程。 虽然开放性是所有真实系统的基本属性， 但这里的开放非指一般意义上的相互作用与交流，而开放的度量、性质、强度对复杂系统的性态

8、、 演化具有决定性的意义。 例子，人，城市网络簇。b 涌现性。即内部元素通过非线性相互作用，在宏观层次上产生出新的、元素不具有的整体属性，表现为整体斑图、模式等。虽然涌现同样是所有系统都具有的，但这里涌现意味着新的整体属性的产生。例子， “整体大于部分之和 ”， 大脑的神经网络系统。c 演化性（不可逆性）。即通过与所在环境中的其它系统的相互作用和内部的自组织，使系统发展到新的阶段，表现出阶段性、临界性，完成系统演化的生命周期。例 :社会网络中的人，生物群体的自组织系统（鸟群）。d 复杂性。包括系统的结构、行为、功能等多个方面同时具有的复杂性。结构复杂性表现为多元性， 非对称性，非均匀性，非线性

9、（分;.岔 (bifurcation) , 混沌 (chaos), 分形 fractal）；行为复杂性表现为学习，自适应性，混沌同步，混沌边沿，随机性等等；认识复杂性又称为主观复杂性，它表现为不确定性，描述复杂性与计算复杂性等等。例:神经网络中的突触有强有弱，可抑制也可兴奋。e 网络结构。即系统内部和系统之间的相互作用可以看成由节点、边（连接）构成的体系，出现网络复杂性、小世界特征与无标度特征等。3.3 网络系统的复杂性a 结构复杂性网络连接结构错综复杂、极其混乱，同时又蕴含着丰富的结构：社区、基序、聚集性、生成规律性等等，而且网络连接结构可能是随时间变化的， 例如，www 上每天都不停地有页

10、面和链接的产生和删除。 静态结构的复杂性和结构动态演化的复杂性。例：神经系统由神经元互连形成，连接以“突触连接结构 ”实现，突触有强弱、兴奋与抑制、不同的神经递质；连接不断改变，形成连接结构变化。（重边，加权等）。b 节点复杂性1】节点的独立或固有特性网络中的节点可能是具有分岔和混沌等复杂非线 性行为的动力系统。例如，基因网络中每个节点都具有复杂的时间演化行为。 而且，一个网络中可能存在多种不同类型的节点。 例如，控制哺乳动物中细胞分裂的生化网络就包含各种各样的基质和酶。;.2】关联引发的节点特性当关联失去时这类特性会在节点处消失或改变。例如，耦合神经元重复地被同时激活， 那么它们之间的连接就

11、会加强，这被认为是记忆和学习的基础。3】复杂网络之间相互影响的复杂性实际的复杂网络会受到各种各样因素的影响和作用。 例如，电力网络故障会导致 internet 网速变慢，运输系统失控等一系列不同网络间的连锁反应。4】网络分层结构的复杂性例如，行政管理网络是具有层结构的， 多数网络都有节点的分层结构，只是在许多网络中没有意识到是一种造成复杂性的重要结构。复杂网络是二十一世纪科学研究的思想和理念， 它启发我们用什么观点理解这个世界： 整个世界以及组成世界的任何细部都是由网络及其变化形成的。 复杂网络也是研究复杂系统的一种技术和方法， 它关注系统中个体相互作用的拓扑结构， 是理解复杂系统性质和功能的

12、基本方法。4 复杂网络上的物理过程对于物理学家而言， 研究复杂网络的终极目标是理解网络拓扑结构对物理过程的影响。 在以前的研究中， 物理学家往往忽略了网络的拓扑性质，在讨论逾渗、传播、同步等物理过程时，他们自然地选择了最容易模拟和分析的规则网络或者随机网络， 而没有仔细思考和研究这种选择是不是应该的， 不同的选择会不会对物理过程产生不可忽;.略的影响。以网络上的传播动力学模型为例， 由于传统的网络传播模型大都是基于规则网络的， 因此，复杂网络不同统计特征的发现使科学家面临更改既有结论的危险。 当然，如果理论研究和实验结果都说明复杂网络上的传播动力学行为与规则网络别无二致， 那么我们至少暂时还可

13、以心安理得地使用以前的结论。但是，不幸的是，复杂网络上的传播行为与规则网络相比确实存在根本上的不同。 类似的情况还出现在其他的物理过程中， 下面我们将简略地介绍网络拓扑性质对某些典型物理过程的影响。逾渗模型与疾病传播动力学 。之所以在这里把逾渗模型和网络上的疾病传播动力学问题归在一起讨论， 是因为网络上的疾病传播模型可以等价于键逾渗模型。 以前的基于规则网络的研究表明， 疾病在网络中的平均波及范围与疾病的传染强度正相关， 而疾病的传染强度有一个阈值，只有当其值大于这个阈值时， 疾病才能在网络中长期存在，否则感染人数会指数衰减。根据这个理论，疾病若是持久存在，则必然波及大量个体。但实证研究表明，

14、计算机病毒，麻疹等一般仅波及少数个体但能够长期存在。 这一理论与实证的矛盾在很长时间里一直困扰着科学界。近年来的研究表明在无标度网络中没有正的传播阈值，也就是说即使疾病的传染强度接近零，只波及非常少的个体，也能在网络中长期存在。 由于大部分真实网络是无标度网络， 因此该结论很好地解决了上面的矛盾。混沌同步。近十余年来，混沌动力系统在网络上的同步性能吸引了大量科学家的关注。 早期的研究主要是针对以最近邻环网为代表的规则网络， 研究表明对于给定的非零耦合强;.度，当节点数目很大时网络无法实现同步。最近几年的研究却表明，尽管小世界网络只是在规则网络进行一个非常小的修正的结果， 但其实现混沌同步的能力

15、却远远好于规则网络。 对于小世界上的广义混沌同步与超混沌同步的研究同样表明， 小世界网络有明显好于规则网络的同步能力。物理学家还考察了无标度网络， 研究表明其混沌同步的能力与星形网络几乎是一样的， 这可能是因为它与星形网络都具有很不均匀的节点度分布。沙堆模型与自组织临界性 。网络拓扑结构是否会影响沙堆模型中的自组织临界现象，一直以来就是该领域争论的焦点。 zhou 和 wang 对复杂网络上沙堆模型的研究表明， 沙堆模型中的雪崩动力学性质对网络拓扑结构非常敏感， 相比规则网络， 无标度网络上大雪崩发生更为频繁，最大雪崩的规模也大得多。 物理性质明显依赖于网络拓扑结构的物理过程还很多， 例如随机

16、游走， 玻色爱因斯坦凝聚 49-51 ， xy 临界模型等等。总的来说，物理学家已经开始学会把网络拓扑性质看作影响系统行为的一个特征量，这也很大程度上改变了我们对很多物理过程原有的认识。5 复杂网络研究简史a 格尼斯堡七桥问题。b 随机图理论。 20 世纪 60 年代，由两位匈牙利数学家 erds 和 r nyi建立的随机图理论 （random graph theory）被公认为是在数学上开创了复杂网络理论的系统性研究。 erds 和 rnyi的最重要的发现是： er 随机图的许多重要性质都是突然涌现的。也就是说，对于任;.一给定的概率 p，要么几乎每一个图都具有某个性质 q（比如说，连通性）

17、，要么几乎每一个图都不具有该性质。 在 20 世纪的后 40 年中，随机图理论一直是研究复杂网络的基本理论。c 小世界实验。 20 世纪 60 年代美国哈佛大学的社会心理学家 stanley milgram 通过一些社会调查后给出的推断是： 地球上任意两个人之间的平均距离是 6。这就是著名的 “六度分离 ”（six degrees of separation）推断。为了检验 “六度分离 ”的正确性，小世界实验 bacon 数。美国 virginia 大学计算机系的科学家建立了一个电影演员的数据库，放在网上供人们随意查询。网站的数据库里目前总共存有近 60 万个世界各地的演员的信息以及近 30

18、万部电影信息。通过简单地输入演员名字就可以知道这个演员的 bacon数。有两篇开创性的文章可以看作是复杂网络研究新纪元开始的标志：一篇是美国康奈尔（ cornell）大学理论和应用力学系的博士生 watts 及其导师、非线性动力学专家 strogatz 教授于 1998 年 6 月在 nature 杂志上发表的题为 “小世界 ”网络的集体动力学 （collective dynamics of small-world networks）的文章；另一篇是美国 notre dame 大学物理系的 barabsi 教授及其博士生 albert 于 1999 年 10 月在 science杂志上发表的题

19、为随机网络中标度的涌现（emergence ofscaling in random networks）的文章。这两篇文章分别揭示了复杂网络的小世界特征和无标度性质， 并建立了相应的模型以阐述这些特性的产生机理。;.不同领域的复杂网络：社会网：演员合作网，友谊网，姻亲关系网，科研合作网，email网；生物网：食物链网，神经网，新陈代谢网， 蛋白质网，基因网络；信息网络： www，专利使用，论文引用，计算机共享；技术网络：电力网， internet ，电话线路网；交通运输网：航线网，铁路网，公路网，自然河流网。6 复杂网络研究内容6.11）复杂网络模型典型的复杂网络：随机网、小世界网、无标度网等；

20、实际网络及其分类。2）网络的统计量及与网络结构的相关性度分布的定义和意义，聚集性、连通性的统计量及其实际 意义等。3）复杂网络性质与结构的关系同步性、鲁棒性和稳定性与网络结构的关系。4）复杂网络的动力学信息传播动力学、网络演化动力学、网络混沌动力学。5）复杂网络的复杂结构社团结构、层次结构、节点分类结构等。6）网络控制关键节点控制、主参数控制和控制的稳定性和有效性。7）复杂网络建模;.机理建模、数据建模和实际系统的复杂网络正向与逆向建模。8）复杂逻辑网络逻辑与高阶逻辑定义、分类、判定算法，高阶逻辑的实际意义等等。 f1: ab; f2:(a, b) c;f3:(a, b, c) d a, b,

21、 c, d取布尔值。6.2 复杂网络研究a 突破性进展的主要原因 越来越强大的计算设备和迅猛发展的 internet ，使得人们开始能够收集和处理规模巨大且种类不同的实际网络数据。 学科之间的相互交叉使得研究人员可以广泛比较各种不同类型的网络数据，从而揭示复杂网络的共性。 以还原理论和整体论相结合为重要特色的复杂性科学的兴起，也促使人们开始从整体上研究网络的结构与性能之间的关系。b 研究的主要目标发现：揭示刻画网络系统结构的统计性质， 以及度量这些性质的合适方法。建模：建立合适的网络模型以及理解网络的统计性质的意义与产生机理。分析：基于单个节点的特性和整个网络的结构性质分析与预测网络的行为。控

22、制：提出改善已有网络性能和设计新的网络的有效方法， 特别是稳定性、同步和数据流通等方面。c 复杂网络的基本概念;.度 (degree)：节点 i 的度 ki 定义为与该节点连接的其他节点的数目。直观上看，一个节点的度越大就意味着这个节点在某种意义上越“重要”（“能力大”）。网络的平均度：网络中所有节点的度和的平均值，记作 。事实上， =2q/ p 。度分布函数 p(k):随机选定节点的度恰好为 k 的概率。节点的聚类系数（簇系数）：在简单图中，设节点 v 的邻集为 n(v),|n (v)|= ki，则节点 v 的聚类系数定义为这 ki 个节点之间存在边数 ei 与总的可能边数 ki(ki-1)

23、/2 之比，即：ci=2ei/ ki(ki-1) ，节点 v 的邻点间关系的密切程度。网络的聚类系数 c：所有节点 i 的聚类系数 ci 的平均值。（ 0 c 1）c=0 网络中所有节点都是孤立点； c=1 网络中任意节点间都有边相连，网络节点间联系的密切程度 , 体现网络的凝聚力。许多大规模的实际网络都具有明显的聚类效应。事实上，在很多类型的网络 (如社会关系网络 )中，你的朋友同时也是朋友的概率会随着网络规模的增加而趋向于某个非零常数，即当n时， c=o(1)。这意味着这些实际的复杂网络并不是完全随机的，而是在某种程度上具有类似于社会关系网络中“物以类聚，人以群分 ”的特性。最短路径（ s

24、hortest path）:两个节点之间边数最少的路径，最短路径的长度称为两点。所有节点对之间的距离的平均值。研究发现：尽管许多实际复杂网络的节点数巨大，网络的平均路径长度却小的惊人。（小世界效应）;.点介数：网络中通过该节点的最短路径的条数。边介数：网络中通过该边的最短路径的条数。反映了节点或边的作用和影响力。如果一对节点间共有 b 条不同的最短路径，其中有 b 条经过节点 i，那么节点 i 对这对节点的介数的贡献为 b/b。把节点 i对所有节点对的贡献累加起来再除以节点对总数，就可得到节点i 的介数。类似的，边的介数定义为所有节点对的最短路径中经过该边的数量比例（关键点边！连通性影响？）

25、。介数越大，说明经过该节点（边）的最短路径越多。在信息传播过程中，通过该节点（边）的信息量就越大， 于是就越容易发生拥塞。研究表明，节点介数与度之间有很强的相关性， 不同类型的网络，其介数分布也大不一样。网络点介数，网络边介数： 所有节点（边）的平均介数。核数一个图的 k-核：反复去掉图中度小于等于 k 的节点后，所剩余的子图若一个节点存在于 k-核，而在 (k+1)-核中被去掉，则此节点核数为 k，例：所有度为 1 的节点的核数必为 0，节点核数中的最大值称为网络图的核数，节点核数可以表明节点在核中的深度； 即便一个节点的度数很高，它的核数也可能很小。 例如：包含 n 个节点的星型网络的中心

26、节点的度数为 n-1，但它的核数为 0。7 小世界实验a 六度分离米尔格伦的实验过程是： 他计划通过人传人的送信方式来统计人与人之间的联系。;.首先把信交 志愿者 a，告 他信最 要送 收信人 s。如果他不 s，那么就送信到某个他 的人 b 手里，理由是 a 在他的交集圈里 b 是最可能 s的。但是如果 b 也不 s，那么 b 同 把信送到他的一个朋友 c 手中， ，就 一步步最后信 于到达 s 那里。 就从 a 到 b 到 c 到最后到 s 成了一个 。斯坦利?米 格 就是通 个 做了 后做出了六度分离的 。然而在 个 中， 上只有三分之一的信送到了收信人那里，因此 的完成率很低。我 或 有

27、 的 ： 偶 碰到一个陌生人， 同他聊了一会后 你 的某个人居然他也 ， 然后一起 出” 个世界真小”的感 。那么 于世界上任意两个人来 ，借助第三者、第四者 的 接关系来建立起他 两人的 系平均来 最少要通 多少人呢？美国社会心理学家斯坦利 ?米 格 (stanley milgram)在 1967 年通 一些 后得出 ： 中 的 系人平均只需要 5 个。他把 个 称 “六度分离” 。六度分离 : 平均只要通 5 个人，你就能与世界任何一个角落的任何一个人 生 系。 个 定量地 明了我 世界的”大小” ，或者 人与人关系的 密程度。30 多年来，六度分离理 一直被作 社会心理学的 典范例之一。

28、尽管如此， 上 个理 并没有得到 格的 。 美国心理学教授朱迪斯 ?克 菲 德 (judith kleinfeld) 米 格 最初的 提出不同;.意见，因为她发现实验的完成率极低。b bacon数截止到几天前，世界电影史上共产生了大约23 万部电影， 78 多万名电影演员， kavin bacon在许多部电影中饰演小角色。几年前 ,virginia 大学的计算机专家 brett tjaden 设计了一个游戏，他声称电影演员 kevin bacon是电影界的中心。在游戏里定义了一个所谓的 bacon数：随便想一个演员， 如果他（她）和 kavin bacon一起演过电影， 那么他（她）的 bac

29、on数就为 1；如果他（她）没有和 bacon 演过电影，但是和 bacon 数为 1 的演员一起演过电影，那么他的 bacon 数就为 2；依此类推。发现：在曾经参演的美国电影演员中，没有一个人的 bacon数超过 4。在网上有一个网页 /oracle/ 。网站的数据库里总共存有有 783940 个世界各地的演员的信息以及 231,088 部电影信息。通过简单地输入演员名字就可以知道这个演员的 bacon 数。目前比如输入 stephen chow（周星驰）就可以得到这样的结果： 周星驰在 1991 年的豪门夜宴 (haomen yeyan)

30、 中与洪金宝 (sammo hung kam-bo)合作；而洪金宝又在李小龙的最后一部电影， 即 1978 年的死亡的游戏 （game of death）中与 colleen camp 合作；colleen camp 在去年的电影trapped中与 kevin bacon 合作。这样周星驰的 bacon 数为 3。对 78 万个演员所做的统计：演员的最大bacon 数仅仅为 8，平;.均 bacon数仅为 2.948。c erdos数paul erdos(1913-1996)：是出生于匈牙利的犹太籍数学家，被公认为 20 世纪最伟大的天才之一。erdos 毕生发表的论文超过1500 篇（在数学

31、史上仅次于欧拉(euler ，1707-1783)，超长的合作者名单 ,合作者超过 450 位。但若加上别人所做但曾获他关键性提示之论文，则他的论文应有数万篇。他的研究领域主要是数论和组合数学，但他的论文中涵盖的学科有逼近论、初等几何、集合论、概率论、数理逻辑、格与序代数结构、线性代数、群论、拓扑群、多项式、测度论、单复变函数、差分方程与函数方程、数列、 fourier 分析、泛函分析、一般拓扑和代数拓扑、统计、数值分析、计算机科学、信息论等等。mathematical reviews 曾把数学划分为大约六十个分支，erdos的论文涉及到了其中的40%.erdos 从来没有一个固定的职位，从来

32、不定居在一个地方，也没有结婚，带着一半空的手提箱，穿梭于学术研讨会，浪迹天涯，颇富传奇色彩。有人称他为流浪学者(wande ring scholar)。他效忠的是科学的皇后，而非一特定的地方。各地都有热心的数学家提供他舒适的食宿，安排他的一切，他则对招待他的主人，给出一些挑战性的数学难题，或给予研究上的指导做为回馈。他可以和许多不同领域的数学家合作。数学家常将本身长久解决不了的问题和他讨论，于是很快地一篇论文便诞生了。;.数学家以下述方式来定 erdos 数(erdos number) : erdos本人之erdos 数 0，任何人若曾与 erdos合写 文， 其 erdos 数 1。任何人若

33、曾与一位 erdos数 l(且不曾与有更少的 erdos数) 的人合写 文， 他的 erdos数 2几乎每一个当代数学家都有一个有限的erdos 数，而且 个数往往非常小，小得出乎本人的 料。比如 明 fermat 大定理的 andrewwiles，他的研究方向与 erdos 相去甚 ，但他的 erdos 数只有 3，是通 过 这 个 途 径 实 现 的 ： erdos-andrew odlyzko-chrism.skinner-andrew wiles。fields 得主的 erdos数都不超 5，（只有 cohen和 grothendieck的 erdos数是 5），nevanlinna

34、得主的 erdos数不超 3（，只有 valiant的 erdos数是 3），wolf 数学 得主的 erdos数不超 6（，只有 v.i.arnold是 6，且只有 kolmogorov 是 5），steele 的 身成就 得主的 erdos数不超 4。在具有有限 erdos数的人名 中往往 能 一些其他 域的 家，如: 比 盖 (bill gates)，他的 erdos 数是 4，通 如下途径 ：erdos-pavol hell-xiao tie deng-christos h. papadimitriou-williamh.(bill) gates。. 因斯坦的 erdos数是 2。8 复 网 理 的 用研究目前国内关于复 网 的 用研究主要涉及信息网 、 社会、 管理等 域。 在 述已有工作的基 上， 构建了一个 internet 的复 网 模型， 病毒的 播行 行了仿真研究， 果表明，构建的;.网络模型真实地反映了 internet 的特性，通过对某些参数的调整， 病毒传播可以得到有效控制。通信网络可以看成是由成千上万个路由器节点以及节点之间的数百万条通信线路组成的边所构成的复杂网络。 实际通信网络经常承受超负荷的流量，导致拥塞的产生。陈振毅等利用 b