东华理工大学概率论与数理统计练习册答案

1、东华理工大学概率论与数理统计练习册答案 - 61153 - - - 副本-作者 :_-日期 :_第一章概率论的基本概念一、选择题1答案：（ b）2. 答案：（ b）解： aub表示 a 与 b 至少有一个发生 ,-ab 表示 a 与 b 不能同时发生 , 因此(aub)(-ab) 表示 a 与 b 恰有一个发生3答案：（ c）4. 答案：（ c）注:c 成立的条件 :a 与 b 互不相容 .5.答案：（ c）注:c 成立的条件 :a 与 b 互不相容 , 即 ab.6. 答案：（ d）注: 由 c 得出 a+b= .7. 答案：（ c）8. 答案：（ d）注：选项 b 由于nnnnnp( ai

2、 ) 1 p( ai ) 1 p(ai ) 1i 1p( ai ) 1 c (1 p( ai )i 1i 1i 1i 19. 答案：（ c）注：古典概型中事件 a 发生的概率为 p( a)n ( a) .n ( )10. 答案：（ a）解：用 a 来表示事件“此r 个人中至少有某两个人生日相同”，考虑 a的对立事件 a “此r 个人的生日各不相同”利用上一题的结论可知c365rr !p365rp365rp( a)r365r ，故 p( a) 1365r .36511. 答案：（ c）12. 答案：（ b）解：“事件a 与 b 同时发生时 , 事件 c也随之发生”，说明 abc ，故 p( ab

3、)p(c ) ；而 p( ab)p( a)p(b)p( ab)1,故 p( a)p(b)1p( ab)p(c ) .13. 答案：（ d）解：由 p( a | b)p( a b)1可知p( ab)p( ab )p( ab )1p( ab)p( b)p( b)p( b)1 p( b)p( ab)(1 p( b)p(b)(1p( a)p( b)p( ab)1p(b)(1 p(b)p( ab)(1 p(b)p( b)(1p( a)p(b)p( ab)p(b)(1 p( b)p( ab)p( ab ) p( b)p( b) p( a) p(b)(p( b) 2p(b) p( ab ) p( b) (

4、p(b)2p( ab)p( a) p(b)故 a 与 b 独立 .14. 答案：（ a）解：由于事件 a,b 是互不相容的，故 p( ab )0 ，因此p(a|b)= p( ab)00 .p( b) p( b)15. 答案：（ d）解：用 a 表示事件“密码最终能被译出”，由于只要至少有一人能译出密码，则密码最终能被译出，因此事件a 包含的情况有“恰有一人译出密码”，“恰有两人译出密码”，“恰有三人译出密码”，“四人都译出密码”，情况比较复杂，所以我们可以考虑 a 的对立事件 a “密码最终没能被译出”，事件a 只包含一种情况，即“四人都没有译出密码”，故p( a)(11 )(1 1)(11

5、)(11 )1p( a)2 .54363316. 答案：（ b）解：所求的概率为p( abc )1 p( abc )1 p( a)p(b)p(c )p( ab)p( bc)p( ac)p( abc )11111014016164438注： abc ab0p( abc )p( ab )0p( abc ) 0 .17. 答案：（ a）解：用 a 表示事件“取到白球”，用bi 表示事件“取到第 i 箱”i1.2.3，则由全概率公式知p(a) p(b1) p(a | b1) p(b2 ) p(a | b2 ) p( b3) p( a | b3 )1 11 31 553.3 53 63 812018.

6、答案：（ c）解：用 a 表示事件“取到白球”，用bi 表示事件“取到第 i 类箱子”i1.2.3，则由全概率公式知p(a) p(b1) p(a | b1) p(b2 ) p(a | b2 ) p( b3) p( a | b3 )2 13 21 27.6 56 36 51519. 答案：（ c）解：即求条件概率p( b2 | a) . 由 bayes 公式知p( b2 )p( a | b2 )3 2p( b26 3| a)7p( b1 )p( a | b1 ) p(b2 )p( a | b2 ) p( b3 )p( a | b3)155 .7二、填空题1. （正，正，正），（正，正，反），（正

7、，反，反），（反，反，反），（反，正，正），（反，反，正），（反，正，反），（正，反，正）2. abc ; abc u abc u abc u abc 或 ab u bc u ac3 0.3 ， 0.5解：若 a 与 b 互斥，则 p（a+b）=p（ a） +p（b），于是p（ b）=p（a+b）-p （a）=0.7-0.4=0.3；若 a 与 b 独立，则 p（ab）=p（ a）p（b），于是由 p（a+b）=p（a）+p（ b） -p（ab） =p（a）+p（b）-p（ a） p（ b），得p(ab) p( a)0.70.4.p(b)p( a)10.510.44.0.7解：由题设 p（ab

8、）=p（ a） p（ b|a） =0.4 ，于是p（ aub） =p（a）+p（b）-p（ ab）=0.5+0.6-0.4=0.7.5.0.3解：因为 p（aub）=p（a）+p（ b）-p （ab），又 p( ab )p( ab)p( a) ，所以p( ab )p( a u b)p( b)0.60.30.3 .6.0.6解：由题设 p（a）=0.7 ，p（ ab ） =0.3 ，利用公式 ababa 知p( ab )p( a)p( ab) =0.7-0.3=0.4，故 p( ab )1p( ab)10.40.6 .7.7/12解：因为 p（ab） =0，所以 p（abc） =0，于是p( a

9、bc)p( a u b u c )1p( a u b u c)1 p( a)p( b)p(c)p( ab)p(bc)p( ac)p( abc) .13/ 42 / 67 /128.1/4解：因为 p( a u b u c)p( a)p( b)p(c )p( ab )p( bc )p( ac)p( abc )由题设p( a)p(b)p(c ), p( ac )p( a) p(c )p2 ( a), p( ab)p( a) p(b)p2 ( a) ，p(bc )p(b)p(c )p2 ( a), p( abc )0 ，因此有 93p( a)3p2 ( a) ，解得16p（ a）=3/4 或 p（a

10、）=1/4 ，又题设 p（a）1/2, 故 p（a）=1/4.9.1/6解：本题属抽签情况，每次抽到次品的概率相等，均为1/6 ，另外，用全概率公式也可求解 .110.1260解：这是一个古典概型问题，将七个字母任一种可能排列作为基本事件，则全部事件数为7！，而有利的基本事件数为1 2 1 2 1 1 1 4 ，故所求的概率为 41.7!126011.3/7解：设事件 a=抽取的产品为工厂a 生产的 ，b=抽取的产品为工厂b 生产的 ，c=抽取的是次品 ，则 p（a）=0.6 ，p（b）=0.4 ，p（c|a）=0.01 ， p（c|b）=0.02 ，故有贝叶斯公式知p( a | c )p(

11、ac )p(a)p(c | a)0.60.013 .p(c )p( a)p(c | a) p(b) p(c | b)0.6 0.010.4 0.02712.6/11解：设 a=甲射击 ， b=乙射击 ，c=目标被击中 ，则 p（a）=p（ b） =1/2 ， p（ c|a）=0.6 ， p（ c|b）=0.5 ，故 p( a | c )p( ac )p(a) p(c | a)0.50.50.66 .p(c )p( a) p(c | a) p( b) p(c | b)0.60.50.5 11四、p( a)1, p( b | a)1, p( a | b)1 ,()。432求 p a b解：由定义

12、p( ab)p( a) p( b | a) 由已知条件111143p( a | b)p(b)p( b)有2p( b)p(b)6由乘法公式，得p( ab)p( a)p( b | a)112由加法公式，得p( a b) p( a) p( b)p( ab)111146123第二章随机变量及其分布一、选择题1. 答案：（ b）注：对于连续型随机变量x 来说，它取任一指定实数值a 的概率均为 0，但事件 x=a 未必是不可能事件 .2. 答案：（ b）解：由于 x 服从参数为的泊松分布，故 p xkk e. 又, k 0,1,2,lk!p x 1 p x 2, 故1e2 e2 ，因此1!2!p x 21

13、p x21p x0p x 1p x2 .1 20 e 221 e 222 e 2150!1!2!e23. 答案：（ d）解：由于 x 服从 1,5 上的均匀分布 , 故随机变量 x 的概率密度为f (x)41 , x1,5因此，若点a,b 1,5，则 p axbba0, x.4.1,5p3x6p3x52 ， p0 x4 p1x43，44p 1x3p1x321 .424 答案：（ c）解：由于 x n (,4), 故 x n (0,1);2由于 p x0p x0(), 而(0)1 ，故只有当02222时，才有 p x01 ；2p x2p x21 p x21p x2 1(1);22正态分布中的参数

14、只要求0 ，对没有要求 .5. 答案：（ a）解：由于 x b(2, p) ，故p x 1 1 p x 1 1 p x 0 1 c20 p0 (1 p) 21 (1 p)22 p p 2，而 p x 15，故 2 p p25159p或 p（舍）；933由于 y b(3, p) ，故py11 py1 1 p y 0 1 c30 ( 1)0 (11)31( 2)319 .333276. 答案：（ b）解：这里 g( x)2x3， g( x) 处处可导且恒有 g ( x)20，其反函数为x h( y)y3 ，直接套用教材64 页的公式（ 5.2 ），得出 y 的密度函数为2f y ( y)fx (y

15、 3)11 f x (y 3) .22227. 答案：（ d）注：此题考查连续型随机变量的概率密度函数的性质. 见教材 51 页 .8. 答案：（ c）1x(t 1) 21( x 1)2解：因为 x n (1,1)，所以 f ( x)ee2 .22dt ， f (x)2p x0p x 101(1)1(1)10.84310.1569,11p x01p x01p x01 (1)(1)0.8431;p x1p x 111(0)0.5,11p x11 p x11p x1 1(0) 0.5;9. 答案：（ b）解：由于 f (x)f ( x) ，所以 x 的概率密度函数为偶函数，其函数图形关于y轴对称，

16、因此随机变量x 落在 x 轴两侧关于原点对称的区间内的概率是相等的，从而马上可以得出 f (0)p( x0)1 . 我们可以画出函数 f ( x) 的图形，2借助图形来选出答案 b.也可以直接推导如下：f ( a)ax ，则有f ( x) dx ，令 uf ( a)af ( x)dxf ( x)dxa1 af ( u) duf (u)duf ( x)dx2f (x)dx.aa00010. 答案：（ a）解： p x14113317f ( x)dxx2.1xdx|181244411. 答案：（ b）解： p x 2 1 p x 2 1 p 2 x 2 1 p2 1x 1212221(0.5)(

17、1.5)1(0.5)1(1.5)0.3753 .12. 答案：（ d）p xxp xxf x) 1 (1e x)e x；选项解：对任意的 x 0, 1 1(c描述的是服从指数分布的随机变量的“无记忆性”；对于指数分布而言，要求参数0 .13. 答案：（ a）解：选项 a 改为 x n (0,1) ，才是正确的；p x( a, b)f (b)f ( a)( a)( b) ；p| x| k pkxk p kxkpkxk(k )( k)2 (k).1,(k 0)14. 答案：（ b）解：由于随机变量 x 服从 (1,6)上的均匀分布 , 所以 x 的概率密度函数为f (x)1 , x1,6. 而方程

18、 x2xx1 0有实根，当且仅当51,60, xx 240x2或 x2，因此方程 x2xx1 0 有实根的概率为p p x 2p x26260.8 .1二、填空题1. xx .2. 解：由规范性知1111115c15 .2c4c8c16c16c163. 解：由规范性知1a( 2) ka2/ 32aa1 .k 1312 / 324. 解：因为 p xxp xxp xxf (x)f (x0) ，所以只有在f（x）的不连续点（ x=-1,1,2 ）上 px=x 不为 0, 且 p（ x=-1） =f（-1 ） -f （-1-0） =a，px=1=f（ 1） -f （1-0 ） =2/3-2a ，px

19、=2=f（2）-f （ 2-0 ）=2a+b-2/3, 由规范性知 1=a+2/3-2a+2a+b-2/3得 a+b=1, 又 1/2=px=2=2a+b-2/3 ，故a=1/6 ，b=5/6.5. 解：由于 x u 1,5 ，所以 x 的概率密度为 f ( x)1 ,1x54，0, 其它故 p(x1x x2 )f (x)dxx2 1 dx1 (x21) .1441(x)21 ey26. f (x)e22,x； f ( y)2 ,y22p2x7p23x373222.7. 解：(2)(2.5)(2)(2.5)10.99720.993810.9910p( x c) p( x c)p( x c) 1

20、 p( x c)8. 解: 由(0)1p( xc)p( x3c3)( c 3) .2222c30c 321390.50.50解： fy ( y)pyyp xyy 11y 4)dxy,(0022故 fy ( y) fy ( y)1(0y 4) .4y第三章多维随机变量及其分布一、选择题1. 答案：（ a）解：要使 f (x)af1 (x)bf2 ( x) 是某个随机变量的分布函数, 该函数必须满足分布函数的性质，在这里利用f ()1 这一性质可以得到af1()bf2 ()ab1 ，只有选型 a 满足条件 .2. 答案：（ a）解：由 p x1 x 201 可知 p x1x 201p x1 x 2

21、00 ，故p x11,x 21p x11, x 21p x11,x 21p x11,x 210p x11,x 21p x11,x 21p x11,x 21p x1 1,x 21 0又由联合分布律与边缘分布律之间的关系可知：11p x11, x 21p x11, x 20p x11, x 21p x141p x11, x 20411p x11, x 21p x11, x 20p x11, x 21p x14p x11, x 201410p x11, x 20p x10, x20p x11, x 20p x 221p x10, x 2p x11, x 20p x11, x 20002故 p x1x

22、 2p x11, x 21p x11, x 21p x10, x 200 .3. 答案：（ d）解：联合分布可以唯一确定边缘分布，但边缘分布不能唯一确定联合分布，但如果已知随机变量x 与 y 是相互独立的，则由x 与 y 的边缘分布可以唯一确定 x 与 y 的联合分布 .4. 答案：（ a）解：由问题的实际意义可知，随机事件 xi与 yj 相互独立，故p xi, yj p xi pyj111, i , j1,2,l6；c61c61366611 ； xy xk,ykp xyp xk ,yk6k1k 1366p xy1 p x y115 ；66 x y x y x y ，而事件 x y 又可以分解

23、为 15 个两两不相容的事件之和，即 x y xk,yk 1 xk,yk2l xk,y6, k1,2,3,4,5故 p xy15p xyp xyp xy1517 .36366125. 答案：（ b）解：当 ( x ,y ) : n (1 ,2 , 12 ,22 ,) 时， x n ( 1 ,12 ) ， y n ( 2 , 22 ) ，且 x和 y 相互独立的充要条件是 0 ；单由关于 s和关于 t 的边缘分布，一般来说是不能确定随机变量 s 和 t 的联合分布的 .6. 答案：（ c）解：（方法）首先证明一个结论，若 t n ( ,2 ) ，则 s t n ( , 2 ) .1证明过程如下（

24、这里采用分布函数法来求st 的概率密度函数，也可以直接套用教材 64 页的定理结论（ 5.2 ）式）：由于fs (s) p ssptsp ts1p ts 1p ts 1 ft ( s),1(s)21( s () 2故 f s ( s)ft (s) (1)f t (s)e2 2e2 2, 这表明 t 也22服从正态分布，且 st n (,2 ) .所以这里y n (2 , 22 ). 再利用结论：若 x1 与 x 2相互独立，且xi n ( i ,i2 ), i1,2，则 x1x 2 n (12 ,1222 ) . 便可得出x y n ( 12222；2 , 12 ) ； x y n ( 12

25、, 12 )x 2y ( x y ) y n ( 12422 2 , 12 ) ;2 x y x ( x y) n (2 12 , 4 1222 ) .（方法 2）我们还可以证明：有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布，且若xi n (i ,i2),i 1,2,l, n ，则nnnyki x i n ( ki i , ki2i2 )i 1i 1i 1故 x y n ( 12 ,22y n ( 12 ,2212 ) ； x12 ) ；x 2y n ( 122 ,242) ;2x y n (2 12 , 422) .12127. 答案：（ a）解：由于x n (x 3( x3) n

26、 (0,1) ，3,1) ， y n (2,1) ，所以 z1y 21z2(y 2) : n (0,1) ，故1z32z22(y2) : n (0,( 2) 2 1) n (0, 4) ，而 zz1z3 ，所以 z n (0,5) .8. 答案：（ d）解：由联合概率密度函数的规范性知4441f (x, y) dxdycdx sin(xy)dyccos x cos(x4)dx000.csin x sin(x)042 1c2149. 答案：（ a）解： p xy1f ( x, y)dxdyx y 112( x2115x34x2165dx3xy) dy(3x)dx.01 x0627210. 答案：

27、（）解：由联合概率密度函数的规范性知1f (x, y) dxdy adx e (2 x 3 y) dyae 2x d( 2x)e 3yd ( 3 y)aa 6.006 00612. 答案：（ c）解：用 d 表示以 (0,0),(0,2),(2,1)为顶点所形成的三角形区域，用g 表示矩形域 0x2,0y1 ，则所求的概率为p( x ,y) df (x, y) dxdy3 xy2dxdy2dx13 xy2 dy2dd i g 20x 220( xx4)dx 0.6 .21613. 答案：（ b）解：利用结论：有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布，且若 xi n ( i , i

28、2 ), innn1,2,l , n ，则 yki xi n ( ki i ,ki2i2 ).i 1i 1i 1因此 1 ( x1 x 2 lnx n ) n (ni 11n1 )2 2 ) n ( ,2,() ；ni 1nnx1 x 2 n (,22 )n (0, 22 ) .令 z 2 x13，由教材 64 页定理结论中的（ 5.2 ）式可知， z 的概率密度( z 3) 2 z (23) 2122112(2)2函数为 fz ( z)e22.2e，故2(2 )2x1 3 n (23,42 ) .二、填空题1.f （b,c ）-f(a,c);f(a,b);f(+,a)-f(+,0);f(+,

29、b)-f(a,b).2.1/ 6 .3. 解： sde222 ，故 f (x, y)1/ 2,( x, y)d1dx ln | x |1e0,( x, y).1xd4.0 5. 解： p（x=y） =p（x=-1, y=-1 ）+ p（x=1, y=1 ）= p（x=-1）p（y=-1）+ p（x=1）p（y=1）=(1/2)(1/2)+ (1/2)(1/2)=1/2;p（ x+y=0）= p（x=-1, y=1 ） + p（x=1, y=-1 ）= p（x=-1）（ y=1）+ p（x=1）p（y=-1）=(1/2)(1/2)+ (1/2)(1/2)=1/2;p（ xy=1）=p（x=-1,

30、 y=-1 ）+ p（x=1, y=1 ） = p（x=-1）p（y=-1）+ p（x=1）p（y=1）=(1/2)(1/2)+ (1/2)(1/2)=1/2.三、设随机变量（ x，y）概率密度为 f ( x, y)k (6xy), 0x2, 2 y 40,其它（1）确定常数 k。（ 2）求 p x1, y3（3）求 p ( x1.5（ 4）求 p ( x+y4分析：利用 p (x, y)g= f (x, y)dx dyf ( x, y)dx dy 再化为累次积ggdo分，其中 do( x, y)0x2 ,2y4解：（ 1） 1211f ( x, y) dx dyk(6xy)dydx ， k8

31、02（2） p( x1, y3)1dx3 1 (6xy) dy302 88（3） p( x1.5)p( x1.5, y)1.541x27dx(6y)dy02 832（4） p( xy 4)2dx4x 1 (6xy)dy20083cx 2 y, x 2y 1四、设二维随机变量（ x， y）的概率密度为 f ( x, y)0, 其它（1）试确定常数 c。（ 2）求边缘概率密度。1y2125421解: l=cxydx cy 2 dyccf ( x, y) dxdydy32140y0x f x ( x)121x2ydy21x2(1x4),1 x 1x 2480,其它y 21752ydxy 20y1y fy ( y)y4d20其它第四章随机变量的数字特征一、选择题1答案：（ d）解：由于 d ( x )e( x2 ) e( x ) 2 ，所以 e( x 2 )d ( x ) e( x ) 23 1 4 ，故e3( x 2 ) 20e3( x2 )e(20) 3e(