高一数学教案：高次不等式、分式不等式解法

1、课题： 1.5 一元二次不等式（二）高次不等式、分式不等式解法教学目的：1巩固一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握掌握简单的分式不等式和特殊的高次不等式的解法；2培养数形结合的能力，一题多解的能力，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；3激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会从不同侧面观察同一事物思想教学重点： 简单的分式不等式和特殊的高次不等式的解法教学难点 ：正确 串根 （根轴法 的使用）授课类型： 新授课课时安排： 1 课时教具： 多媒体、实物投影仪内容分析 ：1本小节首先对照学生已经了解的一元二次方程、 一元二次不等式与二次函数的图象，找出一元二次方程、

2、 一元二次不等式与二次函数的关系， 进而得到利用二次函数图象求解一元二次不等式的方法 说明一元二次不等式可以转化为一元一次不等式组，由此引出简单的分式不等式的解法2本节课学习简单的分式不等式和特殊的高次不等式的解法，这是这小节的重点，关键是弄清简单的分式不等式和特殊的高次不等式解法的根轴法 的使用教学过程：一、复习引入 ：1一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系2一元二次不等式的解法步骤一元二次不等式 ax 2bxc0或 ax 2bx c 0 a0 的解集：设相应的一元二次方程ax2bxc 0 a0 的两根为 x1、 x2 且 x1x2 ，b24ac ，则不等式的解的各种情况如下表：(课

3、本第19 页 )000二次函数yax2bxcyax 2bxcyax 2bxcyax2bxc（ a0 ）的图象第 1页共 7页一元二次方程有两相异实根有两相等实根ax 2bx c0x2 )x1 x2ba0 的根x1, x2 (x12a无实根ax 2bx c0x1或 x x2x xb(a0)的解集x x2arax 2bx c0xx2( a0)的解集x x1引言：今天我们来研究一元二次不等式的另外解法，以及特殊的高次不等式、分式不等式的解法二、讲解新课： 一元二次不等式与特殊的高次不等式解法例 1 解不等式 ( x 4)( x 1) 0.分析一：利用前节的方法求解；分析二：由乘法运算的符号法则可知，

4、若原不等式成立，则左边两个因式必须异号，x10x10原不等式的解集是下面两个不等式组：4与x4的解集的并集，x00x10x10即 x|4 x |x4= x|-4x1=x|-4x1. 书写时可按下列格x00式：解二： (x-1)(x+4)0x10x10x40或40xx或 -4x1-4x1，原不等式的解集是x|-4x1.小结：一元二次不等式ax 2bxc0 ( 或 ax2bxc0 ) (a0 ) 的代数解法： 设一元二第 2页共 7页次不等式 ax2bxc0 (a 0) 相应的方程ax2 bxc 0(a0)的两根为 x1、x2 且 x1x2 ，则 ax2bx c0a(xx1 )( x x2 ) 0

5、；若 a 0 , 则得x x10, 或 xx10,xx1 , 或 x x1 ,x x20,x x20.x x2 ,x x2 .当 x1x2 时，得 xx1 或 xx2 ；当 x1x2 时，得 xr , 且 x x1 .若 a 0 , 则得 x x10, 或 x x10,xx1 , 或 x x1,x x20,x x20.x x2 ,x x2 .当 x1x2 时，得 x1xx2 ；当 x1 x2 时，得x.分析三：由于不等式的解与相应方程的根有关系，因此可求其根并由相应的函数值的符号表示出来即可求出不等式的解集.解：求根：令(x-1)(x+4)=0，解得x（从小到大排列）分别为-4， 1，这两根将

6、x 轴分为三部分：（ -，-4）（ -4，1）（ 1， +）；分析这三部分中原不等式左边各因式的符号（ -， -4）（ -4， 1）（ 1， +）x+4-+x-1-+(x-1)(x+4)+-+由上表可知，原不等式的解集是x|-4x0；解：检查各因式中 x 的符号均正；求得相应方程的根为： -2，1， 3；列表如下：-213x+2-+x-1-+x-3-+各因式积-+-+由上表可知，原不等式的解集为：x|-2x3.小结：此法叫列表法，解题步骤是：第 3页共 7页将不等式化 (x-x1)(x-x2) (x-xn)0(0.x|-1x0 或 2x3.思考： 由函数、方程、不等式的关系，能否作出函数 像求

7、解直接写出解集：x|-2x3.x|-1x0或2x0(0”, 找“ ”在 x 上方的区 ；若不等式是“ 0”, 找“ ”在 x 下方的区 .注意：奇 偶不 例 3 解不等式： (x-2)2(x-3)3(x+1)0.解： 各因式中x 的符号均正；求得相 方程的根 ：-1，2， 3（注意： 2 是二重根， 3 是三重根）；在数 上表示各根并穿 ，每个根穿一次（自右上方开始奇 偶不 ），如下 ：原不等式的解集 ：x|-1x2 或 2x3. 明： 3 是三重根，在c 三次， 2 是二重根，在b 两次， 果相当于没过 .由此看出，当左 f(x)有相同因式 (x-x1)n ， n 奇数 ，曲 在x1 点 穿

8、 数 ； n 偶数 ，曲 在x1 点 不穿 数 ，不妨 “奇 偶不 ”. ： 解不等式： (x-3)(x+1)(x2+4x+4)0.解：将原不等式化 ：(x-3)(x+1)(x+2)20；第 4页共 7页求得相应方程的根为：-2（二重）， -1， 3；在数轴上表示各根并穿线，如图：原不等式的解集是x|-1x3 或 x=-2.说明：注意不等式若带“=”号，点画为实心，解集边界处应有等号；另外，线虽不穿过 -2 点，但 x=-2 满足“ =”的条件，不能漏掉.2分式不等式的解法例 4 解不等式：x30 .x7错解：去分母得x30原不等式的解集是x | x3 .解法 1：化为两个不等式组来解： x3

9、0x30或 x30x或 7 x37 x 3，x7x70x70原不等式的解集是x |7x3.解法 2：化为二次不等式来解： x3( x 3)( x7)07x 3 ，0x70x7原不等式的解集是x |7x3说明：若本题带“=”，即 (x-3)(x+7)0，则不等式解集中应注意x-7 的条件，解集应是 x| -7x 3.小结：由不等式的性质易知：不等式两边同乘以正数，不等号方向不变；不等式两边同乘以负数，不等号方向要变；分母中有未知数 x，不等式两边同乘以一个含 x 的式子，它的正负不知，不等号方向无法确定，无从解起，若讨论分母的正负，再解也可以，但太复杂 .因此，解分式不等式，切忌去分母 .解法是

10、：移项，通分，右边化为0，左边化为f (x)的形式 .g( x)例 5解不等式： x23x20 .x22x3解法 1：化为不等式组来解较繁 .解法 2： x23x2(x23x2)( x22x 3) 00x2x22x 32x 3 0(x1)( x2)( x3)(x1)0(x3)( x1)0，第 5页共 7页原不等式的解集为x| -1x1 或 2x3.也可以直接用根轴法（零点分段法）求解：-11 23练习： 1.课本 p21 练习： 3； 2.解不等式 x32 .x5答案： 1. x|-5x8 ； x|x-1/2 ； 2.x|-13x-5.24x0 或 1x0(或f ( x)2分式不等式，切忌去分

11、母，一律移项通分化为0)的形式，转化g( x)g ( x)f (x) g( x) 0f ( x) g(x)0为：(或) ，即转化g (x) 0g( x) 0为一次、二次或特殊高次不等式形式.也可以直接用根轴法（零点分段法）求解3一次不等式，二次不等式，特殊的高次不等式及分式不等式，我们称之为有理不等式 .4注意必要的讨论.5一次、二次不等式组成的不等式组仍要借助于数轴.四、布置作业五、思考题：1 解关于 x 的不等式： (x-x2+12)(x+a)0，相应方程的根为：-3， 4， -a，现 a 的位置不定，应如何解？讨论：当 -a4，即 a-4 时，各根在数轴上的分布及穿线如下：-34-ax 原不等式的解集为 x| -3x-a.当 -3-a4，即 -4a3 时，各根在数轴上的分布及穿线如下：第 6页共 7页-3-a4x原不等式的解集为 x| -3x4.当 -a3 时，各根在数轴上的分布及穿线如下：-a-34x原不等式的解集为 x| -ax4.当 -a=4，即 a=-4 时，各根