第4章6节 高斯求积公式.ppt

1、1,6 高斯求积公式,2,1. 一般理论,求积公式,含有 个待定参数,当 为等距节点时得到的插值求积公式其代数精度至少为 次.,3,为具有一般性，研究带权积分,这里 为权函数，,求积公式为,为不依赖于 的求积系数.,为求积节点，,适当选取,使其具有最高 次代数精度,4,定理 n+1个节点的插值型求积公式的代数精度不超过2n+1. 证：令g(x)=(x-x0)2(x-xn)2,5,定义 若n+1个互异节点的插值型求积公式的代数精度达到2n+1次，则称此n+1个互异节点为高斯点， 此求积公式为高斯型求积公式。,6,根据定义要使求积公式具有 次代数精度，只要对,当给定权函数 ，求出右端积分，则可解得

2、,令 精确成立，,7,例5,解,令公式(5.3)对于 准确成立，,试构造下列积分的高斯求积公式：,得,8,由此解出,从而,9,这样，高斯公式是,由于非线性方程组较复杂， 通常 就很难求解.,故一般不通过解方程 求 ，,而从分析高斯点的特性来构造高斯求积公式.,10,定理5,是高斯点的充分必要条件是以这些节点为零点的多项式,与任何次数不超过 的多项式 带权 正交，,证明,即,插值型求积公式的节点,必要性.,设,则,11,因,即有,故成立.,充分性.,用 除 ，,记商为,余式为,即 ,其中 .,对于,12,由于求积公式是插值型的， 它对于 是精确的，,即,再注意到,知,从而有,13,可见求积公式对

3、一切次数不超过 的多项式均精 确成立. 因此， 为高斯点.,定理表明在 上带权 的 次正交多项式的 零点就是求积公式的高斯点.,有了求积节点 ，再利用,对 成立，,解此方程则得,14,下面讨论高斯求积公式的余项.,利用 在节点 的埃尔米特插值,于是,也可直接由 的插值多项式求出求积系数,即,15,两端乘 ，并由 到 积分，则得,其中右端第一项积分对 次多项式精确成立，故,由于,由积分中值定理得为,关于高斯求积公式的稳定性与收敛性，有,16,定理6,证明,它是 次多项式，,因而 是 次多项式，,注意到,考察,上式右端实际上即等于,从而有,17,由本定理及定理2，则得下列推论.,推论,定理7,定理

4、得证.,高斯求积公式是稳定的.,即,18,2 高斯-勒让德求积公式,在高斯求积公式中，,由于勒让德多项式是区间 上的正交多项式，因此，,勒让德多项式 的零点就是求积公式的高斯点.,此类高斯公式称为高斯-勒让德求积公式.,区间为,则得公式,若取权函数,19,令它对 准确成立，即可定出,这样构造出的一点高斯-勒让德求积公式,是中矩形公式.,若取 的零点 作为节点构造求积公式,再取 的两个零点 构造求积公式,20,令它对 都准确成立，有,由此解出,三点高斯-勒让德公式的形式是,表4-7列出了高斯-勒让德求积公式的节点和系数.,从而得到两点高斯-勒让德求积公式,21,22,这里 是最高项系数为1的勒让德多项式.,余项,23,得,当 时，有,它比区间 上辛普森公式的余项,还小，且比辛普森公式少算一个函数值.,当积分区间不是 ，而是一般的区间 时，,只要做变换,24,可将 化为 ,对等式右端的积分即可使用高斯-勒让德求积公式.,这时,25,例6,用4点( )的高斯-勒让德求积公式计算,解,先将区间 化为 ，,根据表4-7中 的节点及系数值可求得,有,26,3 高斯-切比雪夫求积公式,若 且取权函数,则所建立的高斯公式为,称为高斯-切比雪夫求积公式.,27,于是高斯-切