抽象函数的单调性专题

1、.抽象函数的单调性专题突破一类：一次函数型函数满足： f (a b)f (a)f (b) k 或f (a b)f (a) f (b)k例 1、f (x) 对任意 x, y R 都有： f (x y)f (x)f ( y) ，当 x0时, f (x)0 ，又知 f (1)2 ，求 f ( x) 在x 3,3 上的值域。例 2、 f (x) 对任意实数 x 与 y 都有 f ( x) f ( y)f (x y) 2 , 当 x0 时 , f ( x) 2（ 1）求证 : f ( x) 在 R上是增函数； （ 2）若 f (1)5, 解不等式 f (2 a3) 32【专练】：1、已知函数f ( x)

2、 对任意 x， yR 有 f ( x)f ( y) 2 f ( x y) ，当 x0时， f ( x)2 ， f (3)5，求不等式 f (a 22a)2 3的解集。2、定义在 R 上的函数 f(x) 满足：对任意 x， y R 都有f ( x y) f (x) f ( y) ，且当 x0时, f ( x) 0(1) 求证 f (x) 为奇函数；(2) 若 f(k 3 x )+f(3 x -9 x -2) 0 对任意 xR 恒成立，求实数 k的取值范围.二类：对数函数型函数满足： f (agb) f (a)f (b) 或 f ( a) f (a) f (b)b例 1、 f (x) 是定义在 x

3、0 的函数 , 且 f(xy) = f(x) + f(y);当 x1 时有 f(x)0 上是减函数；（ 3）解不等式 f(x) + f(2-x) 1 。、若非零函数f ( x) 对任意实数 a,b 均有 f (a b)f (a) f (b) ，且当x0时， f (x)1 ；2（ 1）求证： f ( x) 0；（2）求证： f ( x) 为减函数（ 3）当 f (4)1时，解不等式 f ( x 3) f (5 x2 )1；164.四类：幂函数型函数满足： f (agb)f (a)gf (b) 或f ( a )f (a)bf (b)例 1、已知函数 f ( x) 满足： 对任意 x, yR ，都有

4、 f ( xy)f ( x)gf ( y) ， f ( 1) 1, f (27)9,且当 0x 1时， f (x)0,1。（ I）判断 f ( x) 的奇偶性，（ II ）判断 f (x) 在 0,上的单调性，并证明。 （ III）若 a0 ，且f (a 1)3 9 ，求 a 的取值范围。五类：其他类数函数型例 1、定义在1,1 上的奇函数y f ( x) 有 f (1)1 ,且当 m, n1,1时 , 总有 : f ( m)f (n)0,( mn) ,1 )f ( 1mn（ I ）证明 : f (x) 在1,1上为增函数 ,(II) 解不等式 : f ( x) ,(III) 若 f ( x)

5、t 22at1 对所有2x1x1,1 , a1,1,.恒成立 求实数 t 的取值范围.例 2 、定义在（）上的函数满足，对任意都有，且当时，有， （ 1）试判断的奇偶性；（ 2）判断的单调性；【专练】： 1、已知定义在,1 U (1,) 上的奇函数满足： f (3)1 ；对任意的 x2 ，均有 f ( x) 0 ；对任意的 x, yR ，均有 f (x1)f ( y1)f ( xy 1) ；（ 1 ）试求f (2)的值； （ 2 ）求证：f (x) 在 (1,) 上是单调递增；（ 3）已知对任意的(0, ) ，不等式f (cos2a sin) 3 恒成立，求 a的取值范围，2、已知函数 f（ x）的定义域为 x| x k， k Z ，且对于定义域内的任何x、 y，有 f（ xy）=f (x) f(y) 1成立，f (y) f (x)且 f（ a） = 1（ a 为正常数），当 0 x 0（ I ）判断 f（ x）奇偶性；（ II ）证明 f（ x）为周期函数；（ III ）求 f （ x）在 2a， 3a 上的最小值和最大值3、已知 f (x) 是定义在 - 1,1上的奇函数，且 f (1) 1，若任意的a、b 1,1 ，总有 ( ab )( f ( a)f (b )0 （ 1 ）判断函数 f ( x) 在 - 1,1 上的单调性，并证明你的结论