第4章 平面图形的几何性质.ppt

1、第4章 平面图形的几何性质,4.1 静矩与形心,4.2 惯性矩与惯性积,4.3 惯性矩的平行移轴公式,4.1 静矩与形心,选择材料与材料的机械性质有关,确定尺寸与截面大小、形状有关,拉压：应力均布，仅需满足 ， 不考虑形状；,扭转：应力不均布，出现 ，,在面积A相同，但形状不同的情况下，应 力分布不同。,一、静矩,A,ydA,A,zdA,图形对y轴的静矩,图形对z轴的静矩,微面积dA对z轴和y轴的一次矩。,静矩的单位为mm3或m3。,4.1 静矩与形心,二、形心,平面图形的几何形状中心。,4.1 静矩与形心,静矩：0；0；0。,三、静矩与形心坐标的关系,若图形形心C已知，由静力学可知：,求静矩

2、的另一公式：,讨论：,则,y、z轴称为形心轴。,若已知,则可确定z轴、y轴通过截面形心。,4.1 静矩与形心,四、组合图形的静矩与形心,组合图形:由若干简单图形组合而成的图形 。,组合图形对z轴和y轴的静矩等于各部分图形对该轴静矩的代数和，即,组合图形的形心公式：,例4.1 求图所示半径为R的半圆形对z轴和y轴的静矩及其形心坐标。,解：z轴是半圆形的对称轴,因此,4.1 静矩与形心,如果是1/4圆，情况又如何？,例4.2 计算由抛物线、y轴和z轴所围成的平面图形对y轴和z轴的静矩，并确定图形的形心坐标。,4.1 静矩与形心,解：,4.1 静矩与形心,4.1 静矩与形心,例4.3 求如图所示槽形

3、截面的形心位置。,解：该组合图形可以看成3个矩形的组合，也可看成是矩形ABDE减去矩形abde而组成，选取图示Oyz坐标系，由于z轴是图形的对称轴，故形心必在z轴上，即yc=0。,设矩形ABDE的面积为A1，其形心坐标为z1C ；矩形abde的面积为A2，其形心坐标为z2C，则,于是由式可得槽形截面的形心坐标zC,4.1 静矩与形心,一、惯性矩,A,ydA,A,zdA,图形对y轴的惯矩,图形对z轴的惯矩,4.2 惯性矩与惯性积,微面积dA对z轴和y轴的二次矩。,惯性矩的的单位为mm4或m4。,讨论,（1）惯矩恒0；,二、极惯性矩,图形对o点的极惯矩,单位：,讨论,（1）,4.2 惯性矩与惯性积

4、,z,y,且,即,对o点极惯矩 =,对过o点同一平面内任意一 对相互垂直轴的惯矩之和,所以 只与原点o有关，即,（2）,4.2 惯性矩与惯性积,例：4-4 矩形。求,解：,dz,同理,c,4.2 惯性矩与惯性积,2圆形,3三角形,4.2 惯性矩与惯性积,三、惯性半径,将惯性矩表示为图形面积A与某一长度平方的乘积，即,或改写为,iy和iz分别称为图形对y轴和z轴的惯性半径。,4.2 惯性矩与惯性积,四、惯性积,惯性积Iyz与坐标轴有关，因为坐标的乘积yz可为正或负，所以惯性积Iyz的数值可为正或负，也可为零。,惯性积的单位为mm4或m4。,1、主惯性轴和主惯性矩,主惯性轴：若在坐标系的两个坐标轴

5、中，有一个是图形的对称轴，则图形对这对坐标轴的惯性积必为零。这一对轴称为主惯性轴。,主惯性矩：图形对于主惯性轴的惯性矩。,2、形心主惯性轴和形心主惯性矩,形心主惯性轴：通过形心的主惯性轴。,形心主惯性矩：图形对于形心主惯性轴的惯性矩。,形心主惯性平面：横截面的形心主惯性轴与杆件轴线所确定的平面。,凡是两形心主惯性矩相等的几何图形，通过形心的所有轴均为形心主惯性轴，且形心主惯性矩均相等。,注意：对称轴一定是主轴，主轴不一定是对称轴。,4.2 惯性矩与惯性积,三、组合图形的惯性矩与惯性积,根据定义：,整个图形对某一轴的惯矩（惯性积）等于各个分图形对同一轴的惯矩（惯性积）之和。,I,II,III,4.2 惯性矩与惯性积,例如:,则,同理,4.2 惯性矩与惯性积,一、平行移轴公式,图形对形心轴yC和zC的惯性矩和惯性积为,由图可知,y=yC + b ， z=z C + a,图形对y轴的惯性矩为：,4.3 平行移轴公式,注意：,（1）y、z轴必须是yyC ，zzC ； （2）a和b是形心C在Oyz坐标系中的坐标，可为正，也可为负；,（4）对形心轴