九年级圆的基础知识点、经典例题与课后习题；

1、圆一：【知识梳理】 1.圆的有关概念和性质 (1) 圆的有关概念 圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中定点为圆心，定长为半径弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径 （2）圆的有关性质 圆是轴对称图形；其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图形，对称中心为圆心垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧说明：根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备： 过圆心；垂直于弦；平分弦；平分弦

2、所对的优弧；平分弦所对的劣弧。 上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。弧、半圆、优弧、劣弧：弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号“”表示，以cd为端点的弧记为“”，读作“圆弧cd”或“弧cd”。半圆：直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫做半圆。优弧：大于半圆的弧叫做优弧劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧。(为了区别优弧和劣弧，优弧用三个字母表示。)弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等 推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角；90”的圆周角所对的弦是直径等圆：能

3、够完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆。等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距.（3）对圆的定义的理解：圆是一条封闭曲线，不是圆面；圆由两个条件唯一确定：一是圆心（即定点），二是半径（即定长） 2.与圆有关的角 （1）圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角。圆心角的度数等于它所对的弧的度数 （2）圆周角：顶点在圆上，两边分别和圆相交的角，叫圆周角。圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半 （3）圆心角与圆周角的关系： 同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 （4）圆内接四边形：顶点都在圆上的四

4、边形，叫圆内接四边形 圆内接四边形对角互补，它的一个外角等于它相邻内角的对角3. 点与圆的位置关系及其数量特征： 如果圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则 点在圆上 d=r;点在圆内 dr;点在圆外 dr.其中点在圆上的数量特征是重点，它可用来证明若干个点共圆，方法就是证明这几个点与一个定点、的距离相等。4. 确定圆的条件:1. 理解确定一个圆必须的具备两个条件: 圆心和半径,圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小. 经过一点可以作无数个圆,经过两点也可以作无数个圆,其圆心在这个两点线段的垂直平分线上.2. 经过三点作圆要分两种情况:(1) 经过同一直线上的三点不能作圆.(2)经过不在同一直线上的

5、三点,能且仅能作一个圆.定理: 不在同一直线上的三个点确定一个圆.3. 三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形的概念: (1)三角形的外接圆和圆的内接三角形: 经过一个三角形三个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆,这个三角形叫做圆的内接三角形.(2)三角形的外心: 三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.(3)三角形的外心的性质:三角形外心到三顶点的距离相等.5. 直线与圆的位置关系1. 直线和圆相交、相切相离的定义:(1)相交: 直线与圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这时直线叫做圆的割线.(2)相切: 直线和圆有惟一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫做圆的切线,惟一的公共点做切点.

6、(3)相离: 直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离.2. 直线与圆的位置关系的数量特征: 设o的半径为r，圆心o到直线的距离为d；dr 直线l和o相交.d=r 直线l和o相切.dr 直线l和o相离.3. 切线的总判定定理: 经过半径的外端并且垂直于这个条半径的直线是圆的切线.4. 切线的性质定理: 圆的切线垂直于过切点的半径.推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系,可得如下结论:如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个,就可推出第三个.垂直于切线; 过切点; 过圆心.5. 三角形的内切圆、内心、圆

7、的外切三角形的概念. 和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心, 这个三角形叫做圆的外切三角形.6. 三角形内心的性质: (1)三角形的内心到三边的距离相等.(2)过三角形顶点和内心的射线平分三角形的内角.由此性质引出一条重要的辅助线: 连接内心和三角形的顶点,该线平分三角形的这个内角.6. 圆和圆的位置关系.1. 外离、外切、相交、内切、内含(包括同心圆)这五种位置关系的定义.(1)外离: 两个圆没有公共点,并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时,叫做这两个圆外离.(2)外切: 两个圆有惟一的公共点,并且除了这个公共点以外,每个圆上的点都在另一个圆的外部时, 叫做

8、这两个圆外切.这个惟一的公共点叫做切点.(3)相交: 两个圆有两个公共点,此时叫做这个两个圆相交.(4)内切: 两个圆有惟一的公共点,并且除了这个公共点以外,一个圆上的都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆内切.这个惟一的公共点叫做切点.(5)内含: 两个圆没有公共点, 并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆内含.两圆同心是两圆内的一个特例.2. 两圆位置关系的性质与判定:(1)两圆外离 dr+r(2)两圆外切 d=r+r(3)两圆相交 r-rdr+r (rr)(4)两圆内切 d=r-r (rr)(5)两圆内含 dr)3. 相切两圆的性质: 如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上.4.

9、 相交两圆的性质:相交两圆的连心线垂直平分公共弦.7. 圆内接四边形若四边形的四个顶点都在同一个圆上,这个四边形叫做圆内接四边形,这个圆叫做这个四边形的外接圆.圆内接四边形的特征: 圆内接四边形的对角互补; 圆内接四边形任意一个外角等于它的内错角.8. 弧长及扇形的面积1. 圆周长公式: 圆周长c=2r (r表示圆的半径)2. 弧长公式: 弧长 (r表示圆的半径, n表示弧所对的圆心角的度数)3. 扇形定义:一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形.4. 弓形定义:由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形. 弓形弧的中点到弦的距离叫做弓形高.5. 圆的面积公式.圆的面积 (r表示圆的半

10、径)6. 扇形的面积公式:扇形的面积 (r表示圆的半径, n表示弧所对的圆心角的度数)弓形的面积公式:(如图5)图5(1)当弓形所含的弧是劣弧时, (2)当弓形所含的弧是优弧时, (3)当弓形所含的弧是半圆时, 二、例题解析【例题1】如图1，是的外接圆，是直径，若，则等于（ ） a60 b50 c40 d30 图1 图2 图3【例题2】如图2，以o为圆心的两个同心圆中，大圆的弦ab与小圆相切于点c，若大圆半径为10cm，小圆半径为6cm，则弦ab的长为 cm【例题3】如图3，abc内接于o，ab=bc，abc=120，ad为o的直径，ad6，那么bd_【例题4】如图4已知o的两条弦ac，bd相

11、交于点e，a=70o，c=50o，那么sinaeb的值为（） a. b. c. d. 图4pbcea（图8）【例题5】如图5，半圆的直径，点c在半圆上，（1）求弦的长；（2）若p为ab的中点，交于点e，求的长 三、课堂练习 1、如图6，在o中，abc=40，则aoc 度cabs1s2bcao 图6 图7 图82、如图7，ab是o的直径，ac是弦，若aco = 32，则cob的度数等于 3、已知o的直径ab=8cm，c为o上的一点，bac=30，则bc=_cm.4、如图8，已知在中，分别以，为直径作半圆，面积分别记为，则+的值等于 5、如图9，o的半径oa10cm，p为ab上一动点，则点p到圆心

12、o的最短距离为_cm。 图96、如图10，在o中，acb=bdc=60，ac=，（1）求bac的度数； （2）求o的周长7、已知：如图11，o的直径ab与弦cd相交于，弧bc弧bd，o的切线bf与弦ad的延长线相交于点f(1)求证:cdbf(2)连结bc,若o的半径为4,cosbcd=,求线段ad、cd的长 8、如图12，在abc中，ab=bc，以ab为直径的o与ac交于点d，过d作dfbc，交ab的延长线于e，垂足为f(1)求证：直线de是o的切线；(2)当ab=5，ac=8时，求cose的值 图12 四、经典考题解析 1.如图13，在o中，已知a cbcdb60 ，ac3，则abc的周长是

13、_. 图13 图14 图152.“圆材埋壁”是我国古代九章算术中的问题：“今有圆材，埋在壁冲，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何”用数学语言可表述为如图14，cd为o的直径，弦abcd于点e，ce1寸，ab=10寸，则直径cd的长为（ ） a125寸 b13寸 c25寸 d26寸3.如图15，已知ab是半圆o的直径，弦ad和bc相交于点p，那么等于（ ） asinbpd bcosbpd ctanbpd dcotbpd4.o的半径是5，ab、cd为o的两条弦，且abcd，ab=6，cd=8，求 ab与cd之间的距离5.如图16，在m中，弧ab所对的圆心角为1200，已知圆的半径为2

14、cm，并建立如图所示的直角坐标系，点c是y轴与弧ab的交点。（1）求圆心m的坐标；（2）若点d是弦ab所对优弧上一动点，求四边形acbd的最大面积 图16 五、课后训练 1.如图17，在o中，弦ab=1.8cm，圆周角acb=30 ，则 o的直径等于_cm 图17 图18 图192.如图18，c是o上一点，o是圆心若c=35，则aob的度数为（ ） a35 b70 c105 d150 3.如图19，o内接四边形abcd中，ab=cd，则图中和1相等的角有_ 4.在半径为1的圆中，弦ab、ac分别是和，则 bac的度数为多少？5.如图20，弦ab的长等于o的半径，点c在o上，则c的度数是_. 图

15、20 图21 图22 6.如图21，四边形 abcd内接于o，若bod=100，则dab的度数为（ ） a50 b80 c100 d1307.如图22，四边形abcd为o的内接四边形，点e在cd的延长线上，如果bod=120，那么bce等于（ ） a30 b60 c90 d1208.如图，o的直径ab=10，deab于点h，ah=2 （1）求de的长； （2）延长ed到p，过p作o的切线，切点为c，若pc=22，求pd的长九年级数学圆练习题一、 填空题：（21分）1、 如图，在o中，弦aboc，则=_2、如图，在o中，ab是直径，则=_3、如图，点o是的外心，已知，则=_bcoa（1题图） （

16、2题图） （3题图） （4题图）4、如图，ab是o的直径，弧bc=弧bd，则 （5题图） （6题图） （7题图） 5、如图，o的直径为8，弦cd垂直平分半径oa，则弦cd 6、已知o的半径为2cm，弦ab2cm，p点为弦ab上一动点，则线段op的范围是 7、如图，在o中，b=50，c=20，则boc的=_二、解答题（70分）bd1、如图，ab是o的直径.若odac，与 的大小有什么关系？为什么？2、已知：如图，在o中，弦ab=cd.求证：弧ac=弧bd；aoc=bod3、如图，已知：o中，ab、cb为弦，oc交ab于d，求证：（1）odbobd，（2）odbobc；4、已知如图，ab、ac为弦

17、，omab于m，onac于n，mn是abc的中位线吗？5、已知如图，ab、cd是o的直径，df、be是弦，且df=be，求证：d=b6、已知如图，ab是o的直径，c是o上的一点，cdab于d，ce平分dco，交o于e，求证：弧ae=弧eb 7、如图，已知abc，ac=3，bc=4，c=90，以点c为圆心作c，半径为r.(1)当r取什么值时，点a、b在c外.(2)当r在什么范围时，点a在c内，点b在c外.(2)当r在什么范围时，c与线段ab相切。三、计算下列各题：（40分） 1、如图，已知ab为o的直径，ac为弦，odbc交ac于d，od =，求bc的长；abcde2、如图，在rtabc中，c90，ac3，bc4，以点c为圆心，ca为半径的圆与ab、bc分别交于点d、e，求ab、ad的长3、如图，o的直径ab和弦cd相交于点e，且ae=1cm，eb=5cm，deb=60，求cd的长。4、如图，在直径为100 mm的半圆铁片上切去一块高为20 mm的弓形铁片，求弓形的弦ab的长. 5、如图所示，已知矩形abcd的边。（1）以点a为圆心，4cm为半径作a，则点b、c、d与a的位置关系如何？（2）若以点a为圆心作a