一元一次方程知识点及经典例题

1、最新 料推荐一、知识要点梳理知识点一：方程和方程的解1. 方程：含有 _的 _叫方程注意： a. 必须是等式b.必须含有未知数。易错点：（1）. 方程式等式， 但等式不一定是方程； （ 2）. 方程中的未知数可以用 x 表示，也可以用其他字母表示； （ 3） . 方程中可以含多个未知数。考法：判断是不是方程：例：下列式子： (1).8-7=1+0(2).1、 一元一次方程：一元一次方程的标准形式是：ax+b=0( 其中 x 是未知数， a,b 是已知数，且a0) 。要点诠释：一元一次方程须满足下列三个条件：（ 1） 只含有一个未知数；（ 2） 未知数的次数是 1 次；（ 3） 整式方程2、方程

2、的解：判断一个数是否是某方程的解：将其代入方程两边，看两边是否相等知识点二：一元一次方程的解法1、方程的同解原理（也叫等式的基本性质）等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。如果，那么； (c 为一个数或一个式子) 。等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0 的数，结果仍相等。如果，那么；如果，那么要点诠释：分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为0 的数，分数的值不变。即：（其中 m0）特别须注意：分数的基本的性质主要是用于将方程中的小数系数（特别是分母中的小数）化为整数，如方程：=1.6 ，将其化为：=1.6 。方程的右边没有变化，这要与“去分母”区别开

3、。2、解一元一次方程的一般步骤：解一元一次方程的一般步骤变形具 体 方 法变 形 根 据注 意 事 项步骤去分方程两边都乘以1 不能漏乘不含分母的项；各个分母的最小公倍等式性质 22 分数线起到括号作用，去掉分母母数后，如果分子是多项式，则要加括号1最新 料推荐去括先去小括号， 再去乘法分配律、1 分配律应满足分配到每一项号中括号，最后去大括号去括号法则2 注意符号，特别是去掉括号把含有未知数的1 移项要变号；移项移到方程的一边， 不等式性质 12 一般把含有未知数的项移到方程项含有未知数的项移到左边，其余项移到右边另一边合并把方程中的同类项同分 别 合 并 ， 化 成合 并 同 类 项合并同

4、类项时，把同类项的系数类“ axb ” 的 形 式法则相加，字母与字母的指数不变项（ a0 ）未知方程两边同除以数的未知数的系数a ，得系数等式性质 2分子、分母不能颠倒b化成x“ 1”a要点诠释：理解方程 ax=b 在不同条件下解的各种情况，并能进行简单应用:a0 时，方程有唯一解； a=0， b=0 时，方程有无数个解；a=0，b0 时，方程无解。牛刀小试例 1、解方程（1） y- y 12y 225例 2、由两个方程的解相同求方程中子母的值已知方程 x104x 的解与方程 5x2m2的解相同，求m的值 .例 3 、解方程知识与绝对值知识综合题型解方程： | 2x 1 |732最新 料推荐

5、二、经典例题透析类型一：一元一次方程的相关概念1、已知下列各式：2x 5 1；8 7 1；x y；x y x2；3x y 6；5x 3y4z 0；8； x 0。其中方程的个数是()A、 5B、 6C、 7D、 8举一反三： 变式 1 判断下列方程是否是一元一次方程：（ 1） -2x 2+3=x （2） 3x-1=2y（ 3）x+=2 （ 4） 2x2-1=1-2(2x-x2) 变式 2 已知： (a-3)(2a+5)x+(a-3)y+60 是一元一次方程，求a 的值。 变式 3 （ 2011 重庆江津）已知3 是关于 x 的方程 2x a=1 的解 , 则 a 的值是 ( )A 5B 5C 7

6、D 2类型二：一元一次方程的解法解一元一次方程的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。如果我们在牢固掌握这一常规解题思路的基础上，根据方程原形和特点，灵活安排解题步骤，并且巧妙地运用学过的知识，就可以收到化繁为简、事半功倍的效果。1巧凑整数解方程：2、举一反三： 变式 解方程：2x 52巧去括号解方程：4、举一反三： 变式 解方程：3最新 料推荐4运用拆项法解方程：5、5巧去分母解方程：6、举一反三： 变式 （ 2011 山东滨州） 依据下列解方程的过程， 请在前面的括号内填写变形步骤，在后面的括号内填写变形依据。解：原方程可变形为(_)去分母，得3（ 3x+5） =2(2

7、x-1). (_)去括号，得9x+15=4x-2.（ _ ）(_),得 9x-4x=-15-2. (_)合并，得5x=-17. (合并同类项 )（_ ） , 得 x=.（ _）6巧组合解方程：7、思路点拨 ：按常规解法将方程两边同乘72 化去分母，但运算较复杂，注意到左边的第一项和右边的第二项中的分母有公约数 3，左边的第二项和右边的第一项的分母有公约数 4，移项局部通分化简，可简化解题过程。7巧解含有绝对值的方程：8、 |x 2| 3 0思路点拨： 解含有绝对值的方程的基本思想是先去掉绝对值符号，转化为一般的一元一次方程。对于只含一重绝对值符号的方程，依据绝对值的意义，直接去绝对值符号，化为

8、两个一元一次方程分别解之，即若|x| m，则 xm或 x m；也可以根据绝对值的几何意义进行去括号，如解法二。举一反三：【变式 1】（ 2011 福建泉州）已知方程，那么方程的解是_.4最新 料推荐； 变式 2 5| x|-16 3| x|-4 变式 38利用整体思想解方程：9、思路点拨： 因为含有的项均在“”中，所以我们可以将作为一个整体，先求出整体的值，进而再求的值。参考答案例 1：解： 是方程的是，共六个，所以选B总结升华 ：根据定义逐个进行判断是解题的基本方法，判断时应注意两点：一是等式；二是含有未知数，体现了对概念的理解与应用能力。举一反三1. 解析 ：判断是否为一元一次方程需要对原

9、方程进行化简后再作判断。答案：（ 1）（ 2）（ 3）不是，（ 4）是2. 解析 ：分两种情况：（ 1）只含字母y，则有 (a-3)(2a+5) 0 且 a- 30（ 2）只含字母 x，则有 a-3 0 且(a- 3)(2a+5) 0 不可能综上， a 的值为。3. 答案： B例 2.解：移项，得。合并同类项，得2x 1。系数化为1，得 x。举一反三解：原方程可变形为 2x 5整理，得8x 18 (2 15x) 2x 5，去括号，得8x 182 15x 2x 55最新 料推荐移项，得8x 15x 2x 518 2合并同类项，得9x 21系数化为1，得 x。例 4 解：去括号，得去小括号，得去分

10、母，得 (3x 5) 8 8去括号、移项、合并同类项，得3x 21两边同除以3，得 x7原方程的解为x7举一反三解：依次移项、去分母、去大括号，得依次移项、去分母、去中括号，得依次移项、去分母、去小括号，得， x 48例 5解： 原方程逆用分数加减法法则，得移项、合并同类项，得。系数化为1，得。例 6 解：原方程化为去分母，得100x (13 20x) 7去括号、移项、合并同类项，得120x 20两边同除以120，得 x6最新 料推荐原方程的解为总结升华 ：应用分数性质时要和等式性质相区别。可以化为同分母的，先化为同分母，再去分母较简便。举一反三【答案】解：原方程可变形为(_ 分式的基本性质_

11、)去分母，得3（ 3x+5 ）=2(2x-1). (_等式性质 2_)去括号，得9x+15=4x-2.（去括号法则或乘法分配律_）(_ 移项 _), 得 9x-4x=-15-2. (等式性质1_)合并，得 5x=-17. (合并同类项 )（_ _系数化为1_） , 得 x=.（等式性质2）例 7 解：移项通分，得化简，得去分母，得8x 144 9x 99。移项、合并，得x 45。例 8 解法一： 移项，得 |x 2| 3当 x20 时，原方程可化为 x2 3，解得 x 5当 x 2 0 时，原方程可化为(x 2) 3，解得 x 1。所以方程 |x 2| 3 0 的解有两个：x 5 或 x 1。

12、解法二： 移项，得 |x 2| 3。因为绝对值等于3 的数有两个： 3 和 3，所以 x 2 3 或 x2 3。分别解这两个一元一次方程，得解为x 5 或 x 1。举一反三1.【答案】2.解： 5| x|-3| x| 16-42| x| 12| x| 66x3.解： |3 x-1| 83x-1 83x183x 9 或 3x -7x 3 或7最新 料推荐例 9 解：移项通分，得：化简，得：移项，系数化1 得：总结升华 ：解一元一次方程有一般程序化的步骤， 我们在解一元一次方程时， 既要学会按部就班 ( 严格按步骤 ) 地解方程， 又要能随机应变 ( 灵活打乱步骤 ) 解方程。 对于一般解题步骤与

13、解题技巧来说，前者是基础，后者是机智，只有真正掌握了一般步骤，才能熟能生巧。三、课堂练习一、选择题3;(2) 0.3x=1;(3)x2其中1、已知下列方程： （1） x-2=5x-1;(4) x-4x=3;(5) x=0;(6) x+2y=0.x2一元一次方程的个数是（）A 2B 3C4D 52、下列四组变形中，正确的是（）A 由 5x+7=0, 得 5x= -7B由 2x-3=0, 得 2x-3+3=0x1D 由 5x=7,得 x=35C 由 =2,得 x=363、一个水池有甲、乙两个水龙头，单独开甲水龙头2 小时可把空池灌满；单独开乙水龙头3 小时可把空池灌满，若同时开放两个水龙头，灌满空

14、池需（）A6 小时B 5小时C2 小时D3 小时564、下列方程中，是由方程7x-8=x+3变形而得到的是（）A7x=x+5B7x+5=xC6x=11D-8+3=-6x5、下列方程的变形中，是移项的是（）55A 由 3=x，得x=3B 由 6x=3+5x ，得 6x=5x+3228最新 料推荐 x6 ； x2y0 其中一元一次方程的个数是（）A2B3C4D513 已知关于x的方程a x5 (2 a1)x的解是 x1 ，则a的值是（）、A-5B-6C-7D814、方程3x 52 x移项后，正确的是（）1A 3x2x51B 3x2x15C 3x2x15D 3x2x1515、2 x43x 1，去分母

15、得（）方程 232A 22(2 x4)33( x1)B 123(2x4)183(x1)C12(2 x4)18( x1)D 6 2(2 x4)9 ( x 1)16、 甲、乙两人骑自行车同时从相距65 km 的两地相向而行， 2 小时相遇，若甲比乙每小时多骑25 km，则乙的时速是（）A125 kmB15 kmC175 kmD20 km17、 某商店卖出两件衣服，每件 60 元，其中一件赚25，另一件赔25，那么这两件衣服售出后商店是（）A不赚不赔B 赚 8 元C亏 8 元D 赚 15 元二、填空题：1 、圆的周长为4，半径为x, 列出方程为。2、已知方程（ m-2）xm 1.+5=9 是关于 x

16、 的一元一次方程，则 m =3、已知代数式x+2y 的值是 3，则代数式2x+4y+1 的值是。4、 3a 2 m 3 b 4 与 2a 6 m b 4 是同类项，则m =.5、若 xy +（ y+1） 2 =0, 则 x-y=.6、某商品的进价为250 元，为了减少库存，决定每件商品按标价打8 折销售，结果每件商品仍获利10 元，那么原来标价为。7、当 x=时， 82x 的值是 0.159最新 料推荐10最新 料推荐三、一元一次方程应用题（找出等量关系）一 、列一元一次方程解应用题的一般步骤（ 1）审题：弄清题意 （2）找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系（ 3）设出未知数，列出方程

17、：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，?然后利用已找出的等量关系列出方程 （ 4）解方程：解所列的方程，求出未知数的值（ 5）检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，?是否符合实际，检验后写出答案1、数字问题要搞清楚数的表示方法：一个三位数的百位数字为 a，十位数字是 b，个位数字为 c（其中 a、b、c 均为整数，且 1a9， 0 b9， 0 c9）则这个三位数表示为： 100a+10b+c。例 1、 若三个连续的偶数和为18，求这三个数。例 2、 一个两位数，个位上的数是十位上的数的2 倍，如果把十位与个位上的数对调，那么所得的两位数比原两位数大36，求原来的两位数等量关系

18、：原两位数 +36=对调后新两位数例3、有一个三位数，个位数字为百位数字的2倍，十位数字比百位数字大1，若将此数个位与百位顺序对调（个位变百位）所得的新数比原数的2倍少 49，求原数。分析：然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程2、日历中的规律：横行相邻两数相差_竖行相邻两数相差 _。例 1、如果今天是星期三，那么一年（365 天）以后的今天是星期 _例 2、在日历表中，用一个正方形任意圈出2x2 个数，则它们的和一定能被_整除。A 3B 4C 5D 6例 3、如果某一年的 5 月份中，有 5 个星期五，且它们的日期之和为 80，那么这个月的 4 号是星期几？11最新 料推荐3、

19、等 形 常用等量关系 ：形状面 了，周 没 ；原料体 成品体 。例 1、用直径 4cm的 ， 造一个重 0.62kg 的零件毛坯，如果 种 每立方厘米重 7.8g ， 截 多 ？例 2. 用直径 为 90mm的 圆 柱形 玻璃 杯（已 装 满 水）向一个由 底面 积为125 125mm2 内高 81mm的 方体 盒倒水 ，玻璃杯中的水的高度下降多少mm？（ 果保留整数314. ）4、 和、差、倍、分 ：倍数关系：通 关 “是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增 率”来体 。多少关系：通 关 “多、少、和、差、不足、剩余”来体 。（ 1） 力 配 ： 要搞清人数的 化 .例 1. 某厂一

20、 有 64 人，二 有 56 人。 因工作需要，要求第一 人数是第二 人数的一半。 需从第一 多少人到第二 ？例 2甲、乙两 各有工人若干，如果从乙 100人到甲 ，那么甲 的人数是乙 剩余人数的 6倍；如果从甲 100人到乙 ， 两 的人数相等，求原来甲乙 的人数。（ 2）配套 ：例 1、某 有 28名工人生 螺栓和螺母，每人每小 平均能生 螺栓 12个或螺母 18个， 如何分配生 螺栓和螺母的工人， 才能使螺栓和螺母正好配套 （一个螺栓配两个螺母）12最新 料推荐例 2. 机械厂加工车间有 85 名工人，平均每人每天加工大齿轮 16 个或小齿轮 10 个，已知 2 个大齿轮与 3 个小齿轮

21、配成一套，问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？分析：列表法。每人每天人数数量大齿轮16 个x 人16x小齿轮10 个85 x人10 85 x等量关系：小齿轮数量的2 倍大齿轮数量的3 倍解：设分别安排 x 名、 85x 名工人加工大、小齿轮3(16x)210(85x)48x170020x68x1700x2585x60人答：略.（ 3）分配问题：例 1. 学校分配学生住宿，如果每室住 8人，还少 12个床位，如果每室住 9人，则空出两个房间。求房间的个数和学生的人数。例 2. 三个正整数的比为 1：2：4，它们的和是 84，那么这三个数中最大的数是几？（比例分

22、配问题 常用等量关系：各部分之和总量。 ）（ 4）年龄问题：例 1、甲比乙大 15 岁，5 年前甲的年龄是乙的年龄的两倍， 乙现在的年龄是多少岁？例 2、小华的爸爸现在的年龄比小华大 25 岁， 8 年后小华爸爸的年龄是小华的 3 倍多 5 岁，求小华现在的年龄。13最新 料推荐5、工程问题工程问题中的三个量及其关系为：工作总量 =工作效率工作时间经常在题目中未给出工作总量时，设工作总量为单位 1。例 1. 一件工程，甲独做需 15 天完成，乙独做需 12 天完成，现先由甲、乙合作3 天后，甲有其他任务，剩下工程由乙单独完成，问乙还要几天才能完成全部工程？分析设工程总量为单位 1，等量关系为：

23、甲完成工作量 +乙完成工作量 =工作总量。11解：设乙还需 x 天完成全部工程， 设工作总量为单位1，由题意得， ( 15+12)x3+12=1，.例 2、在西部大开发中，基础建设优先发展，甲、乙两队共同承包了一段长6500米的高速公路工程，两队分别从两端施工相向前进，甲队平均每天可完成480米，乙队平均每天比甲队多完成 220 米，乙队比甲队晚一天开工， 乙队开工几天后两队完成全部任务？6、 打折销售问题（ 1）销售问题中常出现的量有：进价、售价、标价、利润等（ 2）基本关系式：利润售价进价；售价=标价折数；利润率利润/ 进价。由 可得 出 利润标 价 折数 进 价 。 由 可得出 利 润率

24、。 市场经济问题商品利润（1）商品利润商品售价商品成本价（2）商品利润率 100% 商品成本价（3）商品销售额商品销售价商品销售量（4）商品的销售利润（销售价成本价）销售量（5）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打8 折出售，14最新 料推荐即按原标价的 80%出售例 1、一件衣服标价是 200 元，现打 7 折销售。问：买这件衣服需要多少钱？若已知这件衣服的成本 （进价）是 115 元，那么商家卖出这件衣赚了多少钱？利润是多少？例 2、 某商场售货员同时卖出两件上衣， 每件都以 135 元售出，若按成本计算，其中一件赢利 25%，另一件亏损 25%，问这次售货员是赔了还是赚

25、了？7、行程问题。（行程问题可以采用画示意图的辅助手段来帮助理解题意，并注意两者运动时出发的时间和地点）要掌握行程中的基本关系：路程速度时间。相遇问题（相向而行），这类问题的相等关系是：甲走的路程+乙走的路程 =全路程追及问题（同向而行），这类问题的等量关系是：同时不同地：甲的时间 =乙的时间 甲走的路程 - 乙走的路程 =原来甲、乙相距的路程同地不同时；甲的时间 =乙的时间 - 时间差甲的路程 =乙的路程解此类题的关键是抓住甲、 乙两物体的时间关系或所走的路程关系，一般情况下问题就能迎刃而解。并且还常常借助画草图来分析，理解行程问题。例 1.甲、乙两站相距480 公里，一列慢车从甲站开出，每

26、小时行90 公里，一列快车从乙站开出，每小时行140 公里。（ 1）慢车先开出 1 小时，快车再开。两车相向而行。问快车开出多少小时后两车相遇？15最新 料推荐（ 2）两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距600 公里？（ 3）两车同时开出， 慢车在快车后面同向而行， 多少小时后快车与慢车相距 600公里？（ 4）两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？（ 5）慢车开出 1 小时后两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出后多少小时追上慢车？此题关键是要理解清楚相向、相背、同向等的含义，弄清行驶过程。故可结合图形分析。（ 1）分析：相遇问题，画图表示为：甲乙等量关系是：慢

27、车走的路程+快车走的路程 =480 公里。解：设快车开出 x 小时后两车相遇，由题意得， 140x+90(x+1)=480 解这个方程， 230x=39016 x=1 23答：略 .（ 2）分析：相背而行，画图表示为：600甲乙等量关系是：两车所走的路程和+480 公里 =600 公里。解：设 x 小时后两车相距600 公里，由题意得， (140+90)x+480=600 解这个方程， 230x=12012 x= 23答：略 .（ 3）分析：等量关系为：快车所走路程慢车所走路程+480 公里 =600 公里。解：设x 小时后两车相距600 公里，由题意得，(140 90)x+480=60050

28、x=12016最新 料推荐 x=2.4答：略 .（ 4）分析：追及问题，画图表示为：甲乙等量关系为：快车的路程=慢车走的路程 +480 公里。解：设 x 小时后快车追上慢车。由题意得， 140x=90x+480解这个方程， 50x=480 x=9.6答：略 .（ 5）分析：追及问题，等量关系为：快车的路程 =慢车走的路程 +480 公里。解：设快车开出 x 小时后追上慢车。由题意得， 140x=90(x+1)+48050x=570解得， x=11.4 答：略 .环形跑道上的相遇和追及问题：同地反向而行的等量关系是两人走的路程和 =一圈的路程；同地同向而行的等量关系是两人所走的路程差 =一圈的路

29、程。航行问题： 顺水（风）速度静水（风）速度水流（风）速度逆水（风）速度静水（风）速度水流（风）速度例： 一艘船在两个码头之间航行，水流速度是3千米每小时，顺水航行需要2小时，逆水航行需要 3小时，求两码头的之间的距离？抓住两码头间距离不变， 水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系1、A、B 两地相距 150 千米。一辆汽车以每小时 50 千米的速度从 A 地出发，另一辆汽车以每小时 40 千米的速度从 B 地出发，两车同时出发，相向而行，问经过几小时，两车相距 30 千米？2、甲、乙两人练习 100 米赛跑，甲每秒跑 7 米，乙每秒跑 6.5 米，如果甲让乙先跑 1 秒，那么甲经过几秒

30、可以追上乙？17最新 料推荐3、一架飞机飞行在两个城市之间，顺风要 2 小时 45 分，逆风要 3 小时，已知风速是 20 千米小时，则两城市间的距离为多少？4、一列火车以每分钟 1 千米的速度通过一座长 400 米的桥，用了半分钟，则火车本身的长度为多少米？5、火车用 26 秒的时间通过一个长 256 米的隧道（即从车头进入入口到车尾离开出口），这列火车又以 16 秒的时间通过了长 96 米的隧道，求列车的长度。8、银行储蓄问题。 顾客存入银行的钱叫做本金，银行付给顾客的酬金叫利息，本金和利息合称本息和，存入银行的时间叫做期数，利息与本金的比叫做利率。利息的 20%付利息税 利息 =本金利率期数本息和 =本金 +利息利息税 =利息税率（ 20%）每个期数内的利息利润 100% 利息本金利率期数本金注意利率有日利率、月利率和年利率，年利率月利率12日利率 365。本息和本金 _本金 _ _（1_ _）本金（不考虑利息税）本息和本金 _本金 _ _（ 1_）（考虑利息税）例 9. 某同学把 250 元钱存入银行，整存整取，存期为半年。半年后共得本息和 252.7 元，求银行半年期的年利率是多少？（不计利息税）18最新 料推荐分析：等量关