概率论与数理统计第四版习题答案第四版盛骤浙江大学出版

完全版一到八章概率论与数理统计习题答案第四版盛骤浙江大学浙大第四版（高等教育出版社）第一章概率论的基本概念1一写出下列随机试验的样本空间（1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（充以百分制记分）（一1），N表小班人数NOS10,（3）生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。（一2）S10，11，12，N，（4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。查出合格品记为“1”，查出次品记为“0”，连续出现两个“0”就停止检查，或查满4次才停止检查。（一3）S00，100，0100，0101，1010，0110，1100，0111，1011，1101，1110，1111，2二设A，B，C为三事件，用A，B，C的运算关系表示下列事件。（1）A发生，B与C不发生。表示为或AABAC或ABC（2）A，B都发生，而C不发生。表示为或ABABC或ABC（3）A，B，C中至少有一个发生表示为ABC（4）A，B，C都发生，表示为ABC（5）A，B，C都不发生，表示为或SABC或CBACBA（6）A，B，C中不多于一个发生，即A，B，C中至少有两个同时不发生相当于中至少有一个发生。故表示为。,（7）A，B，C中不多于二个发生。相当于中至少有一个发生。故表示为,ABC或（8）A，B，C中至少有二个发生。相当于AB，BC，AC中至少有一个发生。故表示为ABBCAC6三设A，B是两事件且PA06，PB07问1在什么条件下PAB取到最大值，最大值是多少（2）在什么条件下PAB取到最小值，最小值是多少解由PA06，PB07即知AB，（否则AB依互斥事件加法定理，PABPAPB0607131与PAB1矛盾）从而由加法定理得PABPAPBPAB（1）从0PABPA知，当ABA，即AB时PAB取到最大值，最大值为PABPA06，（2）从式知，当ABS时，PAB取最小值，最小值为PAB0607103。7四设A，B，C是三事件，且，0,41BCPACPBA求A，B，C至少有一个发生的概率。81解PA，B，C至少有一个发生PABCPAPBPCPABPBCPACPABC50438五在一标准英语字典中具有55个由二个不相同的字母新组成的单词，若从26个英语字母中任取两个字母予以排列，问能排成上述单词的概率是多少记A表“能排成上述单词”从26个任选两个来排列，排法有种。每种排法等可能。26A字典中的二个不同字母组成的单词55个130526AP9在电话号码薄中任取一个电话号码，求后面四个数全不相同的概率。（设后面4个数中的每一个数都是等可能性地取自0，1，29）记A表“后四个数全不同”后四个数的排法有104种，每种排法等可能。后四个数全不同的排法有10A544P10六在房间里有10人。分别佩代着从1号到10号的纪念章，任意选3人记录其纪念章的号码。（1）求最小的号码为5的概率。记“三人纪念章的最小号码为5”为事件A10人中任选3人为一组选法有种，且每种选法等可能。310又事件A相当于有一人号码为5，其余2人号码大于5。这种组合的种数有251130P（2）求最大的号码为5的概率。记“三人中最大的号码为5”为事件B，同上10人中任选3人，选法有种，且每种选法等可310能，又事件B相当于有一人号码为5，其余2人号码小于5，选法有种2420134BP11七某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶，红漆3桶。在搬运中所标笺脱落，交货人随意将这些标笺重新贴，问一个定货4桶白漆，3桶黑漆和2桶红漆顾客，按所定的颜色如数得到定货的概率是多少记所求事件为A。在17桶中任取9桶的取法有种，且每种取法等可能。917C取得4白3黑2红的取法有2340故15617AP12八在1500个产品中有400个次品，1100个正品，任意取200个。（1）求恰有90个次品的概率。记“恰有90个次品”为事件A在1500个产品中任取200个，取法有种，每种取法等可能。2015200个产品恰有90个次品，取法有种942015AP（2）至少有2个次品的概率。记A表“至少有2个次品”B0表“不含有次品”，B1表“只含有一个次品”，同上，200个产品不含次品，取法有种，201200个产品含一个次品，取法有种904且B0，B1互不相容。10A201594201510BPAP13九从5双不同鞋子中任取4只，4只鞋子中至少有2只配成一双的概率是多少记A表“4只全中至少有两支配成一对”则表“4只人不配对”从10只中任取4只，取法有种，每种取法等可能。410要4只都不配对，可在5双中任取4双，再在4双中的每一双里任取一只。取法有42521381240APC15十一将三个球随机地放入4个杯子中去，问杯子中球的最大个数分别是1，2，3，的概率各为多少记AI表“杯中球的最大个数为I个”I1,2,3,三只球放入四只杯中，放法有43种，每种放法等可能对A1必须三球放入三杯中，每杯只放一球。放法432种。选排列好比3个球在4个位置做排列1621P对A2必须三球放入两杯，一杯装一球，一杯装两球。放法有种。342C从3个球中选2个球，选法有，再将此两个球放入一个杯中，选法有4种，最后将23C剩余的1球放入其余的一个杯中，选法有3种。169432AP对A3必须三球都放入一杯中。放法有4种。只需从4个杯中选1个杯子，放入此3个球，选法有4种163P16十二50个铆钉随机地取来用在10个部件，其中有三个铆钉强度太弱，每个部件用3只铆钉，若将三只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱，问发生一个部件强度太弱的概率是多少记A表“10个部件中有一个部件强度太弱”。法一用古典概率作把随机试验E看作是用三个钉一组，三个钉一组去铆完10个部件（在三个钉的一组中不分先后次序。但10组钉铆完10个部件要分先后次序）对E铆法有种，每种装法等可能32347350CC对A三个次钉必须铆在一个部件上。这种铆法有10种323473C051196032347503CCP法二用古典概率作把试验E看作是在50个钉中任选30个钉排成一列，顺次钉下去，直到把部件铆完。（铆钉要计先后次序）对E铆法有种，每种铆法等可能350A对A三支次钉必须铆在“1，2，3”位置上或“4，5，6”位置上，或“28，29，30”位置上。这种铆法有种274327274374310AA19600357P17十三已知。|,50,4,BAPBAPA求解一BASP,61,701注意故有BAPABPAPA070502。再由加法定理，PAPAPPA07060508BB于是2508|25067051|72|750|BAPBAPBAPABPAP定义故解二由已知18十四。,21|,31|,41BAPBAPBAP求解由61314|BP有定义由已知条件由乘法公式，得12|ABPA由加法公式，得3126419十五掷两颗骰子，已知两颗骰子点数之和为7，求其中有一颗为1点的概率（用两种方法）。解（方法一）（在缩小的样本空间SB中求PA|B，即将事件B作为样本空间，求事件A发生的概率）。掷两颗骰子的试验结果为一有序数组（X,Y）（X,Y1,2,3,4,5,6）并且满足X,Y7，则样本空间为SX,Y|1,6,6,1,2,5,5,2,3,4,4,3每种结果（X,Y）等可能。A掷二骰子，点数和为7时，其中有一颗为1点。故3162AP方法二（用公式|BPASX,Y|X1,2,3,4,5,6Y1,2,3,4,5,6每种结果均可能A“掷两颗骰子，X,Y中有一个为“1”点”，B“掷两颗骰子，X,Y7”。则，22616ABP故316|2BP20十六据以往资料表明，某一3口之家，患某种传染病的概率有以下规律PAP孩子得病06，PB|AP母亲得病|孩子得病05，PC|ABP父亲得病|母亲及孩子得病04。求母亲及孩子得病但父亲未得病的概率。解所求概率为PAB（注意由于“母病”，“孩病”，“父病”都是随机事件，这里不是求P|ABCPABPAPB|A060503,P|AB1PC|AB10406从而PABPABP|AB0306018C21十七已知10只晶体管中有2只次品，在其中取二次，每次随机地取一只，作不放回抽样，求下列事件的概率。（1）二只都是正品（记为事件A）法一用组合做在10只中任取两只来组合，每一个组合看作一个基本结果，每种取法等可能。620458210CAP法二用排列做在10只中任取两个来排列，每一个排列看作一个基本结果，每个排列等可能。458210A法三用事件的运算和概率计算法则来作。记A1，A2分别表第一、二次取得正品。45289710|221APAP（2）二只都是次品（记为事件B）法一45120CP法二210AB法三451902|12121APP（3）一只是正品，一只是次品（记为事件C）法一45162018CP法二2108A法三互斥与且2121APC456908|12121AAP（4）第二次取出的是次品（记为事件D）法一因为要注意第一、第二次的顺序。不能用组合作，法二512019AP法三互斥与且2121AAPD519028|1P22十八某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随机的拨号，求他拨号不超过三次而接通所需的电话的概率是多少如果已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少记H表拨号不超过三次而能接通。AI表第I次拨号能接通。注意第一次拨号不通，第二拨号就不再拨这个号码。1038910|213122321APAAPHP三种情况互斥如果已知最后一个数字是奇数（记为事件B）问题变为在B已发生的条件下，求H再发生的概率。|32121ABPAH|213121ABPABP5345424十九设有甲、乙二袋，甲袋中装有N只白球M只红球，乙袋中装有N只白球M只红球，今从甲袋中任取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球，问取到（即从乙袋中取到）白球的概率是多少（此为第三版19题1）记A1，A2分别表“从甲袋中取得白球，红球放入乙袋”再记B表“再从乙袋中取得白球”。BA1BA2B且A1，A2互斥PBPA1PB|A1PA2PB|A21MNMNMNMN十九2第一只盒子装有5只红球，4只白球；第二只盒子装有4只红球，5只白球。先从第一盒子中任取2只球放入第二盒中去，然后从第二盒子中任取一只球，求取到白球的概率。记C1为“从第一盒子中取得2只红球”。C2为“从第一盒子中取得2只白球”。C3为“从第一盒子中取得1只红球，1只白球”，D为“从第二盒子中取得白球”，显然C1，C2，C3两两互斥，C1C2C3S，由全概率公式，有PDPC1PD|C1PC2PD|C2PC3PD|C395167529452942926二十一已知男人中有5是色盲患者，女人中有025是色盲患者。今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少解A1男人，A2女人，B色盲，显然A1A2S，A1A2由已知条件知50|,5|21BPP由贝叶斯公式，有2105102|211111ABPABPABP二十二一学生接连参加同一课程的两次考试。第一次及格的概率为P，若第一次及格则第二次及格的概率也为P；若第一次不及格则第二次及格的概率为（1）若至少有一次及格则他能取得某2种资格，求他取得该资格的概率。（2）若已知他第二次已经及格，求他第一次及格的概率。解AI他第I次及格，I1,2已知PA1PA2|A1P，2|12P（1）B至少有一次及格所以21两次均不及格|11122APAPBP|232（2）（）2121AP定义由乘法公式，有PA1A2PA1PA2|A1P2由全概率公式，有|121A2P将以上两个结果代入（）得12|21PA28二十五某人下午500下班，他所积累的资料表明到家时间535539540544545549550554迟于554乘地铁到家的概率010025045015005乘汽车到家的概率030035020010005某日他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车，结果他是547到家的，试求他是乘地铁回家的概率。解设A“乘地铁”，B“乘汽车”，C“545549到家”，由题意,AB,ABS已知PA05,PC|A045,PC|B02,PB05由贝叶斯公式有692301542|1|450|BCPACPA29二十四有两箱同种类型的零件。第一箱装5只，其中10只一等品；第二箱30只，其中18只一等品。今从两箱中任挑出一箱，然后从该箱中取零件两次，每次任取一只，作不放回抽样。试求（1）第一次取到的零件是一等品的概率。（2）第一次取到的零件是一等品的条件下，第二次取到的也是一等品的概率。解设BI表示“第I次取到一等品”I1，2AJ表示“第J箱产品”J1,2，显然A1A2SA1A2（1）（B1A1BA2B由全概率公式解）。405382501P（2）48570593|1212B（先用条件概率定义，再求PB1B2时，由全概率公式解）32二十六（2）如图1，2，3，4，5表示继电器接点，假设每一继电器接点闭合的概率为P，且设各继电器闭合与否相互独立，求L和R是通路的概率。记AI表第I个接点接通记A表从L到R是构成通路的。AA1A2A1A3A5A4A5A4A3A2四种情况不互斥PAPA1A2PA1A3A5PA4A5PA4A3A2PA1A2A3A5PA1A2A4A5PA1A2A3A4PA1A3A4A5PA1A2A3A4A5PA2A3A4A5PA1A2A3A4A5PA1A2A3A4A5A1A2A3A4A5PA1A2A3A4A5PA1A2A3A4A553421LR又由于A1，A2，A3，A4，A5互相独立。故PAP2P3P2P3P4P4P4P4P5P4P5P5P5P5P52P23P35P42P5二十六（1）设有4个独立工作的元件1，2，3，4。它们的可靠性分别为P1，P2，P3，P4，将它们按图（1）的方式联接，求系统的可靠性。记AI表示第I个元件正常工作，I1，2，3，4，A表示系统正常。AA1A2A3A1A4两种情况不互斥PAPA1A2A3PA1A4PA1A2A3A4加法公式PA1PA2PA3PA1PA4PA1PA2PA3PA4P1P2P3P1P4P1P2P3P4A1,A2,A3,A4独立34三十一袋中装有M只正品硬币，N只次品硬币，（次品硬币的两面均印有国徽）。在袋中任取一只，将它投掷R次，已知每次都得到国徽。问这只硬币是正品的概率为多少解设“出现R次国徽面”BR“任取一只是正品”A由全概率公式，有RRRRRRRRRRNMNMBPAAPN221|1|（条件概率定义与乘法公式）35甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分别为04，05，07。飞机被一人击中而被击落的概率为02，被两人击中而被击落的概率为06，若三人都击中，飞机必定被击落。求飞机被击落的概率。3421解高HI表示飞机被I人击中，I1，2，3。B1，B2，B2分别表示甲、乙、丙击中飞机，三种情况互斥。331三种情况互斥2121323B又B1，B2，B2独立。321321BPBPHP607560543213212BPBPP054040507060507041PH3PB1PB2PB3040507014又因AH1AH2AH3A三种情况互斥故由全概率公式，有PAPH1PA|H1PH2PA|H2PH3PAH303602041060141045836三十三设由以往记录的数据分析。某船只运输某种物品损坏2（这一事件记为A1），10（事件A2），90（事件A3）的概率分别为PA108,PA2015,PA2005，现从中随机地独立地取三件，发现这三件都是好的（这一事件记为B），试分别求PA1|BPA2|B,PA3|B（这里设物品件数很多，取出第一件以后不影响取第二件的概率，所以取第一、第二、第三件是互相独立地）B表取得三件好物品。BA1BA2BA3B三种情况互斥由全概率公式，有PBPA1PB|A1PA2PB|A2PA3PB|A30809830150930050130862401862405|6891|731086240|333332222111BPAABPB37三十四将A，B，C三个字母之一输入信道，输出为原字母的概率为，而输出为其它一字母的概率都是1/2。今将字母串AAAA，BBBB，CCCC之一输入信道，输入AAAA，BBBB，CCCC的概率分别为P1,P2,P3P1P2P31，已知输出为ABCA，问输入的是AAAA的概率是多少（设信道传输每个字母的工作是相互独立的。）解设D表示输出信号为ABCA，B1、B2、B3分别表示输入信号为AAAA，BBBB，CCCC，则B1、B2、B3为一完备事件组，且PBIPI,I1,2,3。再设A发、A收分别表示发出、接收字母A，其余类推，依题意有PA收|A发PB收|B发PC收|C发，PA收|B发PA收|C发PB收|A发PB收|C发PC收|A发PC收|B发21又PABCA|AAAAPD|B1PA收|A发PB收|A发PC收|A发PA收|A发，22同样可得PD|B2PD|B331于是由全概率公式，得3322131|PAPIII由BAYES公式，得PAAAA|ABCAPB1|D|11B23211P二十九设第一只盒子装有3只蓝球，2只绿球，2只白球；第二只盒子装有2只蓝球，3只绿球，4只白球。独立地分别从两只盒子各取一只球。（1）求至少有一只蓝球的概率，（2）求有一只蓝球一只白球的概率，（3）已知至少有一只蓝球，求有一只蓝球一只白球的概率。解记A1、A2、A3分别表示是从第一只盒子中取到一只蓝球、绿球、白球，B1、B2、B3分别表示是从第二只盒子中取到一只蓝球、绿球、白球。（1）记C至少有一只蓝球CA1B1A1B2A1B3A2B1A3B1，5种情况互斥由概率有限可加性，得952794739273131231113232BPAPBPPA独立性（2）记D有一只蓝球，一只白球，而且知DA1B3A3B1两种情况互斥6319274311PPBAPD（3）5|DCCDC注意到三十A，B，C三人在同一办公室工作，房间有三部电话，据统计知，打给A，B，C的电话的概率分别为。他们三人常因工作外出，A，B，C三人外出的概率分别为，51,241,2设三人的行动相互独立，求（1）无人接电话的概率；（2）被呼叫人在办公室的概率；若某一时间断打进了3个电话，求（3）这3个电话打给同一人的概率；（4）这3个电话打给不同人的概率；（5）这3个电话都打给B，而B却都不在的概率。解记C1、C2、C3分别表示打给A，B，C的电话D1、D2、D3分别表示A，B，C外出注意到C1、C2、C3独立，且51,5231CPP4,32DP（1）P（无人接电话）PD1D2D3PD1PD2PD34（2）记G“被呼叫人在办公室”，三种情况互斥，由有限可加性321CG与乘法公式2013453215|3312DPDPCPCDG|KKDPC故否和来电话无关由于某人外出与（3）H为“这3个电话打给同一个人”12575525P（4）R为“这3个电话打给不同的人”R由六种互斥情况组成，每种情况为打给A，B，C的三个电话，每种情况的概率为125452于是6P（5）由于是知道每次打电话都给B，其概率是1，所以每一次打给B电话而B不在的概率为，41且各次情况相互独立于是P（3个电话都打给B，B都不在的概率）643第二章随机变量及其分布1一一袋中有5只乒乓球，编号为1、2、3、4、5，在其中同时取三只，以X表示取出的三只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律解X可以取值3，4，5，分布律为1064,321,553,44102,1,3524352CPXC中任取两球再在号一球为中任取两球再在号一球为号两球为号一球为也可列为下表X3，4，5P106,3三设在15只同类型零件中有2只是次品，在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽样，以X表示取出次品的只数，（1）求X的分布律，（2）画出分布律的图形。解任取三只，其中新含次品个数X可能为0，1，2个。35201CP3152X2315CP再列为下表X0，1，2P35,4四进行重复独立实验，设每次成功的概率为P，失败的概率为Q1P0YPX1,Y0PX2,Y0PX2,Y1PX3PY0PX3PY1PX3PY2PX1PY0PX2,Y0PX2,Y1PX3PY0PX3PY1PX3PY2823213304600460CC1272372239十有甲、乙两种味道和颜色极为相似的名酒各4杯。如果从中挑4杯，能将甲种酒全部挑出来，算是试验成功一次。（1）某人随机地去猜，问他试验成功一次的概率是多少（2）某人声称他通过品尝能区分两种酒。他连续试验10次，成功3次。试问他是猜对的，还是他确有区分的能力（设各次试验是相互独立的。）解（1）P一次成功70148C（2）P连续试验10次，成功3次。此概率太小，按实际推断原103769310理，就认为他确有区分能力。九有一大批产品，其验收方案如下，先做第一次检验从中任取10件，经验收无次品接受这批产品，次品数大于2拒收；否则作第二次检验，其做法是从中再任取5件，仅当5件中无次品时接受这批产品，若产品的次品率为10，求（1）这批产品经第一次检验就能接受的概率（2）需作第二次检验的概率（3）这批产品按第2次检验的标准被接受的概率（4）这批产品在第1次检验未能做决定且第二次检验时被通过的概率（5）这批产品被接受的概率解X表示10件中次品的个数，Y表示5件中次品的个数，由于产品总数很大，故XB（10，01），YB（5，01）（近似服从）（1）PX009100349（2）PX2PX2PX1581099011082C（3）PY00950590（4）P010PX110002840（查表计算）十二2每分钟呼唤次数大于3的概率。5604十六以X表示某商店从早晨开始营业起直到第一顾客到达的等待时间（以分计），X的分布函数是00,14XEXFX求下述概率（1）P至多3分钟；（2）P至少4分钟；（3）P3分钟至4分钟之间；（4）P至多3分钟或至少4分钟；（5）P恰好25分钟解（1）P至多3分钟PX321EFX（2）P至少4分钟PX4641（3）P3分钟至4分钟之间P32，PX3若XN（，2），则P21P|X|31PX311050523（2）决定C使得PXCPXCPXC1PXCPXC得PXC0521又PXCC3023,503查表可得26二十四某地区18岁的女青年的血压（收缩区，以MMHG计）服从在该地12,N区任选一18岁女青年，测量她的血压X。求（1）PX105，P100X005解38406141704167010559228326550741297412910645120500XXXXXP故最小的查表得27二十五由某机器生产的螺栓长度（CM）服从参数为1005，006的正态分布。规定长度在范围1005012内为合格品，求一螺栓为不合格的概率是多少设螺栓长度为XPX不属于1005012,10050121P10050121时，YFYY212YXDE412YE（3）求Y|X|的概率密度。Y的分布函数为FYYPYYP|X|Y当Y0时YFYY221YYXEDE33三十（1）设随机变量X的概率密度为FX，求YX3的概率密度。YGXX3是X单调增函数，又XHY，反函数存在，1且MING,GMIN0,MAXG,GMAX0,Y的分布密度为YFHH|HY|0,312YYF但0（2）设随机变量X服从参数为1的指数分布，求YX2的概率密度。法一X的分布密度为0XEXFYX2是非单调函数当X0时，由和的概率公式知ZYZZXZEDEYFFF630,63ZZF（2）设Z表示前两周需要量，其概率密度为0,63ZEZFZ设表示第三周需要量，其概率密度为0,XEXFZ与相互独立Z表示前三周需要量则0，当U0时UYUEDEYFFF120653所以的概率密度为05UEUF22二十二设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从N（160，20）分布。随机地2选取4只求其中没有一只寿命小于180小时的概率。解设X1，X2，X3，X4为4只电子管的寿命，它们相互独立，同分布，其概率密度为2016TTETF841302061826081012182查表令DUEUTDTTFFX设NMINX1，X2，X3，X4PN180PX1180,X2180,X3180,X4180PX18041PX11P11P0P1查二项分布表10736102639因此X表示一天调整设备的次数时XB4,02639PX0026390073614029364PX102639107361304210,PX2026392073612022644PX30263930736100541,PX40263907361000049从而4EXNP402639105563三有3只球，4只盒子，盒子的编号为1，2，3，4，将球逐个独立地，随机地放入4只盒子中去。设X为在其中至少有一只球的盒子的最小号码（例如X3表示第1号，第2号盒子是空的，第3号盒子至少有一只球），求EX。事件X1一只球装入一号盒，两只球装入非一号盒两只球装入一号盒，一只球装入非一号盒三只球均装入一号盒（右边三个事件两两互斥）643714341322P事件“X2”“一只球装入二号盒，两只球装入三号或四号盒”“两只球装二号盒，一只球装入三或四号盒”“三只球装入二号盒”64194213421323P同理7322X64143XP故16254673927E5五设在某一规定的时间间段里，其电气设备用于最大负荷的时间X（以分计）是一个连续型随机变量。其概率密度为其他0150,3015,2XXXF求EX解DXF15015031501503322201502分XXDX6六设随机变量X的分布为X202PK040303求EX，E3X25解EX20400320302EX222040203220328E3X253EX2E58451347七设随机变量X的概率密度为0,XEF求（1）Y2X（2）YE2X的数学期望。解（1）022DXEDXFYEE（2）022EXDXFYE31E8八设（X，Y）的分布律为1求EX，EY。2设ZY/X，求EZ。3设ZXY2，求EZ。解（1）由X，Y的分布律易得边缘分布为EX1042023040404122EY1030041030（2）EZ10205011/300041/30105011011/41/301/201/1015/6011/601/15（3）EZ001102403904160021236510十一工厂生产的某种设备的寿命X（以年计）服从指数分布，概率密度为工厂规定出售的设备若在一年内损坏，可予以调换。若工厂出售一台设备可0,41XEFXY1231010201010100100301XY12310201003001003041010101030402041ZY/X11/21/301/31/21PK0201004010101ZXY201121102或2124202或112或3129302或21216312PK010203040赢利100元，调换一台设备厂方需花费300元。试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望。解一台设备在一年内损坏的概率为41104104EDXEXPX故设Y表示出售一台设备的净赢利1141EXP则,0,23XXFY故414101120EPE643341E11十一某车间生产的圆盘直径在区间（A,B）服从均匀分布。试求圆盘面积的数学期望。解设X为圆盘的直径，则其概率密度为,0,1其它BAXXF用Y表示圆盘的面积，则从而,42XY1234141222BAABDXABDXFE12十三设随机变量X1，X2的概率密度分别为0,40,2XEXFXEXF求（1）EX1X2，E2X13；（2）又设X1，X2相互独立，求EX1X2解（1）004DXEDXEE31241021XXXXEE（2）0421133DXEXEXE853108231444XXXEE（3）121XEXE13十四将N只球（1N号）随机地放进N只盒子（1N号）中去，一只盒子装一只球。将一只球装入与球同号的盒子中，称为一个配对，记X为配对的个数，求EX解引进随机变量号球号盒装非第号球号盒装第第IIXI0I1,2,N则球盒对号的总配对数为IIX1XI的分布列为I1,2NNEI1I1,2N11XEXNIINII14十五共有N把看上去样子相同的钥匙，其中只有一把能打开门上的锁，用它们去试开门上的锁。设抽取钥匙是相互独立的，等可能性的。若每把钥匙经试开一次后除去，试用下面两种方法求试开次数X的数学期望。（1）写出X的分布律，（2）不写出X的分布律。解（1）X123NPN1N21N12E（2）设一把一把钥匙的试开，直到把钥匙用完。设I1,2N次试开不能开门第次试开能开门第IXI0XI10P则试开到能开门所须试开次数为NIIX1EXIN1I1,2N1211NNIXENII15（1）设随机变量X的数学期望为EX，方差为DX0，引入新的随机变量（X称为标准化的随机变量）D验证EX0，DX1（2）已知随机变量X的概率密度。,02|1|其它XXF求X的概率密度。解（1）01XEDXEEDXEXEX2EX2211X（2）11|21020DXXDXDX671|212DXXXE6112XDEXXII0PIN16161YXDXFYXPYYPYF时即当时即当时即当YYDXYY6,121620|,01_60为其他值YYYGX0|61|16十六设X为随机变量，C是常数，证明DX0是常数，求E0,1XEFXX，DX。解EDXEXEXDEXEX00001又202022DTETXEX令DXEX2E2X222221设X1,X2,XN是相互独立的随机变量且有,I1,2,N记2,XDEII，（1）验证（2）验证NII1IIS12,N（3）验证ES2NIIXS122证明（1）NINIINIIXE111利用数学期望的性质2，3NDNXNDNIIINII212121,相互独立利用方差的性质2，3（2）首先证NIINIIX1212122112212NIINIINIIIIIIINIIXXX于是NIINIIS12122（3）21122XNENXNEIIII212II221XEDNXEDNIII2223二十五设随机变量X和Y的联合分布为XY1011880810811验证X和Y不相关，但X和Y不是相互独立的。证PX1Y1PX1PY188383PX1Y1PX1PY1X，Y不是独立的又EX1010832EY1010COVX,YEXEXYEYEXYEXEY1111111108181X，Y是不相关的27已知三个随机变量X，Y，Z中，EXEY1,EZ1，DXDYDZ1,XY0XZ，YZ。设WXYZ求EW，DW。21解EWEXYZEXEYEZ1111DWDXYZEXYZEXYZ2EXEXYEYZEZ2EXEX2YEY2ZEZ22XEXYEY2YEYZEZ2ZEZXEXDXDYDZ2COVX,Y2COVY,Z2COVZ,XDXDYDZ2D1112X21013126二十八设随机变量（X1，X2）具有概率密度。，0X2,0Y28,YXF求EX1，EX2，COV（X1，X2），2121XDX解6781202DYXDXEY672121XCOV361810DYXYXD722021211EXD36181220222DYXYD136,21DXCOVXYDX1X2DX1DX22COVX1,X2953628二十九设XN（，2），YN（，2），且X，Y相互独立。试求Z1XY和Z2XY的相关系数（其中是不为零的常数）,解由于X，Y相互独立COVZ1,Z2EZ1,Z2EZ1EZ2EXYXYEXEYEXEY2EX2EY22EX2EY22DX2DY222DZ12DX2DY222,DZ22DX2DY222,利用数学期望的性质23故,22121DZCOVZ29二十三卡车装运水泥，设每袋水泥重量（以公斤计）服从N（50,252）问最多装多少袋水泥使总重量超过2000的概率不大于005解已知XN（50,252）不妨设最多可装A袋水泥才使总重量超过2000的概率不大于005则由期望和方差的性质得YAXN（50A,252A）故由题意得PY2000005950YP即解得A3965120950520A查表得30三十二已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞数平均是7300，均方差是700，利用契比雪夫不等式估计每毫升含白细胞数在52009400之间的概率P解由题意知7300,700，则由契比雪夫不等式890912071|730|94052XPXP31三十三对于两个随机变量V,W若EV2EW2存在,证明EVW2EV2EW2这一不等式称为柯西施瓦兹（CAUCHYSCHWARZ）不等式证明由和关于矩的结论，知当EV2,EW2存在时EVW，EV,21|2VEW,DV,DW,都存在当EV2,EW2至少有一个为零时，不妨设EV20，由DVEV2EV2EV20知DV0，此时EV2EV20即EV0。再由方差的性质知PV01又故有PVW01于是EVW0，不等式成立当EV200，EW20时，对0T有EWTV2EV2T22EVWTEW20式是T的二次三项式且恒非负，所以有2EVW24EV2EW20故CAUCHYSCHWARZ不等式成立。二十一（1）设随机变量X1，X2，X3，X4相互独立，且有EXII,DXI5I,I1,2,3,4。设Y2X1X23X3X4，求EY，DY。（2）设随机变量X，Y相互独立，且XN（720，302），YN（640，252），求Z12XY，Z2XY的分布，并求PXY,PXY1400解（1）利用数学期望的性质2，3有EY2EX1EX23EX3EX471利用数学方差的性质2，3有DY22DX112DX232DX32DX43725（2）根据有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布，知Z1N（，），Z2N（，）而EZ12EXY2720640,DZ14DXDY4225EZ2EXEY72064080,DZ2DXDY1525即Z1N（2080，4225），Z2N（80，1525）PXYPXY0PZ201PZ20978152801PXY14001PXY1400同理XYN（1360，1525）则PXY14001PXY140015390152640二十二5家商店联营，它们每周售出的某种农产品的数量（以KG计）分别为X1，X2，X3，X4，X5，已知X1N（200，225），X2N（240，240），X3N（180，225），X4N（260，265），X5N（320，270），X1，X2，X3，X4，X5相互独立。（1）求5家商店两周的总销售量的均值和方差；（2）商店每隔两周进货一次，为了使新的供货到达前商店不会脱销的概率大于099，问商店的仓库应至少储存多少公斤该产品解（1）令为总销售量。51IIXY已知EX1200，EX2240，EX3180，EX4260，EX5320，DX1225，DX2240，DX3225，DX4265，DX5270，利用数学期望的性质3有5120IIY利用方差的性质3有5125IIXD（2）设商店仓库储存A公斤该产品，使得PYA099由相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布，并注意到（1），得YN（1200，1225）903512A查标准正态分布表知512830AA至少取1282第五章大数定理和中心极限定理1一据以往经验某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布，现在随机的抽取16只，设它们的寿命是相互独立的，求这16只元件寿命总和大于1920小时的概率。解设第I只寿命为XI，（1I16），故EXI100，DXI1002L1,2,16依本章定理1知804610692106192010166IIIIIIPPP78从而21907819201920616IIIIXPXP3三计算机在进行加法时，对每个加数取整（取为最接近它的整数），设所有的取整误差是相互独立的，且它们都在（05，05）上服从均匀分布，（1）若将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少（2）几个数相加在一起使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于090解（1）设取整误差为XI（，1500），它们都在（05,05）上服从均匀分布。,21于是05PEI120ID182550,IIXNN151150150150IIIIIIXPP18180II029023428某药厂断言，该厂生产的某种药品对于医治一种疑难的血液病的治愈率为08，医院检验员任意抽查100个服用此药品的病人，如果其中多于75人治愈，就接受这一断言，否则就拒绝这一断言。（1）若实际上此药品对这种疾病的治愈率是08，问接受这一断言的概率是多少（2）若实际上此药品对这种疾病的治愈率是07，问接受这一断言的概率是多少解设X为100人中治愈的人数，则XBN,P其中N100（1）75175175175NPQNPQPP89404（2）P07由中心极限定理知75175175175NPQNPQXPXP3908620927七一复杂的系统，由100个互相独立起作用的部件所组成。在整个运行期间每个部件损坏的概率为010。为了整个系统起作用至少必需有85个部件工作。求整个系统工作的概率。（2）一个复杂的系统，由N个互相独立起作用的部件所组成，每个部件的可靠性（即部件工作的概率）为090。且必须至少有80部件工作才能使整个系统工作，问N至少为多少才能使系统的可靠性不低于095。解（1）设每个部件为XII1,2,100部件损坏不工作部件工作01IX设X是100个相互独立，服从（01）分布的随机变量XI之和XX1X2X100由题设知N100PXI1P09,PXI001EXIP09DXIP1P0901009NEXI1000990,NDXI1000099858510IIIIXNEPP39090由中心极限定理知351XP352DTE查标准正态分布表116709525解（2）设每个部件为XII1,2,N部件损坏不工作部件工作01IPXI1P09,PXI01P01EXIP09,DXI0901009由问题知求N95018NII而NXPNII11081IINIIXNDPPXPNNXPNII3091830911由中心极限定理知NNXPNII30918309195301301NN查标准正态分布表得645解得N2435取N25，即N至少为25才能使系统可靠性为095八随机地取两组学生，每组80人，分别在两个实验室里测量某种化合物的PH值，各人测量的结果是随机变量，它们相互独立，且服从同一分布，其数学期望为5，方差为03，以分别表YX,示第一组和第二组所得结果的算术平均（1）求P4915（3）求概率PMINX1，X2，X3，X4，X51