排列组合的二十种解法(最全的排列组合方法总结)

教 学 目 标1.进 一 步 理 解 和 应 用 分 步 计 数 原 理 和 分 类 计 数 原 理 。2.掌 握 解 决 排 列 组 合 问 题 的 常 用 策 略 ;能 运 用 解 题 策 略 解 决 简 单 的 综 合应 用 题 。 提 高 学 生 解 决 问 题 分 析 问 题 的 能 力3.学 会 应 用 数 学 思 想 和 方 法 解 决 排 列 组 合 问 题 .复 习 巩 固1.分 类 计 数 原 理 (加 法 原 理 )完 成 一 件 事 ， 有 类 办 法 ， 在 第 1类 办 法 中 有 种 不 同 的 方 法 ， 在 第 2类 办法 中 有 种 不 同 的 方 法 ， ， 在 第 类 办 法 中 有 种 不 同 的 方 法 ， 那 么 完 成这 件 事 共 有 ：种 不 同 的 方 法 2.分 步 计 数 原 理 （ 乘 法 原 理 ）完 成 一 件 事 ， 需 要 分 成 个 步 骤 ， 做 第 1步 有 种 不 同 的 方 法 ， 做 第 2步 有种 不 同 的 方 法 ， ， 做 第 步 有 种 不 同 的 方 法 ， 那 么 完 成 这 件 事 共 有 ：种 不 同 的 方 法 3.分 类 计 数 原 理 分 步 计 数 原 理 区 别分 类 计 数 原 理 方 法 相 互 独 立 ， 任 何 一 种 方 法 都 可 以 独 立 地 完 成 这 件事 。分 步 计 数 原 理 各 步 相 互 依 存 ， 每 步 中 的 方 法 完 成 事 件 的 一 个 阶 段 ， 不能 完 成 整 个 事 件 解 决 排 列 组 合 综 合 性 问 题 的 一 般 过 程 如 下 :1.认 真 审 题 弄 清 要 做 什 么 事2.怎 样 做 才 能 完 成 所 要 做 的 事 ,即 采 取 分 步 还 是 分 类 ,或 是 分 步 与 分 类 同时 进 行 ,确 定 分 多 少 步 及 多 少 类 。3.确 定 每 一 步 或 每 一 类 是 排 列 问 题 (有 序 )还 是 组 合 (无 序 )问 题 ,元 素 总数 是 多 少 及 取 出 多 少 个 元 素 .4.解 决 排 列 组 合 综 合 性 问 题 ， 往 往 类 与 步 交 叉 ， 因 此 必 须 掌 握 一 些 常 用的 解 题 策 略一 .特 殊 元 素 和 特 殊 位 置 优 先 策 略例 1.由 0,1,2,3,4,5可 以 组 成 多 少 个 没 有 重 复 数 字 五 位 奇 数 .解 :由 于 末 位 和 首 位 有 特 殊 要 求 ,应 该 优 先 安 排 ,以 免 不 合 要 求 的 元 素 占了 这 两 个 位 置 . 先 排 末 位 共 有然 后 排 首 位 共 有最 后 排 其 它 位 置 共 有由 分 步 计 数 原 理 得位 置 分 析 法 和 元 素 分 析 法 是 解 决 排 列 组 合 问 题 最 常 用 也 是 最 基 本 的 方法 ,若 以 元 素 分 析 为 主 ,需 先 安 排 特 殊 元 素 ,再 处 理 其 它 元 素 .若 以 位 置 分析 为 主 ,需 先 满 足 特 殊 位 置 的 要 求 ,再 处 理 其 它 位 置 。 若 有 多 个 约 束 条件 ， 往 往 是 考 虑 一 个 约 束 条 件 的 同 时 还 要 兼 顾 其 它 条 件 练 习 题 :7种 不 同 的 花 种 在 排 成 一 列 的 花 盆 里 ,若 两 种 葵 花 不 种 在 中 间 ， 也不 种 在 两 端 的 花 盆 里 ， 问 有 多 少 不 同 的 种 法 ？二 .相 邻 元 素 捆 绑 策 略例 2. 7人 站 成 一 排 ,其 中 甲 乙 相 邻 且 丙 丁 相 邻 , 共 有 多 少 种 不 同 的 排法 .解 ： 可 先 将 甲 乙 两 元 素 捆 绑 成 整 体 并 看 成 一 个 复 合 元 素 ， 同 时 丙 丁 也 看成 一 个 复 合 元 素 ， 再 与 其 它 元 素 进 行 排 列 ， 同 时 对 相 邻 元 素 内 部 进行 自 排 。 由 分 步 计 数 原 理 可 得 共 有 种 不 同 的 排 法要 求 某 几 个 元 素 必 须 排 在 一 起 的 问 题 ,可 以 用 捆 绑 法 来 解 决 问 题 .即将 需 要 相 邻 的 元 素 合 并 为 一 个 元 素 ,再 与 其 它 元 素 一 起 作 排 列 ,同 时 要 注意 合 并 元 素 内 部 也 必 须 排 列 .练 习 题 :某 人 射 击 8枪 ， 命 中 4枪 ， 4枪 命 中 恰 好 有 3枪 连 在 一 起 的 情 形 的不 同 种 数 为 20三 .不 相 邻 问 题 插 空 策 略例 3.一 个 晚 会 的 节 目 有 4个 舞 蹈 ,2个 相 声 ,3个 独 唱 ,舞 蹈 节 目 不 能 连 续 出场 ,则 节 目 的 出 场 顺 序 有 多 少 种 ？解 :分 两 步 进 行 第 一 步 排 2个 相 声 和 3个 独 唱 共 有 种 ， 第 二 步 将 4舞 蹈 插 入第 一 步 排 好 的 6个 元 素 中 间 包 含 首 尾 两 个 空 位 共 有 种 不 同 的 方 法 ,由 分步 计 数 原 理 ,节 目 的 不 同 顺 序 共 有 种元 素 相 离 问 题 可 先 把 没 有 位 置 要 求 的 元 素 进 行 排 队 再 把 不 相 邻 元 素 插 入中 间 和 两 端 练 习 题 ： 某 班 新 年 联 欢 会 原 定 的 5个 节 目 已 排 成 节 目 单 ， 开 演 前 又 增 加 了两 个 新 节 目 .如 果 将 这 两 个 新 节 目 插 入 原 节 目 单 中 ， 且 两 个 新 节 目 不相 邻 ， 那 么 不 同 插 法 的 种 数 为 30四 .定 序 问 题 倍 缩 空 位 插 入 策 略例 4.7人 排 队 ,其 中 甲 乙 丙 3人 顺 序 一 定 共 有 多 少 不 同 的 排 法解 :(倍 缩 法 )对 于 某 几 个 元 素 顺 序 一 定 的 排 列 问 题 ,可 先 把 这 几 个 元 素 与 其他 元 素 一 起 进 行 排 列 ,然 后 用 总 排 列 数 除 以 这 几 个 元 素 之 间 的全 排 列 数 ,则 共 有 不 同 排 法 种 数 是 ：(空 位 法 )设 想 有 7把 椅 子 让 除 甲 乙 丙 以 外 的 四 人 就 坐 共 有 种 方 法 ， 其 余 的 三个 位 置 甲 乙 丙 共 有 1种 坐 法 ， 则 共 有 种 方 法 。思 考 :可 以 先 让 甲 乙 丙 就 坐 吗 ?（ 插 入 法 )先 排 甲 乙 丙 三 个 人 ,共 有 1种 排 法 ,再 把 其 余 4四 人 依 次 插 入 共 有 方 法定 序 问 题 可 以 用 倍 缩 法 ， 还 可 转 化 为 占 位 插空 模 型 处 理 练 习 题 :10人 身 高 各 不 相 等 ,排 成 前 后 排 ， 每 排 5人 ,要 求 从 左 至 右 身 高 逐渐 增 加 ， 共 有 多 少 排 法 ？五 .重 排 问 题 求 幂 策 略例 5.把 6名 实 习 生 分 配 到 7个 车 间 实 习 ,共 有 多 少 种 不 同 的 分 法解 :完 成 此 事 共 分 六 步 :把 第 一 名 实 习 生 分 配 到 车 间 有 7 种 分 法 .把 第 二名 实 习 生 分 配 到 车 间 也 有 7种 分 依 此 类 推 ,由 分 步 计 数 原 理 共 有 种 不 同的 排 法允 许 重 复 的 排 列 问 题 的 特 点 是 以 元 素 为 研 究 对 象 ， 元 素 不 受 位 置 的 约束 ， 可 以 逐 一 安 排 各 个 元 素 的 位 置 ， 一 般 地 n不 同 的 元 素 没 有 限 制 地 安排 在 m个 位 置 上 的 排 列 数 为 种练 习 题 ：1 某 班 新 年 联 欢 会 原 定 的 5个 节 目 已 排 成 节 目 单 ， 开 演 前 又 增 加 了两 个 新 节 目 .如 果 将 这 两 个 节 目 插 入 原 节 目 单 中 ， 那 么 不 同 插 法的 种 数 为 422. 某 8层 大 楼 一 楼 电 梯 上 来 8名 乘 客 人 ,他 们 到 各 自 的 一 层 下 电 梯 ,下 电梯 的 方 法六 .环 排 问 题 线 排 策 略例 6. 8人 围 桌 而 坐 ,共 有 多 少 种 坐 法 ?解 ： 围 桌 而 坐 与 坐 成 一 排 的 不 同 点 在 于 ， 坐 成 圆 形 没 有 首 尾 之 分 ， 所 以固 定 一 人 并 从 此 位 置 把 圆 形 展 成 直 线 其 余 7人 共 有 （ 8-1） ！ 种 排 法即 ！一 般 地 ,n个 不 同 元 素 作 圆 形 排 列 ,共 有 ( n- 1) ! 种 排 法 .如 果 从 n个 不 同 元 素 中取 出 m个 元 素 作 圆 形 排 列 共 有练 习 题 ： 6颗 颜 色 不 同 的 钻 石 ， 可 穿 成 几 种 钻 石 圈 120七 .多 排 问 题 直 排 策 略例 7.8人 排 成 前 后 两 排 ,每 排 4人 ,其 中 甲 乙 在 前 排 ,丙 在 后 排 ,共 有 多 少 排法解 :8人 排 前 后 两 排 ,相 当 于 8人 坐 8把 椅 子 ,可 以 把 椅 子 排 成 一 排 .个 特 殊元 素 有 种 ,再 排 后 4个 位 置 上 的 特 殊 元 素 丙 有 种 ,其 余 的 5人 在 5个 位置 上 任 意 排 列 有 种 ,则 共 有 种一 般 地 ,元 素 分 成 多 排 的 排 列 问 题 ,可 归 结 为 一 排 考 虑 ,再 分 段 研 究 .练 习 题 ： 有 两 排 座 位 ， 前 排 11个 座 位 ， 后 排 12个 座 位 ， 现 安 排 2人 就 座 规定 前 排 中 间 的 3个 座 位 不 能 坐 ， 并 且 这 2人 不 左 右 相 邻 ， 那 么 不 同排 法 的 种 数 是 346八 .排 列 组 合 混 合 问 题 先 选 后 排 策 略例 8.有 5个 不 同 的 小 球 ,装 入 4个 不 同 的 盒 内 ,每 盒 至 少 装 一 个 球 ,共 有 多少 不 同 的 装 法 .解 :第 一 步 从 5个 球 中 选 出 2个 组 成 复 合 元 共 有 种 方 法 .再 把 4个 元 素 (包含 一 个 复 合 元 素 )装 入 4个 不 同 的 盒 内 有 种 方 法 ， 根 据 分 步 计 数 原 理装 球 的 方 法 共 有解 决 排 列 组 合 混 合 问 题 ,先 选 后 排 是 最 基 本 的 指 导 思 想 .此 法 与 相 邻 元 素捆 绑 策 略 相 似 吗 ? 练 习 题 ： 一 个 班 有 6名 战 士 ,其 中 正 副 班 长 各 1人 现 从 中 选 4人 完 成 四 种 不 同的 任 务 ,每 人 完 成 一 种 任 务 ,且 正 副 班 长 有 且 只 有 1人 参 加 ,则 不 同的 选 法 有 192 种九 .小 集 团 问 题 先 整 体 后 局 部 策 略例 9.用 1,2,3,4,5组 成 没 有 重 复 数 字 的 五 位 数 其 中 恰 有 两 个 偶 数 夹 1, 在两 个 奇 数 之 间 ,这 样 的 五 位 数 有 多 少 个 ？解 ： 把 , , , 当 作 一 个 小 集 团 与 排 队 共 有 种 排 法 ， 再 排 小 集 团内 部 共 有 种 排 法 ， 由 分 步 计 数 原 理 共 有 种 排 法 .小 集 团 排 列 问 题 中 ， 先 整 体 后 局 部 ， 再 结 合 其 它 策 略 进 行 处 理 。 练 习 题 ： .计 划 展 出 10幅 不 同 的 画 ,其 中 1幅 水 彩 画 , 幅 油 画 , 幅 国 画 , 排 成 一行 陈 列 ,要 求 同 一 品 种 的 必 须 连 在 一 起 ， 并 且 水 彩 画 不 在 两端 ， 那 么 共 有 陈 列 方 式 的 种 数 为2. 5男 生 和 女 生 站 成 一 排 照 像 ,男 生 相 邻 ,女 生 也 相 邻 的 排 法 有 种十 .元 素 相 同 问 题 隔 板 策 略例 10.有 10个 运 动 员 名 额 ， 分 给 7个 班 ， 每 班 至 少 一 个 ,有 多 少 种 分 配 方案 ？解 ： 因 为 10个 名 额 没 有 差 别 ， 把 它 们 排 成 一 排 。 相 邻 名 额 之 间 形 成 个空 隙 。 在 个 空 档 中 选 个 位 置 插 个 隔 板 ， 可 把 名 额 分 成 份 ，对 应 地 分 给 个 班 级 ， 每 一 种 插 板 方 法 对 应 一 种 分 法 共 有 种 分法 。将 n个 相 同 的 元 素 分 成 m份 （ n， m为 正 整 数 ） ,每 份 至 少 一 个 元 素 ,可 以 用m- 1块 隔 板 ， 插 入 n个 元 素 排 成 一 排 的 n- 1个 空 隙 中 ， 所 有 分 法 数 为练 习 题 ：1 10个 相 同 的 球 装 5个 盒 中 ,每 盒 至 少 一 有 多 少 装 法 ？ 2 .求 这 个 方 程 组 的 自 然 数 解 的 组 数 十 一 .正 难 则 反 总 体 淘 汰 策 略例 11.从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这 十 个 数 字 中 取 出 三 个 数 ， 使 其 和 为 不 小于 10的 偶 数 ,不 同 的取 法 有 多 少 种 ？解 ： 这 问 题 中 如 果 直 接 求 不 小 于 10的 偶 数 很 困 难 ,可 用 总 体 淘 汰法 。 这 十 个 数 字 中 有 5个 偶 数 5个 奇 数 ,所 取 的 三 个 数 含 有 3个 偶 数的 取 法 有 ,只 含 有 1个 偶 数 的 取 法 有 ,和 为 偶 数 的 取 法 共 有 。 再 淘 汰和 小 于 10的 偶 数 共 9种 ， 符 合 条 件 的 取 法 共 有有 些 排 列 组 合 问 题 ,正 面 直 接 考 虑 比 较 复 杂 ,而 它 的 反 面 往 往 比 较 简 捷 ,可以 先 求 出 它 的 反 面 ,再 从 整 体 中 淘 汰 .练 习 题 ： 我 们 班 里 有 43位 同 学 ,从 中 任 抽 5人 ,正 、 副 班 长 、 团 支 部 书 记至 少 有 一 人 在 内 的抽 法 有 多 少 种 ?十 二 .平 均 分 组 问 题 除 法 策 略例 12. 6本 不 同 的 书 平 均 分 成 3堆 ,每 堆 2本 共 有 多 少 分 法 ？解 : 分 三 步 取 书 得 种 方 法 ,但 这 里 出 现 重 复 计 数 的 现 象 ,不 妨 记 6本 书 为ABCDEF， 若 第 一 步 取 AB,第 二 步 取 CD,第 三 步 取 EF该 分 法 记 为(AB,CD,EF),则 中 还 有 (AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共 有 种 取 法 ,而 这 些 分 法 仅 是 (AB,CD,EF)一种 分 法 ,故 共 有 种 分 法 。平 均 分 成 的 组 ,不 管 它 们 的 顺 序 如 何 ,都 是 一 种 情 况 ,所 以 分 组 后 要 一 定 要除 以 ( 为 均 分 的 组 数 ) 避 免 重 复 计 数 。练 习 题 ：1 将 13个 球 队 分 成 3组 ,一 组 5个 队 ,其 它 两 组 4个 队 , 有 多 少 分 法 ？ （ ）2.10名 学 生 分 成 3组 ,其 中 一 组 4人 , 另 两 组 3人 但 正 副 班 长 不 能 分 在 同 一组 ,有 多 少 种 不 同 的分 组 方 法 （ 1540）3.某 校 高 二 年 级 共 有 六 个 班 级 ， 现 从 外 地 转 入 4名 学 生 ， 要 安 排 到 该年 级 的 两 个 班 级 且 每 班 安排 2名 ， 则 不 同 的 安 排 方 案 种 数 为 _（ ）十 三 . 合 理 分 类 与 分 步 策 略例 13.在 一 次 演 唱 会 上 共 10名 演 员 ,其 中 8人 能 能 唱 歌 ,5人 会 跳 舞 ,现 要 演 出一 个 2人 唱 歌 2人 伴 舞 的 节 目 ,有 多 少 选 派 方 法解 ： 10演 员 中 有 5人 只 会 唱 歌 ， 2人 只 会 跳 舞 3人 为 全 能 演 员 。 选 上 唱 歌人 员 为 标 准 进 行 研 究只 会 唱 的 5人 中 没 有 人 选 上 唱 歌 人 员 共 有 种 ,只 会 唱 的 5人 中 只 有 1人选 上 唱 歌 人 员 种 ,只 会 唱 的 5人 中 只 有 2人 选 上 唱 歌 人 员 有 种 ， 由 分类 计 数 原 理 共 有种 。解 含 有 约 束 条 件 的 排 列 组 合 问 题 ， 可 按 元 素 的 性 质 进 行 分 类 ， 按 事 件 发生 的 连 续 过 程 分 步 ， 做 到 标 准 明 确 。 分 步 层 次 清 楚 ， 不 重 不 漏 ， 分 类 标准 一 旦 确 定 要 贯 穿 于 解 题 过 程 的 始 终 。练 习 题 ：1.从 4名 男 生 和 3名 女 生 中 选 出 4人 参 加 某 个 座 谈 会 ， 若 这 4人 中 必 须既 有 男 生 又 有 女 生 ， 则 不 同 的 选 法 共 有 342. 3成 人 2小 孩 乘 船 游 玩 ,1号 船 最 多 乘 3人 , 2号 船 最 多 乘 2人 ,3号 船 只 能乘 1人 ,他 们 任 选 2只 船 或 3只 船 ,但 小 孩 不 能 单 独 乘 一 只 船 , 这 3人 共 有多 少 乘 船 方 法 . （ 27）本 题 还 有 如 下 分 类 标 准 ：*以 3个 全 能 演 员 是 否 选 上 唱 歌 人 员 为 标 准*以 3个 全 能 演 员 是 否 选 上 跳 舞 人 员 为 标 准*以 只 会 跳 舞 的 2人 是 否 选 上 跳 舞 人 员 为 标 准都 可 经 得 到 正 确 结 果十 四 .构 造 模 型 策 略例 14. 马 路 上 有 编 号 为 1,2,3,4,5,6,7,8,9的 九 只 路 灯 ,现 要 关 掉 其 中 的 3盏 ,但 不 能 关 掉 相 邻 的 2盏 或 3盏 ,也 不 能 关 掉 两 端 的 2盏 ,求 满 足 条件 的 关 灯 方 法 有 多 少 种 ？解 ： 把 此 问 题 当 作 一 个 排 队 模 型 在 6盏 亮 灯 的 5个 空 隙 中 插 入 3个 不 亮 的灯 有 种一 些 不 易 理 解 的 排 列 组 合 题 如 果 能 转 化 为 非 常 熟 悉 的 模 型 ， 如 占 位 填 空模 型 ， 排 队 模 型 ， 装 盒 模 型 等 ， 可 使 问 题 直 观 解 决 练 习 题 ： 某 排 共 有 10个 座 位 ， 若 4人 就 坐 ， 每 人 左 右 两 边 都 有 空 位 ， 那么 不 同 的 坐 法 有 多 少 种 ？ （ 120）十 五 .实 际 操 作 穷 举 策 略例 15.设 有 编 号 1,2,3,4,5的 五 个 球 和 编 号 1,2,3,4,5的 五 个 盒 子 ,现 将 5个球 投 入 这 五 个 盒 子 内 ,要 求 每 个 盒 子 放 一 个 球 ， 并 且 恰 好 有 两 个 球 的编 号 与 盒 子 的 编 号 相 同 ,有 多 少 投 法解 ： 从 5个 球 中 取 出 2个 与 盒 子 对 号 有 种 还 剩 下 3球 3盒 序 号 不 能 对 应 ， 利用 实 际 操 作 法 ， 如 果 剩 下 3,4,5号 球 , 3,4,5号 盒 3号 球 装 4号 盒 时 ，则 4,5号 球 有 只 有 1种 装 法 ， 同 理 3号 球 装 5号 盒 时 ,4,5号 球 有 也 只 有 1种 装 法 ,由 分 步 计 数 原 理 有 种3号 盒 4号 盒 5号 盒对 于 条 件 比 较 复 杂 的 排 列 组 合 问 题 ， 不 易 用 公 式 进 行 运 算 ， 往 往 利 用 穷举 法 或 画 出 树 状 图 会 收 到 意 想 不 到 的 结 果 练 习 题 ：1.同 一 寝 室 4人 ,每 人 写 一 张 贺 年 卡 集 中 起 来 ,然 后 每 人 各 拿 一 张 别 人 的 贺年 卡 ， 则 四 张 贺 年 卡 不 同 的 分 配 方 式 有 多 少 种 ？ (9)2.给 图 中 区 域 涂 色 ,要 求 相 邻 区 域 不 同 色 ,现 有 4种 可 选 颜 色 ,则 不 同 的着 色 方 法 有 72种十 六 . 分 解 与 合 成 策 略例 16. 30030能 被 多 少 个 不 同 的 偶 数 整 除分 析 ： 先 把 30030分 解 成 质 因 数 的 乘 积 形 式 30030=2 3 5 7 11 13依 题 意 可 知 偶 因 数 必 先 取 2,再 从 其 余 5个 因 数 中 任 取 若 干个 组 成 乘 积 ，所 有 的 偶 因 数 为 ：练 习 :正 方 体 的 8个 顶 点 可 连 成 多 少 对 异 面 直 线解 ： 我 们 先 从 8个 顶 点 中 任 取 4个 顶 点 构 成 四 体 共 有 体 共 ,每 个 四 面体 有3对 异 面 直 线 ,正 方 体 中 的 8个 顶 点 可 连 成 对 异 面 直 线分 解 与 合 成 策 略 是 排 列 组 合 问 题 的 一 种 最 基 本 的 解 题 策 略 ,把 一 个 复 杂问 题 分 解 成 几 个 小 问 题 逐 一 解 决 ,然 后 依 据 问 题 分 解 后 的 结 构 ,用 分 类 计数 原 理 和 分 步 计 数 原 理 将 问 题 合 成 ,从 而 得 到 问 题 的 答 案 ,每 个 比 较 复 杂的 问 题 都 要 用 到 这 种 解 题 策 略 十 七 .化 归 策 略例 17. 25人 排 成 5 5方 阵 ,现 从 中 选 3人 ,要 求 3人 不 在 同 一 行 也 不 在 同 一列 ,不 同 的 选 法 有 多 少 种 ？解 ： 将 这 个 问 题 退 化 成 9人 排 成 3 3方 阵 ,现 从