声学基础答案

声学基础（南京大学出版社）习题 11-1有一动圈传声器的振膜可当作质点振动系统来对待,其固有频率为 f ，质量为 m，求它的弹性系数。12 M mK m解：由公式 fo = 得：K m = (2f ) m21-2设有一质量 M m用长为l的细绳铅直悬挂着，绳子一端固定构成一单摆，如图所示，假设绳子的质量和弹性均可忽略。试问：（1）当这一质点被拉离平衡位置 时，它所受到的恢复平衡的力由何产生？并应怎样表示？（2）当外力去掉后，质点 M m在此力作用下在平衡位置附近产生振动，它的振动频率应如何表示？（答： f0 = 21 g ， g为重力加速度）l图习题12解：（1）如右图所示，对 M m作受力分析：它受重力 M mg，方向竖直向下；受沿绳方向的拉力T ，这两力的合力 F就是小球摆动时的恢复力，方向沿小球摆动轨迹的切线方向。设绳子摆动后与竖直方向夹角为，则sin =l受力分析可得： F = M mg sin = M mg l（2）外力去掉后(上述拉力去掉后)，小球在 F作用下在平衡位置附近产生摆动，加速度的方向与位移的方向相反。由牛顿定律可知： F = M m d 2 dt 2则 M m d = M mg l2 即 d2 + = 0,gdt 2 dt 2 lgl即 f0 = 12g , 02= 这就是小球产生的振动频率。l1-3有一长为 l的细绳，以张力 T固定在两端，设在位置 x0处，挂着一质量M m，如图所示，试问：(1)当质量被垂直拉离平衡位置 时，它所受到的恢复平衡的力由何产生？并应怎样 图习题 1-3表示？(2)当外力去掉后，质量 M m在此恢复力作用下产生振动，它的振动频率应如何表示？(3)当质量置于哪一位置时，振动频率最低？解：首先对 M m进行受力分析，见右图，l x0 x0Fx = T T = 02(l x0) 2 + 2 x2 +0（ x0， x02+ 2 x02,(l x0) 2 + 2 (l x0)2。） Fy = T + T(l x0) 2 + 2 x20 + 2l x0+ T x0 TTlx0(l x0)= 可见质量 M m受力可等效为一个质点振动系统，质量 M = M m，弹性系数Tlk = x0(l x0) 。Tl（1）恢复平衡的力由两根绳子拉力的合力产生，大小为 F = x0(l x0)，方向为竖直向下。（2）振动频率为 = K = Tlx0(l x0)M m。M（3）对分析可得，当 x0 = l时，系统的振动频率最低。21-4设有一长为l的细绳，它以张力T固定在两端，如图所示。设在绳的 x0位置处悬有一质量为 M的重物。求该系统的固有频率。提示：当悬有 M时，绳子向下产生静位移0以保持力的平衡，并假定 M 离平衡位置0的振动 位移很小，满足 w1 )试证明 = a cos(w1t +)， sin(wt)其中 a = 1 2 + 2 2 + 21 2 cos(wt), + arctan 1 + 22 cos(wt) ,w = w1 w2.解：因为位移是矢量，故可以用矢量图来表示。由余弦定理知， a = 1 2 + 2 + 21 2 cos(w2t w1t)= 1 2 + 2 2 + 21 2 cos(wt)其中，w = w2 w1。由三角形面积知，1 1 2 sin wt = 1 1 a sin2 2sin = 2 sin wt得 a 2 sin wt 2 sin 2 sin wt得 tg = a2 2 2 wt=(1 + 2 coswt) 2 sin wt= 1 + 2 coswt2 sin wt = 1 + 2 coswt2故即可证。1-10有一质点振动系统，其固有频率 f0为已知，而质量 Mm与弹性系数Km待求，现设法在此质量Mm 上附加一已知质量m，并测得由此而引起的弹簧伸长 1，于是系统的质量和弹性系数都可求得，试证明之.证由胡克定理得 mgKm 1 Kmmg/1 12 M mK m由质点振动系统固有频率的表达式 f0 =得，K m mgM m = 4 f0 2 = 4 .12 2 f02纵上所述，系统的质量Mm 和弹性系数K m都可求解 .1-11有一质点振动系统，其固有频率f0为已知，而质量 Mm与弹性系数待求，现设法在此质量Mm上附加一质量m，并测得由此而引起的系统固有频率变为f 0,于是系统的质量和弹性系数都可求得，试证明之。12 M mK m解：由由f0 = 得 K m = (2f0) M m21 K mf0 = (2 f )2(M m + m ,)得 K m = 02 M m + m2 2， K m = 42mf0 2 f02f0 2 f02mf0联立两式，求得 M m = f0 2 f01-12设有如图 1-2-3 和图 1-2-4 所示的弹簧串接和并接两种系统，试分别写出它们的动力学方程，并求出它们的等效弹性系数。图 1-2-3 图 1-2-4解：串接时，动力学方程为 M m + Kd 2 K1mK 2m1m + K 2m = 0，等效弹性系数为dt 2K KK = K1m + K 2m。1m 2m并接时，动力学方程为 M m + (K1m + K 2m ) = 0，等效弹性系数为d2dt 2K = K1m + K 2m。1-13有一宇航员欲在月球表面用一弹簧秤称月球上一岩石样品。此秤已在地球上经过校验，弹簧压缩 0100 mm可称 01kg。宇航员取得一块岩石，利用此秤从刻度上读得为 0.4 kg，然后，使它振动一下，测得其振动周期为 1 s，试问月球表面的重力加速度是多少？而该岩石的实际质量是多少？解：设该岩石的实际质量为 M，地球表面的重力加速度为 g = 9.8m s2，月球表面的重力加速度为 g由虎克定律知 FM = Kx,又 FM = Mg则 K = Mg = 1 g =10gx 0.1T = 2 = 2 MK =1则 M = 104g2 = 109.8 2.5kg4 20xx =1 则 x = 0.04m又0.4Mg = Kx则 g = K x = 4 2 0.04 1.58m s2M故月球表面的重力加速度约为1.58m s，而该岩石的实际质量约为 2.5kg。21-14试求证acost + acos(t + )+ acos(t + 2 )+ acos(t + (n1) )sin n(n1) 2 = a sin2 cos t +2ae jt + ae j(t+ ) + ae j(t+2 ) + ae j(t+(n1) )证= ae jt (1+ e j +)1 e jn1 e jjt 1 cosn jsin n= ae= ae jt 1 cos jsin2 n sin n sin n jcos n2sin jsin n= ae jt2 2 22= ae jt sin sin jcos2sin 2 2 jsin2 2 2sin n sin n sin n j( n )j n1 n1 e 2 2 2 e= a 2 e2 j(t+ )= ae jt = ae jt 2 2sin2 j(sin sin1 )e 2 2 2 2同时取上式的实部，结论即可得证。1-15有一弹簧 K m在它上面加一重物 M m ，构成一振动系统，其固有频率为f0，(1)假设要求固有频率比原来降低一半，试问应该添加几只相同的弹簧，并怎样联接？(2)假设重物要加重一倍，而要求固有频率 f0不变，试问应该添加几只相同的弹簧，并怎样联接？12 M mK m解：固有频率 fo = 。f0 K m4（1） f0 2 K m ，故应该另外串接三根相同的弹簧； M m2M m（2） K m 2K m，故应该另外并接一根相同的弹簧。 f0 f01-16有一直径为 d的纸盆扬声器，低频时其纸盆一音圈系统可作质点系统来对待。现已知其总质量为 M m，弹性系数为 Km。试求该扬声器的固有频率。解：该扬声器的固有频率为 f0 = 1 Km2 M m。1-17原先有一个 0.5的质量悬挂在无质量的弹簧上，弹簧处于静态平衡中，后来又将一个0.2的质量附加在其上面，这时弹簧比原来伸长了0.04m，当此附加质量突然拿掉后，已知这0.5质量的振幅在1s内减少到初始值的1/e倍，试计算：（1）这一系统的力学参数Km，Rm ，f0；（2）当0.2的附加质量突然拿掉时，系统所具有的能量；（3）在经过1s后，系统具有的平均能量。解：（1）由胡克定理知，Kmmg/所以 Km 0.29.8/0.04=49N/me = 1/ e = 1Rm2M m故 = Rm = 1N s / m1249 1 = 1.57Hz2w0 = w0 f0= 0.5（2）系统所具有的能量 E