历年高考数学压轴题集锦

高考资源网版权所有，侵权必究！高考数学压轴题集锦1椭圆的中心是原点 O，它的短轴长为 ，相应于焦点 （ ）的准线 与 x轴2(,)0Fcl相交于点 ， ，过点 的直线与椭圆相交于 、 两点。A2FAPQ（1）求椭圆的方程及离心率；（2）若 ，求直线 的方程；0PQP（3）设 （ ） ，过点 且平行于准线 的直线与椭圆相交于另一点 ，A1l M证明 . (14分)FM2 已知函数 对任意实数 x 都有 ，且当 时，)(xf 1)(xff 2,0x。|1|)(xf（1 ） 时，求 的表达式。)(2,Zk)(xf（2 ） 证明 是偶函数。)xf（3 ） 试问方程 是否有实数根？若有实数根，指出实数根的个数；若没01log(4x有实数根，请说明理由。3 （本题满分 12 分）如图，已知点 F（0，1） ，直线 L： y=-2，及圆 C： 。1)3(22yx（1 ） 若动点 M 到点 F 的距离比它到直线 L 的距离小 1，求动点 M 的轨迹 E 的方程；（2 ） 过点 F 的直线 g 交轨迹 E 于 G（x 1，y 1） 、H（x 2，y 2）两点，求证：x 1x2 为定值；（3 ） 过轨迹 E 上一点 P 作圆 C 的切线，切点为 A、B，要使四边形 PACB 的面积 S 最小，求点 P 的坐标及 S 的最小值。108642-2-4-6-8-10-15 -10 -5 5 10 15xCyXOF高考资源网版权所有，侵权必究！4.以椭圆 1（a1）短轴一端点为直角顶点，作椭圆内接等腰直角三角形，试2yx判断并推证能作出多少个符合条件的三角形.5 已知，二次函数 f（x）ax 2bxc 及一次函数 g（x）bx，其中a、 b、 cR，abc，abc0.（）求证：f（x ）及 g（x）两函数图象相交于相异两点；（）设 f（x） 、g（x）两图象交于 A、B 两点，当 AB 线段在 x 轴上射影为 A1B1时，试求|A1B1|的取值范围.6 已知过函数 f（x）= 的图象上一点 B（1 ，b）的切线的斜率为3。123ax（1 ） 求 a、b 的值；（2 ） 求 A 的取值范围，使不等式 f（x ）A1987 对于 x1，4 恒成立；（3 ） 令 。是否存在一个实数 t，使得当 时，g （x ）有32txfg 1,0(最大值 1？ 7 已知两点 M（2 ，0） ，N（2，0 ） ，动点 P 在 y 轴上的射影为 H， 是 2 和P的等比中项。PN（1 ） 求动点 P 的轨迹方程，并指出方程所表示的曲线；（2 ） 若以点 M、N 为焦点的双曲线 C 过直线 x+y=1 上的点 Q，求实轴最长的双曲线 C 的方程。8已知数列a n满足 abaannn 设,2),0(311（1）求数列b n的通项公式；（2）设数列b n的前项和为 Sn，试比较 Sn 与 的大小，并证明你的结论.879已知焦点在 轴上的双曲线 C 的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点x为圆心，1 为半径的圆相切，又知 C 的一个焦点与 A 关于直线 对称),0(A xy（）求双曲线 C 的方程；（）设直线 与双曲线 C 的左支交于 A，B 两点，另一直线 经过 M（-1mxy l2， 0）及 AB 的中点，求直线 在 轴上的截距 b 的取值范围； ly（）若 Q 是双曲线 C 上的任一点， 为双曲线 C 的左，右两个焦点，从 引21F1F的平分线的垂线，垂足为 N，试求点 N 的轨迹方程1F10. 对任意 都有)(xfR.)()xf（）求 和 的值)2(f 1nnf高考资源网版权所有，侵权必究！（）数列 满足： = + ，数列nan)0(f )1()2(1fnfnf 是等差数列吗？请给予证明；na（）令 .632,14232SbbTbnn 试比较 与 的大小TS11. ：如图，设 OA、OB 是过抛物线 y22 px 顶点 O 的两条弦，且 0，求以 OA、OB 为直径的两圆的另一个交点OA OB P 的轨迹.(13 分)12.知函数 f(x)log 3(x22mx2m 2 )的定义域为 R9m2 3(1)求实数 m 的取值集合 M；(2)求证：对 mM 所确定的所有函数 f(x)中，其函数值最小的一个是 2，并求使函数值等于 2的 m 的值和 x 的值.13.设关于 x 的方程 2x2-tx-2=0 的两根为 函数 f(x)=),(,.142xt(1). 求 f( 的值。)(f和（2） 。证明：f(x)在 上是增函数。,（3） 。对任意正数 x1、x 2,求证： 2)()(121xfxf14 已知数列 an各项均为正数，S n为其前 n 项的和.对于任意的 ，都有*nN.241nI、求数列 的通项公式.II、若 对于任意的 恒成立，求实数 的最大值.2ntS*nNt15.( 12 分) 已知点 H（3，0） ，点 P 在 y 轴上，点 Q 在 x 轴的正半轴上，点 M 在直线 PQ 上，且满足 =0， = ，PM2（1）当点 P 在 y 轴上移动时，求点 M 的轨迹 C；（2）过点 T（1，0）作直线 l 与轨迹 C 交于 A、B 两点，若在 x 轴上存在一点 E（x 0,0） ，使得ABE 为等边三角形，求 x0的值.AOBxPy高考资源网版权所有，侵权必究！16.（14 分）设 f1(x)= ,定义 fn+1 (x)=f1f n(x),a n= ,其中 nN *.22)0(1f(1) 求数列a n的通项公式；(2)若 T2n=a1+2a2+3a3+2na2n,Qn= ,其中 nN *,试比较 9T2n与 Qn的大小.14217 已知 =（x,0） ， =（1 ，y） ， （ + ） （ ） aba3ba3b（I） 求点 （ x，y）的轨迹 C 的方程；（II） 若直线 L： y=kx+m(m 0)与曲线 C 交于 A、B 两点，D（0，1 ） ，且有 |AD|=|BD|，试求 m 的取值范围18已知函数 对任意实数 p、q 都满足)(xf ()(),fpqfq1(.3f且（1）当 时，求 的表达式；nN)(nf（2）设 求证：,fan 13;4nka（3）设 试比较 与 6 的大小1(1)(),nn kfbnNSb1nkS19已知函数 若数列： ，,0log)(axfa且 ),(,22af成等差数列.42,nafn（1）求数列 的通项 ；n（2）若 的前 n 项和为 Sn，求 ；,10a数 列nlim（3）若 ，对任意 ,求实数 t 的取值范围.)(,nfba令 )(,1tfbN都 有20已知OFQ 的面积为 .,62mFQO且（1）设 正切值的取值范围；的 夹 角与求 向 量m46（2）设以 O 为中心，F 为焦点的双曲线经过点 Q（如图） ， ，2)146(,|cmcOF高考资源网版权所有，侵权必究！当 取得最小值时，求此双曲线的方程.|OQ（3）设 F1 为（2）中所求双曲线的左焦点，若 A、B 分别为此双曲线渐近线 l1、l 2 上的动点，且 2|AB|=5|F1F|，求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线 .21、已知函数 是偶函数， 是奇函数，正数数列 满足13)(2bxxf cxg5)( na121)agaf,annnn 求 的通项公式；若 的前 项和为 ，求 .nnSnlim22、直角梯形 ABCD 中DAB90，ADBC ，AB2，AD ，BC 椭圆 C 以 A、B 为焦321点且经过点 D（1 ）建立适当坐标系，求椭圆 C 的方程；（2 ）若点 E 满足 ，问是否存在不平行 AB 的直线 l 与椭圆 C 交于 M、N 两点且21AB，若存在，求出直线 l 与 AB 夹角的范围，若不存在，说明理由|NM23、 设函数 ,4)(xf（1）求证：对一切 为定值；)1()xfR（2）记 求数列 的通*),()12()0 Nnfnfnfan na项公式及前 n 项和.24. 已知函数 是定义在 R 上的偶函数.当 X 0 时, = .)(xf )(xf172(I) 求当 X0， a1=1， an+1= f( )2，求数列 anan的通项公式 an，并证明你的结论.30、已知点集 其中 点列 在,|),(myxL),1(),2(bx),(nbP中， 为 与 轴的交点，等差数列 的公差为 1， 。1PnaNn（1 ）求数列 ， 的通项公式；nab（2 ）若 求 ；),2(|51Pcnn )(lim21nncc（3 ）若 是否存在 使得 若),()()( Nkbafn Nk),(21(kfkf存在，求出 的值；若不存在，请说明理由。k21经过抛物线 的焦点F的直线 与该抛物线交于 、 两点. (12分)24yxlAB（1）若线段 的中点为 ,直线的斜率为 ,试求点 的坐标,并求点 的轨迹AB()MykM方程（2）若直线 的斜率 ,且点 到直线 的距离为 ,试确定 的取值l2k340xym15m范围.高考资源网版权所有，侵权必究！1（1）解：由题意，可设椭圆的方程为 。()212xya由已知得 解得,().2ac,6ac所以椭圆的方程为 ，离心率 。216xy3e（2）解：由（1）可得 A（3，0） 。设直线 PQ的方程为 。由方程组()ykx,()2163xyk得 ，依题意 ，得 。()22318760kx 2063k设 ，则 ， 。 ,(,)2PyQ2183kx217x由直线 PQ的方程得 。于是(),()2kyx。 ()22112139ykxx ， 。 0OPQ120y由得 ，从而 。25k(,)563k所以直线 PQ的方程为 或xy0xy（3，理工类考生做）证明： 。由已知得方程组(,)(,)123APAQxy(),.1222361xyx注意 ，解得251x因 ，故(,)(,)10FMy。,(,)213xxy (,)(,)122yy而 ，所以 。(,),2QyFMQ高考资源网版权所有，侵权必究！2 f(x)= (2kx2k+2, kZ) 略 方程在1，4上有 4个实根12kx3 x 2=4y x 1x2=-4 P(2,1) S MIN= 74 .解：因 a1，不防设短轴一端点为 B（0，1）设 BCykx 1（k0）则 ABy x1 把 BC 方程代入椭圆，是（1a 2k2）x 22a 2kx0|BC | ，同理|AB |21k221ak由|AB| |BC|，得 k3a 2k2 ka210（k1） k 2（1a 2）k 1 0 k1 或 k2（1a 2）k 1 0当 k2（1a 2）k 10 时， （a 21） 24由 0，得 1a 3由 0，得 a ，此时，k1故，由 0，即 1a 时有一解由 0 即 a 时有三解 35 解：依题意，知 a、b0abc 且 abc 0a0 且 c0 （）令 f（x） g（x） ，得 ax22bxc 0.（*） 4（b 2ac）a0，c0，ac 0， 0f（x） 、g（x）相交于相异两点 （）设 x1、x 2为交点 A、B 之横坐标则|A 1B1|2| x1x 2|2，由方程（*） ，知|A1B1|2 24)(4acacb2() 4)1(*ca高考资源网版权所有，侵权必究！ ，而 a0，02abcac 2c ，cb1 12a4（ ） 2 1（3，12）c|A 1B1|（ ，2 ） 6、解：（1 ） =xf ax依题意得 k= =3+2a=3， a=3，把 B（1，b）代入得 b=23xf 1fa= 3，b= 1（2 ）令 =3x26x=0 得