历年初联真题

2014 年全国初中数学联合竞赛试题第一试一、选择题：（本题满分 42 分，每小题 7 分）1已知 为整数，且满足 ，则 的可能的,xy2411()()3xyxyxy值有（ ）A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个2已知非负实数 满足 ，则 的最大值为 ,xyz1yz2txyz（ ）A B C D4759961253在 中， ， 为 的中点， 于 ，交 于 ，已CADBEAP知 ， ，则 （ ）BP1EA B C D6223646 张不同的卡片上分别写有数字 2，2，4，4，6，6，从中取出 3 张，则这 3 张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的概率是（ ）A B C D125345设 表示不超过实数 的最大整数，令 .已知实数 满足 ，ttttx318则 （ ）xA B C D112351(35)26在 中， ， ， ， 在 上， 在 上，使C906ABEA得 为等腰直角三角形 , ,则 的长为（ ）DEDEA B C D42(1)3二、填空题：（本题满分 28 分，每小题 7 分）1已知实数 满足 ， ，则 _ ,abc1cabcacbac_2使得不等式 对唯一的整数 成立的最大正整数 为 98175nkkn3已知 为等腰 内一点， ， ， 为 的中点，PABCBC108PDAC与 交于点 ，如果点 为 的内心，则 BDEPAE4已知正整数 满足: ， ， ，则 ,abcabc2bac第二试 （A ）一、 （本题满分 20 分）设实数 满足 ，,ab2(1)(2)40ba，求 的值(1)8ab21二 （本题满分 25 分）如图，在平行四边形 中， 为对角线 上一点，且满ABCDEBD足 , 的延长线与 的外接圆交于点 . 证明：ECDABCFF三 （本题满分 25 分）设 是整数，如果存在整数 满足 ，n,xyz33nxyzx则称 具有性质 .在 1，5，2013，2014 这四个数中，哪些数具有性质 ，哪些数不具有nP P性质 ？并说明理由.FCABE第二试 （B ）一 （本题满分 20 分）同（A ）卷第一题.二 （本题满分 25 分）如图，已知 为 的外心， ， 为 的OACACDOB外接圆上一点，过点 作直线 的垂线，垂足为 .若 ， ，求 .DH73H三 （本题满分 25 分）设 是整数，如果存在整数 满足 ，则称 具有性质 .n,xyz33nxyzxnP（1）试判断 1，2，3 是否具有性质 ；P（2）在 1，2，3，2013，2014 这 2014 个连续整数中，不具有性质 的数有多少个？HOCABD2013 年全国初中数学联合竞赛试题第一试一、选择题（本题满分 42 分，每小题 7 分）1.计算 （ ）432412（A） （B）1 （C） （D ）22.满足等式 的所有实数 的和为（ ）2mm（A）3 （B）4 （C）5 （D ）63.已知 AB 是圆 O 的直径，C 为圆 O 上一点， ， 的平分线交圆 O 于点15CABCD，若 ，则 AB=（ ）（A）2 （B） （C） （D ）3624.不定方程 的全部正整数角（x,y）的组数为（ ）2375170xy（A）1 （B）2 （C）3 （D ）45 矩形 ABCD 的边长 AD=3，AB=2，E 为 AB 的中点，F 在线段 BC 上，且BF：FC=1：2，AF 分别与 DE，DB 交于点 M，N ，则 MN=（ ）（A） （B） （C） （D ）37514952815286.设 n 为正整数，若不超过 n 的正整数中质数的个数等于合个数，则称 n 为“好数”，那么，所有“好数”之和为（ ）（A）33 （B）34 （C）2013 （D ）2014二、填空题（本题满分 28 分，每小题 7 分）1.已知实数 满足 则 ,xyz4,129,yzxy3xyz2.将一个正方体的表面都染成红色，再切割成 个相同的小正方体，若只有一面是3()n红色的小正方体数目与任何面都不是红色的小正方体的数目相同，则 n= 3.在 中， ，D ，E，F 分别在 AB，BC，CA 上，则ABC60,75,10CAB的周长最小值为 DEF4.如果实数 满足 ，用 A 表示 的,xyz228yzxyz,xyzx最大值，则 A 的最大值为 第二试（A ）一、 （本题满分 20 分）已知实数 满足 求,abcd22236,acbdabc的值。22abcd二、 （本题满分 25 分）已知点 C 在以 AB 为直径的圆 O 上，过点 B、C 作圆 O 的切线，交于点 P，连 AC，若 ，求 的值。92OAPB三、 （本题满分 25 分）已知 是一元二次方程 的一个根，若正整数 使t210x,abm得等式 成立，求 的值。31atmbtab第二试（B）一、 （本题满分 20 分）已知 ，若正整数 使得等式21t,abm成立，求 的值。17atmbtab二、 （本题满分 25 分）在 中，ABAC，O、IABC分别是 的外心和内心，且满足 AB-AC=2OI。AB求证：（1）OI BC；（2） 。2AOCBAOISS三、 （本题满分 25 分）若正数 满足:,abc，2222 3bcacc求代数式 的值。22222abbcca2012 年全国初中数学联合竞赛试题第一试一、选择题（本题满分 42 分，每小题 7 分）1已知 ， ， ，那么 的大小关系是（ ）21a32b6c,abcA. B. C. D.bcab2方程 的整数解 的组数为 （ ）224xy(,)xyA3 B4 C5 D63已知正方形 ABCD 的边长为 1，E 为 BC 边的延长线上一点， CE1，连接 AE，与 CD交于点 F，连接 BF 并延长与线段 DE 交于点 G，则 BG 的长为 （ ）A B C D63532632534已知实数 满足 ，则 的最小值为 （ ）,ab2144abA B0 C1 D18 985若方程 的两个不相等的实数根 满足 ，232xp12,x32314()xx则实数 的所有可能的值之和为 （ ）A0 B C D456由 1，2，3，4 这四个数字组成四位数 （数字可重复使用） ，要求满足abcd.这样的四位数共有 acbd（ ）A36 个 B40 个 C44 个 D48 个二、填空题（本题满分 28 分，每小题 7 分）1已知互不相等的实数 满足 ，则 _,abc11bcta2使得 是完全平方数的整数 的个数为 51mm3在ABC 中，已知 ABAC，A40，P 为 AB 上一点，ACP20，则 BCAP4已知实数 满足 ， ，,abc14abc，则 222313922c第二试一、 已知直角三角形的边长均为整数，周长为 60，求它的外接圆的面积.二、如图，PA 为O 的切线，PBC 为O 的割线，ADOP 于点 D，ADC 的外接圆与BC 的另一个交点为 E.