高等传热学作业

第一章1-4、试写出各向异性介质在球坐标系 中的非稳态导热方程，已知坐)(、r标为导热系数主轴。解：球坐标微元控制体如图所示：热流密度矢量和傅里叶定律通用表达式为：（1-1） kTrkjTrikTqr sin11根据能量守恒： stoutginEE（1-2） drtTcdrqdqdr psinin22导热速率可根据傅里叶定律计算： rtTkrrsin（1-3）dqrrksin将上述式子代入（1-4-3）可得到 )51(sinsin sin()i(i)(22 drtTcdrq drTrkrdTkTkpr对于各向异性材料，化简整理后可得到：（1-6）tTcqrkrkTrk p 2222 sin)(siin)(第二章2-3、一长方柱体的上下表面(x=0，x=)的温度分别保持为 和 ，两侧面(1t2)向温度为 的周围介质散热，表面传热系数为 。试用分离变量法求解Ly1t h长方柱体中的稳态温度场。解：根据题意画出示意图：（1）设 ，根据题意写出下列方程组fff ttt21,0002122hyLyxy（2-1）解上述方程可以把 分解成两部分 和 两部分分别求解，然后运用叠加原理I得出最终温度场，一下为分解的 和 两部分：I I00212IIIIIIhyLxy0022hyLxy（2）首先求解温度场 I用分离变量法假设所求的温度分布 可以表示成一个 x 的函数和一个 y 的函数的乘),(yxI积，即（2-2）)(),(1YXI将上式代入 的导热微分方程中，得到 ，即 ，上I 01212Xdyx 21 Y式等号左边是 x 的函数，右边是 y 的函数，只有他们都等于一个常数时才可能成立，记这个常数为 。由此得到一个待定常数的两个常微分方程2（2-3）001212 YdyXdx解得（2-4）)()()(1xBshAc（2-5）inoyDCyY把边界条件 代入（2-3-4）得到 A=0，所以有0,yI（2-6）)()(1xBshX把边界条件 代入（2-3-5）得到 D=0，所以有0,yLI（2-7）)cos()(1yCY把边界条件 联立（2-3-7 ）得到0,IIhyL（2-8）/)cot(L设 ，则有 ，这个方程有无穷多个解，即常数 有无穷BihL/, iB/)cot(多个值，即 ，所以对应无穷多个 ，即 ，所以有3,21(n)3,21(n（2-9 ）)cs()(1yCyYn联立（2-3-6）可得（2-10）1)(os),(nnI xhKx把边界条件 代入上式可得2,Ix（2-11 ）LnnLn dyshdy020 )(co)()cos( 解得（2-12）)cs()i/(2nnnnshK其中 Ln（2-13）)(cos)cos()in/(2),(1 xLhyLshyx nnn nI （3）求解温度场 与解 一样用分离变量法，假设所求温度分布 可以表示成一个 x 的函数和一个 yI ),(yx的函数的乘积（2-14）)(),(2YXyx将该式子代入 的导热微分方程中得到 ，即 ，022Xdyx 22 Y由此可得到两个常微分方程（2-15 ） 022dxX（2-16）22Yy解式（2-3-15）时根据 x 的边界条件可以把解的形式写为（2-17）)()()(2 xBshxAchX把边界条件 代入上式，得到 A=0，所以有0,（2-18）)()(2xBshxX其中 innL/)cot(,（2-)()cos(),(1xhykyxnnI19）把边界条件 代入上式可得1,0x（2-20）LLnnn dyxshKdy002 )(cos)()cos( （2-21）)()i/(21 nnnh（2-22）)(cos)cos()i/(),(11 xLhyLsyxn nn （4）最终求得稳态温度场)()cos()cos()in/(2i/)s(,),(11 xLhyLshyx nnn nnI 2-5、地热换热器是管中流动的流体与周围土地之间的换热，可应用于热能的储存、地源热泵等工程实际。一种布置方式是把管子埋设在垂直于地面的钻孔中。由于管子的长度远大于钻孔的直径，可把管子的散热简化为一个有限长度的线热源。当运行的时间足够长以后，系统可以达到基本稳定的状态。设土地是均匀的半无限大介质，线热源单位长度的发热量为 ql，地表面的温度均匀，维持为 t0。使用虚拟热源法求解土地中的稳态温度场。解：根据题意画出示意图如下：设有限长热源长度为 H，单位长度热源发热量为 ，电源强度为 ，设地面lq)(0wdzql温度维持恒定温度 。00,tt（1）求解点热源 dz0 产生的温度场有限长线热源在某点产生的温度可以看做是许多点源在该点产生的温度场的叠加，因此我们先来看下无限大介质中点源产生的温度场，这是一个球坐标系中的无内热源的稳态导热问题，其导热微分方程为：（3-1 ） 0)(12drr解微分方程可得（3-2）c12把边界条件 代入上式得到 ，所以有0,r0（3-3）rc1在球坐标系点热源 单位时间内的发热量等于它在任意球面上产生的热流量 Q，即0dz（3-4）0124dzqcrdQl所以得到 014zqcl由此可得到球坐标系中点热源 产生的温度场为0z（3-5）0*14dzrql（2）分别求出两个线热源产生的温度场线热源产生的温度场可以看作是点热源产生的温度场的叠加，因此有地下有限长线热源产生的温度场（3-6）0014dzrqHl对称的虚拟热源产生的温度场为（3-7 ）00214dzrqHl（3）虚拟热源法求解的地热换热器产生的温度场（3-8） zzHzq dzzrdzrqlHl ll 2200 2202000)(n4)(1)(14第三章3-1、用热电偶测量呈简谐波周期变化的气流温度，热电偶的感温节点可看作直径为 1mm 的圆球，其材料的密度为 8900kg/m3，比热容为 390J/(KgK)，测温记录最高和最低温度分别为 130和 124，周期为 20s。若已知气流与热电偶间的对流换热的表面传热系数为 20W/(m2K)，试确定气流的真实温度变化范围。解：气流温度按简谐波变化时，热电偶的温度响应为（4-1）)cos(*wB式中 )artn12rrfwAB按题目要求 ， ，10T shAcvr 925.820613983，根据题目提供的热电偶测量的最高温度、最低温度，求出热电偶测量)/(202kmh的温度变化的振幅如下式（4-2）3214012rfw把 的数据代入上式中得到气流温度变化的振幅 ，所以真实气体温度变化的rw, .7fA最大值、最小值为（4-3）Ct 0max 4.15.24130（4-4）in 6973-6、已知初始温度均匀的无限大介质中由连续恒定发热的线热源所引起的温度场由式子 确定。若线热源的加热不是连续的而是间歇的，)4(),(2arEqrtil即从 的时刻起，线热源进行周期性的间歇加热，周期为 T，其中加热的时0段为 T1，其余的 T-T1 时间不加热。试利用线性叠加原理确定介质中的温度响应。解：无限大介质连续恒定发热的线热源引起的温度场：（5-1）)4(),(2arEqtrti其中： duezEi)(对于随时间变化的热流可以用一系列连续的矩形脉冲热流来近似如图所示：由叠加原理得到 时刻的温度变化为：（5-2）)0(,)(4)(41112liillni qarEqtii 对于间歇性的脉冲，令 为运行份额，如果在整个运行期间的平均热负荷为 ，TCl/ lq则脉冲加热的强度为 ，具体见下图：ql由叠加原理得到：（5-3） 0 22 2020 )(4(44 )n ilil linlinl nTarETarECqqt 即温度响应为（5- 0 22)(1)(n ilil rnrqt 4）第四章4-1、处在 x0 的半无限大空间内的一固体，初始温度为溶解温度 tm。当时间时，在 x=0 的边界上受到一个恒定的热流 q0 的作用。使用积分近似解得0方法确定固液界面位置随时间变化的关系式。温度分布按二次多项式近似。解：设过余温度 ，边界条件为mt（6-1 ）dxqx0,（6-2）)(热平衡方程为（6-3）0),(,XxdLx其中 L 是潜热， a/用二次多项式近似固相区中的温度分布，设（6-4）2)()(),(XxBAx由边界条件（6-1）可知， ，则0d（6-5）)2()(220xq由边界条件（6-2）变形， ，代入（6-3 ）式可得XX,（6-6）0)(22xLa将（6-4）代入上式得到（6-7）2aBA联立（6-5）和（6-7）两个式子，可解得（6-8）XaLqaA024将（6-4）代入（6-3）得到（6-9）dxB)(其中 ，所以有 ，代入 A 的值即得)(XxdLA（6-10）dXaqXa0241变形可得到（6-11）XLaqdaLqd 0202 4)(4积分可得到（6-12 ）2/30200 )(6