浅析微积分在中学数学中的应用

毕 业 论 文 （ 设 计 ）论文（设计）题目：浅析微积分在中学数学中的应用姓 名 学 号 院 系 专 业 年 级 指导教师 2016 年 04 月 17 日目 录摘 要 .1ABSTRACT.2第 1 章 引言 .3第 2 章 中学微积分的基本数学思想方法 .42.1 “极限”思想 .42.2 化归思想 1.5第 3 章 微积分在中学数学中的应用 .73.1 导数在函数单调性问题上的应用 .73.2 利用导数求函数的极值问题 .73.3 函数的变化形态及作图.83.4 微积分在解方程中的应用.103.5 不等式的证明.103.6 恒等式的证明.113.7 曲线的切线及求法.12第 4 章 结论 .13参考文献 .14致 谢 .15新乡学院专科毕业论文（设计）1摘 要本文对微积分中的思想诸如如函数的思想、极限的思想、和化归思想等思想都有深浅不同的探讨。我们使用微积分的方法来讨论函数的单调性、函数的极值和最值、函数的变化形态及作图、微积分在解方程中的应用、不等式和恒等式的证明、曲线的切线及求法。这样就简化了解题思路和步骤，更深层次的体现出微积分与中学数学间的联系。关键词：微积分；函数形态；思想方法 新乡学院专科毕业论文（设计）2ABSTRACTThis article focuses on the varying degrees of the main mathematical thinking in calculus,such as limit thought,the the thought of function,and the transforming thought. In discussions on the monotonicity of the function, and the function extreme value and maximum function, and the change of configuration and mapping, application of calculus in solving equations, inequalities and proof of identity, the tangent of the curve and the method, using the methods of calculus to solve problem more easy, in order to reflect calculus links with the middle school mathematics.Key words: Calculus; Function form;Math Thought新乡学院专科毕业论文（设计）3第 1 章 引言由古至今数学都与人类的生活息息相关，特别是当今社会，科技迅速的发展，高科技产物的层出不穷也使得人们对生活质量的需要越来越高。数学又是高科技发展的基础性学科，所以在越来越重视教育的当今数学在教学中占有的比例也是逐年增大。我们数学教育专业的学生在毕业后无论从事哪个层次的教育我们的首要目标就是培养社会需要的人才。在中学数学中，让学生掌握良好的思想方法是有效的学习数学的工具和手段。作为教师引导他们熟练的运用数学思想方法去找出问题、理解问题和解决问题是紧急而充满挑战的任务。微积分中的许多数学思想都是数学家们辛苦研究的成果，而我们现在所要进行的就是在前人的肩膀上眺望更远的远方。数学思想是数学史上的美丽的瑰宝值得我们研究与探索。 2在数学教育中，学生掌握科学的思维方法是成为创造型人才的基础，是培养高科技研究型人才的基石。作为一名即将踏上讲台的教师，深刻了解微积分与中学数学分析问题，解决问题的关系，掌握微积分在中学数学中的应用，这对提高数学教学的方法是十分重要的。我们有必要好好学习并掌握。微积分在解决数学问题中有着举足轻重的作用，在中学数学的教材中对于微积分的介绍和知识比例也越来越多，掌握基本的数学思想方法也自然而然的是我们当代数学教师应有的基本专业知识。在如今社会里学生是社会发展的希望与未来而教师是学生学校教育的领导者和榜样示范者。由此可见教师自身掌握专业知识对于学校教育的重要性。新乡学院专科毕业论文（设计）4第 2 章 中学微积分的基本数学思想方法数学思想和数学方法统称为数学思想。而数学思想的本质就是人们对于数学理论知识和他的本质的反映。数学思想在数学问题的解决中起着桥梁的作用，数学方法既是一种解决数学问题的过程，方法和手段。单纯的运用一种方法去解决每一个类型的数学问题是不可能的。数学家们在解决问题时产生得到另一种思想和方法记录下来并流传后世才使得数学思想方法越来越丰富，众多的数学问题也迎刃而解。微积分近两年在中学数学中的应用比例逐渐升高。而其在大学数学里是许多专业的基本必修内容更是数学专业学生要掌握的最近本的解题思路。由此可见我们应当更加的重视这个内容。2.1 “极限”思想极限思想方法的概念就是用无限的变化过程来研究有限的数学问题。具体是说能用有限的数值方法去探索数学问题棘手的繁琐的无限思想。它是高等数学的中心思想是我们要熟练掌握的数学思想方法之一。 3 假如我们想要解决求曲边梯形的面积，但是我们没有具体的求值公式，这时我们就可以用极限思想来解决。将曲线的面积分为若干个不同的矩形的面积的结合，并且将矩形越分越细逐渐贴近曲线的面积，由此就可以将诸多个矩形的面积之和视为这个我们需要求值的曲线面积。将矩形分的越精细就会越接近我们所要求的的值。即：(1)化“整”为“零”：将曲边梯形逐渐的分为 个逐渐接近曲线的小曲边新乡学院专科毕业论文（设计）5梯形。如图 2-1图 2-1 图 2-2在 ,b中插入 n 个点 ， =0 121=把区间 分成 个不同长度的小区间 ，, 0,11,2,1,记为 ， 1,=1,2,它们的长度依次可以分为： . 1=10, 2=21, 1设 经过每一个分点作平行于 y 轴的直线段，把曲边梯=1,2,形分成 n 个窄曲边梯形，第 个小曲边梯形的面积记作 ， . =1,2,(2)以“直”代“曲”：用分出的诸多个小矩形的面积代替曲边梯形的面积。如图 2-2在每个小区间 上任取一点 ，以 为底， 为高的小 1, 1, ( )矩形近似替代第 个小曲边梯形 ( )，则有 ， . =1,2, = ( ) =1,2,(3)积“零”为“整”：求 个小矩形面积之和。将诸多个矩形的面积之和视为这个我们需要求值的曲线面积，即.=1( 1)1+( 2)2+( )=1 ( )(4)取极限：由近似值过渡到精确值，当 时，可以求得曲边梯形的 0新乡学院专科毕业论文（设计）6面积 。 4=lim01 ( )2.2 化归思想化归思想的实质是在许多可能的答案进行分析对比，尽量排除错误答案或者从另一个方面去解决问题的思想方法。 4化归思想有三个重要分类：化归对象，化归目标和化归途径。在所学习到的心理学中关于认知心理学的描述为人们在认知新的事物理解新的问题都是要以曾经的旧的记忆为基础，形成前摄抑制。有助于加强两者之间的联系，而这种联系就会用到数学思想中的化归思想。在数学问题中我们常常会将函数的单调性、极值、最值、凹凸性、拐点等问题判定转化为其导函数的值的问题；将曲边四边形面积和旋转体的体积转化为定积分问题； 5像这种用化归思想方法解决实际问题从方法论角度说就是“化归原则” 。在数学中利用化归原则解决问题时的一般模式可以归结为图 2-3:图