泰勒公式的展开及其应用论文周波

本 科毕业论文（设计）Taylor 公式的展开及其应用学 院：数学与统计学院专 业：数学与应用数学班 级：应数 121 班 学 号：1207010258 学生姓名：周波 指导教师：吴奎霖老师 2016 年 06 月 10 日本人郑重声明：本人所呈交的毕业论文（设计） ，是在导师的指导下独立进行研究所完成。毕业论文（设计）中凡引用他人已经发表或未发表的成果、数据、观点等，均已明确注明出处。特此声明。论文（设计）作者签名： 日 期： 目 录摘 要 .IABSTRACT .II前 言 .III第一章、预备知识 .11.1TAYLOR 公式 .11.2 不常见的 TAYLOR 余项 .41.3TAYLOR 公式展开的唯一性 .51.4 常见函数的展开式 .61.5 常见展开式的拓展 .6第二章、TAYLOR 公式在数学分析上的应用 .82.1 利用 TAYLOR 公式求极限 .82.2 利用 TAYLOR 公式作导数的中值估计 .92.3 利用 TAYLOR 公式求极值 .102.4 利用 TAYLOR 公式求曲线的渐近方程 .112.5 利用 TAYLOR 公式证明不等式 .14第三章、在数学计算方面的应用 .173.1 利用 TAYLOR 公式求近似值 .173.2TAYLOR 公式导出牛顿迭代法和欧拉法. .183.3 判定迭代法的收敛速度. .19第四章、在复变函数中的应用 .224.1 复变函数的 LAURENT 展开 .224.2 积分的计算 .224.3 TAYLOR 公式判断正项级数的敛散性 .22结束语 .25参考文献 .26致谢 .27贵州大学本科毕业论文（设计） 第 I 页Taylor 公式的展开及其应用摘 要James Gray 在 1671 年已经发现了 Taylor 公式的特例，不过当时并未明确提出,在 41 年后著名的英国数学家 BrookTaylor 在他的一封信里首次公诉了这个公式,并计算出了这个多项式和真实的函数值之间的误差,Taylor 公式也由此而得名.在 1797 年之前 Lagrange 最先提出了带有余项的现在形式的 Taylor 定理.伴随着科技的发展，越来越多的计算需要进行近似化或模拟化，合理的运用 Taylor 公式可以大大的减小这其中所产生的误差。本文主要通过引入数学分析中的知识点 Taylor 展开的思想，采取举例分析的方法，对 Taylor 公式展开的特性及高等数学各个方面的应用进行了分析讨论(利用 Taylor 公式求极限、计算近似值、证明不等式、求曲线的渐近线方程、计算留数、判断级数的收敛和发散性、作导数的中值估计、计算极值)关键词：Taylor 公式；极限；近似值；不等式；渐近线贵州大学本科毕业论文（设计） 第 II 页AbstractJames Gray had found the special case of Taylor Formula in 1671, but he didnt clearly put it forward. Forty-one years later, famous British Mathematician BrookTaylor made it known to the public in a letter and figure out the random error between the polynomial and its real functional value, from which Taylor Formula got its name. Before 1979, Lagrange is the earliest person to put forward the present form of Taylor Theorem with remainder. With the scientific and technological development, more and more calculations need to be approximated and simulated, which causes larger errors, but the reasonable use of Taylor Formula can greatly improve it.With illustrations, this paper analyzes and discusses the features of expanded Taylor Formula and applications in different areas in advanced mathematics by introducing expanded thought knowledge in mathematical analysis. (Using Taylor Formula to seek the limit, compute approximate value, prove in-equation, find curve asymptotic equations, compute residue, estimate convergence and divergence of series, evaluate derivative median and compute extreme value.) Key words: Taylor Formula; the limit; approximate value; in-equation; curve asymptotic line贵州大学本科毕业论文（设计） 第 III 页前 言早期自然科学家们进行科学研究计算时，为了简化问题，总是将问题近似地的看作线性问题进行讨论研究。直至 Taylor 展开思想的提出：利用 次多项式来逼近函数 ,而 多项式具有形式简单，易于计算等优点。我们已经知道，在函数的运算中，多项式函数只用到加、减、乘三种简单的运算，把一个复杂的函数近似地用多项式表示出来，并能使误差达到预期的要求。这大大降低了理论研究的误差，另外在高等数学方面，Taylor 公式可以将给定函数用多项式和表示出来，这种化繁琐为简单的作用使得Taylor 公式成为高等数学的核心内容之一。本文将在前人的理论基础上进行应用探讨，所涉及的内容不仅有经常用到的还有一部分是我们不常见的 Taylor 公式的应用，本文最大的特点是让 Taylor 公式零散的应用系统化，进而加深大家对 Taylor 公式的认识和理解。贵州大学本科毕业论文（设计） 第 1 页第一章、预备知识1.1Taylor 公式用多项式近似地表达一个给定函数的问题, 不仅从计算的观点看是很必要的 , 而且从理论分析的角度看也是很有意义的, 一般的函数不好处理 , 就常常用容易处理的简单函数近似地代替它, 因此这种简单函数再过渡到原来的函数 , 这就是 Taylor 公式的基本思想.Taylor 的定义: 已知 在 处可微, 那么在 附近存在()0 0()=(0)+(0)(0)+(0),从上述公式可得知, 在 附近用一次多项式 + 作近似值取代=0 (0) (0)(0)时, 其误差为 的高阶无穷小量 , 这时 + 的精确度对于 来() 0 (0) (0)(0) 0说只达到了一阶, 为了提高精确度, 必须考虑使用更高次数的多项式作逼近. 若函数在 处 阶可导时, 有如下更精确的计算公式.() 0 n定理 1.1.11(Peano 余项的 Taylor 公式): 若函数 在 存在 阶导数, 则存在 的() 0 0一个邻域, 对于该邻域中的任一点 , 成立f()=(0)+(0)(0)+(0)2!(0)2+(0)! (0)n+(0), (1)上诉公式称为 在 处的带 Peano 余项的 Taylor 公式, 它的前 项组成,的() =0 n+1多项式贵州大学本科毕业论文（设计） 第 2 页()=(0)+(0)(0)+(0)2!(0)2+(0)! (0)n,贵州大学本科毕业论文（设计） 第 3 页称为 的 次 Taylor 多项式, 余项 称为 Peano 的余项.() n ()=(0)证 因为 ()=f()=0(0)! (0),所以只需证明 ()=o(0),又因为 = =(0) (0)(0)=(n1) (0)=0,反复应用 LHospital 法则, 则有:lim0()(0)=lim0 ()(0)1=0 ()(1)(0)2=0 (1) ()(1)2(0) =1!0(1)()(1)(0)()(0)(0)0=0(1)()(1)(0)0 ()(0) =1!()(0)()(0)=0, 因此 ()=o(0).当 =0 时, 式转化为 , 我们将0 (1) f()=f(0