常微分方程求解的高阶方法毕业论文

常微分方程的高精度求解方法安徽大学江淮学院 07 计算机(1)班安徽大学江淮学院本科毕业论文（设计）题 目： 常微分方程求解的高阶方法 学生姓名： 圣近 学号： JB074219 院（系）： 计算机科学与技术 专业： 计算机科学与技术入学时间： 2007 年 9 月导师姓名： 汪继文 职称/学位： 教授 导师所在单位： 安徽大学计算机科学与技术学院 常微分方程的高精度求解方法安徽大学江淮学院 07 计算机(1)班 I常微分方程的高精度求解方法摘 要本文主要讨论了常微分方程的高精度求解方法的相关解法问题。文章首先案例引入微分方程概念，然后给出了微分方程的基本概念。科学和工程中建立数学模型时常用到微分方程。由于它们通常没有已知的解析解，因而需要求其数值近似解。先从常微分方程解析解法出发，分析解析解法在实际运用中的局限性，引入常微分方程的数值解法，呈现常微分方程数值求解的三个步骤：将问题离散化，建立或寻找一个递推格式，按步进方式计算。再从对精度需求出发从低阶数值方法到高阶数值方法进行逐步的探讨，分析各种方法的数学原理，阐述其推导方法，比较不同方法的优缺点，重点介绍实用的龙格库塔方法、欧拉方法、休恩方法、泰勒级数法和预报校正方法，并以编写相应程序作总结。最后，再讨论高阶常微分方程和一阶常微分方程组：一般的高阶常微分方程都可以通过相应的变量代换转化为一阶常微分方程组，一阶常微分方程的初值问题求数值解与一阶常微分方程的初值问题求数值解的方法基本相同。关键词：龙格库塔方法；欧拉方法；休恩方法；泰勒级数法；预报校正方法；常微分方程的高精度求解方法安徽大学江淮学院 07 计算机(1)班 IIHigh accuracy method for solving ordinary differential equations Abstract This paper discusses the accuracy method for solving ordinary differential equations related to solution problems. The article first case to introduce the concept of differential equations, and then gives the basic concepts of differential equations. Science and engineering often use a mathematical model equations. As they often do not have known analytic solution, and thus demand for its numerical approximate solution. Start with the analytical solution of ordinary differential equations, analyzes the analytical solution of the limitations in the practical application, the introduction of numerical solution of ordinary differential equations, numerical solution of ordinary differential equations presented in three steps: discretization of the problem, create or find a recursive format is calculated by step. Starting from the demand for accuracy and then from low to high numerical method of step by step numerical method to analyze various methods of mathematical theory to explain their derivation, compare the advantages and disadvantages of different methods, focusing on practical Runge - Kutta method, Euler method, Bethune method, Taylor series method and prediction - correction methods, and procedures for the preparation of the corresponding summary. Finally, discuss the higher order ordinary differential equations and first order ordinary differential equations: general higher order ordinary differential equations can be substituted by the corresponding variable into a first-order ordinary differential equations, first order initial value problems for ordinary differential equations numerical solution with an initial value problem of differential equation numerical solution method is basically the same.Keywords: Runge - Kutta methods; Euler method; Huon method; Taylor series method; prediction - correction; 常微分方程的高精度求解方法安徽大学江淮学院 07 计算机(1)班 III目 录第一章 前 言 .11.1 案例引入微分方程概念 .11.2 微分方程的基本概念 .11.2.1 微分方程及微分方程的阶 .11.2.2 微分方程的解、通解与特解 .11.2.3 微分方程的初值条件及其提法 .21.2.4 微分方程的解的几何意义. .21.3 从解析方法到数值方法概述 .31.4 常温分方程的离散化 .4第二章 数值解法 公共程序模块分析 .5第三章 欧拉（Euler）方法 .73.1 Euler 方法思想 .73.2 Euler 方法的误差估计 .83.3 改进的 Euler 方法 .83.3.1 梯形公式 .83.3.2 改进 Euler 法 .9第四章 休恩方法 .104.1 休恩方法思想 .104.2 休恩方法的步长和误差 .10第五章 泰勒级数法 .115.1 泰勒定理 .115.2 N 次泰勒方法 .12第六章 龙格-库塔（Runge Kutta 法） .136.1 龙格-库塔（Runge Kutta）方法基本思想 .136.2 阶龙格-库塔（Runge Kutta）方法公式 .14第七章 预报-校正方法 .157.1 Milne-Simpon 方法 .167.2 误差估计于校正 .167.3 正确的步长 .17第八章 一阶微分方程组与高阶微分方程的数值解法 .178.1 一阶微分方程组的数值解法 .178.2 高阶微分方程的数值解法 .18第九章 常微分方程模型数值解法在数学建模中的应用 .19常微分方程的高精度求解方法安徽大学江淮学院 07 计算机(1)班 IV9.1 耐用消费新产品的销售规律模型 .199.1.1 问题的提出 .199.1.2 模型的构建 .199.1.3 模型的求解 .209.2 司机饮酒驾车防避模型的数值解法 .219.2.1 模型假设 .229.2.2 模型建立 .229.2.3 模型求解 .249.2.4 模型评价 .259.2.5 诚恳建议 .259.2.6 模型推广 .26主要参考文献 .26致 谢 .27常微分方程的高精度求解方法安徽大学江淮学院 07 计算机(1)班 1第一章 前 言1.1 案例引入微分方程概念在科技、工程、经济管理、生态、生态、刑侦等各个领域微分方程有着广泛的应用。我们看一实例。案例：一次谋杀案，在某天下午四点发现尸体，尸体的体温为 30，假设当时屋内空间的温度保护 20不变，现判断谋杀是何时发生的？解决此问题首先必须要从尸体温度的变化寻求关系式，这就需要知道物理学中的加热与冷却规律。物理学家牛顿（Newton）曾提出，一块热的物体，其温度下降的速度是与它自身温度的差值成正比。同样，一块冷的物体，其温度上升的速度是与他自身温度同外界温度的差值成正比。据此我们可找到温度与时间之间的函数关系式，这事实上就是一个微分方程的建立问题。再如传染病传染问题（人口增长模型问题）也要用到微分方程的知识。通过求解微分方程，可以得到所需求的函数。 1.2 微分方程的基本概念1.2.1 微分方程及微分方程的阶含未知函数的导数(或微分)的方程称为微分方程；未知函数是一元函数的微分方程，称为常微分方程；未知函数是多元函数的微分方程，称为偏微分方；2d3 (1.)yx， 2d (1.2)sgt(1.1)和(1.5)式均是微分方程.微分方程中未知函数的导数的最高阶数，称为微分方程的阶.微分方程(1.1)是一阶的，微分方程(1.2)是二阶的.1.2.2 微分方程的解、通解与特解能使微分方程成为恒等式的函数，称为微分方程的解.例如 和 都是 的解.3yxc313dyx常微分方程的高精度求解方法安徽大学江淮学院 07 计算机(1)班 2又如 和 都是 的解. 2121Ctgs21sgt2dsgt如果微分方程的解中含任意常数,且独立的(即不可合并而使个数减少的)任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解为微分方程的通解. 3xy例 如 .d32的 通 解是 xy.2的 通 解是 gts 2121Ctgts又 如不包含任意常数的解为微分方程特解. 3xy例 如 .d32的 特 解是 xy21gts又 如 .d的 特 解是 s1.2.3 微分方程的初值条件及其提法用以确定微分方程解中任意常数的特定条件，称为微分方程的初值条件.初值条件的提法：当 x=x0 时，y=y 0，1.2.4 微分方程的解的几何意义.微分方程的解的图形称为微分方程的积分曲线.通解的图形是一族积分曲线，称为微分方程的积分曲线族.微分方程的某个特解的图形就是积分曲线族中满足给定初值条件的某一特定的积分曲线. 2211200e() 4 (1.3 , 1 .4xxxxyCC“y验 证 函 数 ， 为 任 意 常 数 是二 阶 微 分 方 程的 通 解 ， 并 求 此 微 分 方 程 满 足 初 值 条 件 ： ).的 特 解., ,)( ,| 000都 是 已 知 值其 中 或 ，或记 作 yxyxx.)(,)( )( )1(0100 nnyxn， 个 初 值 条 件 ：阶 微 分 方 程 需 给 出一 般 地 ， 对 于 常微分方程的高精度求解方法安徽大学江淮学院 07 计算机(1)班 3，得 ，分 别 求 一 阶 及 二 阶 导 数将 函 数 xxCy221e ，“2422211(.3) 4ee40xxxxy把 它 们 代 入 微 分 方 程 的 左 端 ， 得所以函数 是所给微分方程(1.3)的解.又因为这个解中含有两个C2独立的任意常数，任意常数的个数与微分方程(1.3)的阶数相同，所以它是该方程的通解. 00221(4):1 e xxyyC把 式 中 的 条 件 “”及 “”分 别代 入及中 ， 得 .4120211，解 得 ， ).e( 2xy初 值 条 件 的 特 解 为于 是 所 求 微 分 方 程 满 足1.3 从解析方法到数值方法概述求解常微分方程的解析方法很多，像变量分离法，积分因子法，遗憾的是实际上得到的大部分常微分方程都不能使用这些理论上的方法。数值求解微分方程的方法基于有限维近似，这个过程称为离散化，我们将用代数方程代替微分方程，用代数方程的解近似微分方程的解，对初值问题来说，近似解的值是在求解区间上一步步地产生的，因此求解常微分方程的数值方法也称为离散变量法，在由一个离散点的值计算下一个点的值时，一般会产生一定的误差，这样新的近似解将落在常微分方程的另一个解上，而这个解与开始所求的解是不同的，解的稳定性决定了这类误差将随时间的增大而放大或缩小。常微分方程的高精度求解方法安徽大学江淮学院 07 计算机(1)班 41.4 常温分方程的离散化下面主要讨论一阶常微分方程的初值问题，其一般形式是 0(,)(1.5)dyfxaxba在下面的讨论我们总假定函数 f (x, y) 连续，且关于 y 满足李普希兹(Lipschitz)条 件，即存在常数 L ，使得 (,)(,)fxyfLy这样，由常微分方程理论知，初值问题(1)的解必定存在唯一。 所谓数值解法，就是求问题（1.5）的解 y(x) 在若干点 012Naxb处的近似值 的方法， 称为问题（1.5）的(1,2)nyN ,)n数值解， 称为由 到 的步长。今后如无特别说明，我们总取步长为1nnhxnx1常量 h 。建立数值解法，首先要将微分方程离散化，一般采用以下几种方法： （i）用差商近似导数若用向前差商 代替 代入（1.5）中的微分方程，则得1()(nnyxh()nyx,0,1)f化简得1()(,()nnnyxhfxy如果用 的近似值 代入上式右端，所得结果作为 的近似值，记为) 1()nyx，则有1ny1(,)0,1).6nnyfxy这样，问题（1.5）的近似值可通过求解下述问题10(,)(,)(1.7)nnhfya得到，按式（1.7）由初值 可逐次算出 。式（1,7）是个离散化的问012,y题，称为差分方程初值问题。需要说明的是，用不同的差商近似导数，将得到不同的计算公式。常微分方程的高精度求解方法安徽大学江淮学院 07 计算机(1)班 5（ii）