2015年自考初等数论考试试题题库及答案解析

初等数论本科一 填空题（每空 2 分）1.写出 30 以内的所有素数 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29 .2. 1 ., (,)abab 设 是 任 意 两 个 不 为 零 的 整 数 ,则3.若 是非零整数,则 与 互素的充要条件是存在整数 ,适abxy1ab4.写出 180 的标准分解式是 ,其正约数个数有 (2+1)(2+1)(1+1)=18 个.2355. 个.,1,ab设 与 是 正 整 数 则 在 中 能 被 整 除 的 整 数 恰 有 b6.设 是非零整数,c 是整数 ,方程 有整数解( )的充要条件是 , axbyc,xy(,)|abc7. 若整数集合 是模 的完全剩余系,则 中含有 个整数.AmAm8. 2 ; 2 .(3)=(4)=9.当 素数时,(1) ;(2) .pp1()kp1kp10. 0 (),(),ma设 是 正 整 数 则 od).11. 0 ,pa设 是 素 数 则 对 于 任 意 的 整 数 有 (m).12.已知 ,则 1 .235(od7)xx(7)13.同余方程 的解是 4(mod7) .14.同余方程 的解是 .X=6. .210(m9)x15. , .(,)np若 是 模 的 二 次 剩 余 的 充 要 条 件 是 -12(mod).pn16. , .1若 是 模 的 二 次 非 剩 余 的 充 要 条 件 是 -17. -1 ; 1 .3()=54()=518. .,p设 是 奇 素 数 则 2p218().p19. 1 ; .,设 是 奇 素 数 则 ()-()-12().p20. 1 ; -1 .5()=92=45二 判断题(判断下列结论是否成立，每题 2 分).1. .成立| ,|abcxyZabxcy且 对 任 意 的 有2. .不成立(,),abc若 则3. .不成立23|若 则4. 成立(mod),0(mod).abkNkk5. 不成立().cab6. . 不成立2(), ()ab若 则 或 至 少 有 一 个 成 立7. .不成立22od(od)abm若 则8. 若 通过模 的完全剩余系,则 ( 是整数)通过模 的完全剩余系. 成立xxm9. 不成立1212,mb 若 与 都 是 模 的 完 全 剩 余 系不成立, .aba则 也 是 模 的 完 全 剩 余 系10.若 , 通过模 的简化剩余系,则 也通过模 的简化剩余系. 不成立(,)mxaxb11. 成立12121212()()().N若 则12. 同余方程 和同余方程 是同解的. 成立430mod5x410(mod5)x13. 成立() .abamyb同 余 方 程 等 价 于 不 定 方 程14. 成立2,(),()mxa当 是 奇 素 数 时 若 有 解 则15. 不成立21,od.xm当 不 是 奇 素 数 时 若 则 方 程 一 定 有 解三 计算题1. .（6 分） (1859,73)求解： .(1859,73)(286,1573)(2, 4042.求 -36,108,204.（8 分）解： 2232.36,046,117, 78.3. 求(125,17), 以及 , ,使得 125 +17 =(125,17).（10 分）xyxy解：3.651,1-(7-2)36-17(25-17).2,.xy由 等 式 起 逐 步 回 代 得4. 求整数 , ,使得 1387 -162 =(1387,162).（10 分）xy解：4.91,1-4(9)5-415(20-1)45202073)973(7)916)68425.1由 等 式 起 逐 步 回 代 得375. （8 分）!.分 解 为 质 因 数 乘 积6. .（8 分）,10|9!k求 最 大 的 正 整 数 使7. (10 分)1.23求8. (6 分)874.xy求 方 程 的 整 数 解9.求方程 19 x20y=1909 的正整数数解。(10 分)10. 求方程 111 -321 =75 的整数解.(10 分)11. (8 分)123061.x求 方 程 5的 整 数 解12. (8 分)5yz求 不 定 方 程 的 整 数 解13. (8 分)7.x求 不 定 方 程 的 所 有 正 整 数 解14. (10 分)19, 2,35.30将 写 成 三 个 分 数 之 和 它 们 的 分 母 分 别 是 和15. (6 分)230.xy求 方 程 的 整 数 解16. (8 分)317.求 方 程 的 整 数 解17. (10 分)5()4.xyzxyz求 方 程 的 正 整 数 解18. (10 分)4063(求 的 个 位 数 字 与 最 后 两 位 数 字 十 进 制19. (8 分)7(mod23.x解 同 余 方 程20. (8 分)1504解 同 余 方 程21. (6 分)2(mod35.7x解 同 余 式 组22. (10 分)43()0od3),(289.fxfxx解 同 余 式23. (6 分)765:20od5解 同 余 方 程24. (8 分).求 出 模 3的 所 有 二 次 剩 余 和 二 次 非 剩 余25. (6 分)25(mod1).x判 断 方 程 有 没 有 解26. (8 分)26,49(od563.x已 知 是 素 数 判 定 方 程 是 否 有 解27. .(8 分)3求 以 为 其 二 次 剩 余 的 全 体 素 数28. (8 分)1073:();2)(.5计 算29. (6 分).计 算30. (10 分)3(mod8120.5x解 同 余 式 组四 证明题1、 (6 分), ,1.:|,|.abxyabyanb设 是 两 个 给 定 的 非 零 整 数 且 有 整 数 使 得 求 证 若 则证明：.()|,|.nxbynaba又 2. (8 分)121212, 0,.4|.n nnaa 设 是 整 数 且 则证明：12 12311. , 0,2., . ,().-,(-1),., ,4.nnin anaan 若 是 奇 数 则 都 是 奇 数 则 不 可 能即 在 中 至 少 有 一 个 偶 数 如 果 只 有 一 个 偶 数 不 妨 设 为 则 不整 除由 知 左 边 是 个 奇 数 的 和 右 边 是 偶 数 这 是 不 可 能 的在 中 至 少 有 两 个 偶 数 即3. 任给的五个整数中,必有三个数之和被 3 整除.(8 分)证明： 123123123123123.,0,45.() 0, ()., ,(0,12)().iiii iaqrrraqrrq设 若 在 中 数 都 出 现 不 妨 设 则 成 立若 在 中 数 至 少 有 一 个 不 出 现 则 至 少 有 三 个 取 相 同 的 值 令 或则 成 立4. (8 分),9|,|(,ababab设 是 整 数 且 则证明：222224.,),3(,3(),()3,.3,.(,) abababa或若若故5. 设 是正整数,证明 .(8 分)ab(),bab证明：(5.(), ,(),)(),abba而即 结 论 成 立6. (6 分)(mod)0,(mod.nanNab当 时 又 则证明： 123216. ,() ),(od).nnnnba又 即7. 12,.mAx x设 是 模 的 一 个 完 全 剩 余 系 以 表 示 的 小 数 部 分(10 分)1:(,),(-1.2iiaxbam证 明 若 则证明： 111117.2,() (1).2immmmi jjjjaxbxbkja m 由 定 理 知 也 是 模 的 一 个 完 全 剩 余 系可 设从 而8. .(10 分),:nN设 证 明 ()2,2knnN的 充 要 条 件 是证明：-1-18.2,()2().2(),| ()()2)()(),2 22(),1,.)kkkkkkknnt tntnttt若 则若 设则即 从 而 得 证注 或9. (10 分),5|34.nnN设 则证明：44449.(),1(mod5.4023(1)(2)(3)()123().5|4,|,0,10,;,5|1nnqrqrqrqrrrnrrrkkq n 由 定 理 知令 则若 即 得 把 代 入 检 验 可 知若 则 易 知 5|.nn10. ()1,(),:mod)(mod).maxbaaxb设 是 正 整 数 证 明 是 同 余 方 程 的 解证明：()()()-110. ,.od(, ).mEulerxbaab由 定 理 则11. (10 分)-12(od.pnpn是 模 的 二 次 非 剩 余 的 充 要 条 件 是证明：-1122 12-12.(,),m),)0(od), 0(od),(mod).pp ppEulernnpnp若 则 由 定 理是 素 数 则 或 中 必 有 一 个 成 立是 模 的 二 次 剩 余 的 充 要 条 件 是12. 12,(),yayap设 都 是 模 的 平 方 剩 余() .bb都 是 模 的 平 方 非 剩 余(10 分)1212:od,(od),(m).ypya求 证 都 是 模 的 平 方 剩 余是 模 的 平 方 非 剩 余证明：112212112.,(mod),(mod),()(), ,.pppabap由 定 理 知得 证13. (10 分)22,43,:(od),(mod).pqnxqxqp 设 为 两 个 形 如 的 奇 质 数 求 证 若 无 解 则 有 两 个 解1-2 22213.:, ,(mod),()1,()()1.mod,-(mod),-,(od).pqppxpqcccqpcxqp证 明 均 为 形 如 的 数 均 为 奇 数又 无 解 则 有 解 设 是 其 一 解 则 因 为 且也 是 其 一 解 又 因 为 二 次 同 余 方 程 至 多 有 两 个 解故 恰 有 两 个 解 为14. 1(4),(od).yap设 是 适 合 的 素 数 是 模 的 平 方 剩 余(8 分):m.yap证 明 也 是 模 的 平 方 剩 余 12124.:4,(mod,(-)(od).pkapa证 明 令 由 定 理 知则15. (10 分)2,:141.nn设 是 整 数 证 明 的 任 何 奇 因 数 都 是 的 形 式22215.: ,4.: ,|,1(mod),-1(). mpppnQR证 明 由 于 奇 数 都 可 表 示 成 奇 素 数 之 积而 且 任 意 多 个 形 如 的 整 数 之 积 也 具 有 的 形 式我 们 只 需 证 明 若 素 数 是 的 因 数 则 具 有 的 形 式若 则 即由 以 上 推 论 知16. (8 分)-1,(od)-1.px若 是 素 数 则 同 余 方 程 有 个 解16.:(, ., -23,-1mod).Feratpxp证 明 由 费 马 定 理 定 理 可 知 任 意 与 互 质 的 数 都 是 它 的 解因 此 这 个 同 余 方 程 恰 好 有 个 不 同 的 解即17. (8 分)-1000,:9|.nn iNaaNa设 求 证 2311011017.,(od),(mod9);nnnn 18. (8 分)52:64|.求 证524816323 2