2016年自考高等数学一考试全章节复习试题及答案解析

1第一章 函数1.1 预备知识1.1.1 初等代数的几个问题1.一元二次方程关于 x 的方程 ax2 bx c0（ a0），称为一元二次方程， 称为此方程的判别式.（1）求根公式：当0 时，方程有两个不同的实根：当0 时，方程有一个二重实根：当0 时，方程有一对共轭复根：（2）根与系数的关系（韦达定理）：（3）一元二次函数（抛物线）： y ax2 bx c（ a0），当 a0 时，开口向上，当 a0 时，开口向下.对称轴顶点坐标 例 1.若 x3 x2 ax b 能被 x23 x2 整除，则 a、 b 是多少？结论：多项式 f（ x）， g（ x）.若 f（ x）能被 g（ x）整除，则 g（ x）0 的根均为f（ x）0 的根.解：令 x23 x20，解得 x1 或 2，代入被除式得解得22.二元一次方程组两个未知量 x， y 满足的形如 的方程组称为二元一次方程组.当时 ，方程组有唯一解；更多内容请与 QQ： 67460666 索取当时 ，方程组无解；当时 ，方程组有无穷多解 .例 2.已知方程组（1）若方程组有无穷多解，求 a 的值；（2）当 a6 时，求方程组的解.解：（1）因为方程组有无穷多组解，所以 ,解得 a4.（2）当 a6 是，原方程组变为 ,解得3.不等式（1）一元二次不等式考虑不等式 ax2 bx c0，如果记一元二次方程 ax2 bx c=0 的两个不同实根分别为 x1， x2，且 x1 x2，根据一元二次函数的图形可知：当 a0 时，这个不等式的解集是 x x x1或 x x2；当 a0 时，它的解集是 x x1 x x2.用类似的方法可以求解不等式 ax2 bx c0， ax2 bx c0 和 ax2 bx c0.例 3.解不等式 x25 x60.解：令 x25 x60,（ x2）（ x3）0,得 x2 或 x=3, 解集为（，23，）.例 4.解不等式 x2（1 a） x a0.3解：令 x2（1 a） x a0,（ x a）（ x1）0,得 x a 或 x1,若 a1，解集为（ a，1）,如 a1，解集为 ,若 a1，解集为（1， a）.（2）绝对值不等式 更多内容请与 QQ：67460666 索取不等式 f（ x） a0 等价于 f（ x） a 或 f（ x） a；不等式 f（ x） a 等价于 af（ x） a.例 5.解下列含有绝对值符号的不等式：（1）2 x35 （2）3 x17解：（1）原不等式等价于52 x35解得：1 x4.所以解集为1，4.（2）原不等式等价于 3x17 或 3x17，3x17 的解集为 x2，3x17 的解集为 x ,所以解集为（，2 ，）.例 6.解不等式 x22 x53.解：原不等式等价于x22 x53 的解集为（， ，），x22 x53 的解集为（2，4），所以原不等式的解集为（2， ， 4）.4.数列（1）等差数列：相邻两项的差为定值，即 an1 an d， d 称为公差.通项公式： an a1（ n1） d 更多内容请与 QQ：67460666 索取前 n 项和公式：4当 m n k l 时， am an ak al特别地有例 7.设 an是一个等差数列，且 a2 a3 a10 a1164，求 a6 a7和 S12.解：因为 21131013所以 a2 a11 a3 a1032,又因为 6713，所以 a6 a732,S12（ a1 a12）1226（ a1 a12）632192.（2）等比数列：相邻两项的商为定值，即 ， q 称为公比.通项公式： an a1qn-1前 n 项和公式：当 m n k l 时， aman akal特别地有例 8.设 an是一个等比数列，且 a312， a548，求 a1， a10和 a2a6的值.解：所以 q2a10 a5q548（2） 51536因为 26358所以 a2a6 a3a51248576.1.1.2 集合与逻辑符号1.集合的概念集合是指由一些特定的对象汇集的全体，其中每个对象叫做集合的元素.数集分类：N自然数集 Z整数集Q有理数集 R实数集C复数集合52.元素与集合的关系元素 a 在集合 A 中，就说 a 属于 A，记为 a A；否则就说 a 不属于 A，记为 a A.3.集合与集合的关系集合 A 中的任何一个元素都是集合 B 中的元素，称为 A 包含于 B，或 B 包含 A，也说A 是 B 的子集，记为 A?B 或者 B?A. 更多内容请与 QQ：67460666 索取若 A?B，且 B?A，就称集合 A 与 B 相等，记作 A B.例 9.A1，2， C x x23 x20，则 A 和 C 是什么关系？解：解方程 x23 x20，得 x1 或 x2.所以 C1，2，从而 A C.4.空集不含任何元素的集合称为空集（记作 ）.规定空集为任何集合的子集.例 10.x x R， x210 5.集合的表示方法：列举法，描述法一般的，有限集用列举法，无限集用描述法闭区间： a， b x a x b， xR；开区间：（ a， b） x a x b， xR；半开半闭区间：左开右闭区间：（ a， b x a x b， xR，左闭右开区间： a， b） x a x b， xR；（， b x x b， xR， a， x x a， xR；点 a 的邻域： U（ a， ）（ a ， a ）， 0，即 U（ a， ）是一个以 a 为中心的开区间.在不强调邻域的大小时，点 a 的邻域也用 Ua表示；点 a 的去心邻域： N（ a， ）（ a ， a）（ a， a ）， 0.点 a 的去心邻域也可以表示为 Na.6.集合之间的运算（1）并：由 A、 B 中所有元素组成的集合称为 A 和 B 的并集，记为 A B.A B x x A 或 x B， A B B A.例 11.已知： A1，2，3，4， B2，4，6，8，10，12，求： A B.解： A B1，2，3，4，6，8，10，12.例 12.已知： A x1 x5， B x3 x2，求： A B.6解： A B x3 x5.（2）交：由既属于 A 又属于 B 的元素组成的集合称为 A 和 B 的交集，记为 A B.A B x x A 且 x B， A B B A 更多内容请与 QQ：67460666 索取例 13.已知： A1，2，3，4， B2、4、6、8、10、12，求： A B.解： A B2，4.例 14.已知： A x1 x4， B x3 x3，求： A B.解： A B x1 x3.（3）余集（差集）：由 A 中不属于 B 的元素组成的集合称为 A 与 B 的差集，记为A B.A B x x A 但 x B.例 15.已知： A1，2，3，4， B2，4，6，8，10，12，求： A B.解： A B1，3.7.一些逻辑符号p 能推出 q，记为 p q，此时称 p 是 q 的充分条件， q 是 p 的必要条件.如果 p q， q p 同时成立，就成 p 与 q 等价，或者说 p 与 q 互为充分必要条件（充要条件），记作 p q.1.2 函数的概念与图形1.2.1 函数的概念1.定义设 D 是一个非空数集， f 是定义在 D 上的一个对应关系，如果对于任意的实数 x D，都有唯一的实数 y 通过 f 与之对应，则称 f 是定义在 D 上的一个函数，记作y f（ x）， x D.也称 y 是 x 的函数，其中 x 称为自变量， y 称为因变量.当 x0 D 时，称 f（ x0）为函数在点 x0处的函数值.数集 D 叫做这个函数的定义域，函数值全体组成的数 W yy f（ x）， x D称为函数的值域. 更多内容请与 QQ：67460666 索取例 1.已知： ，求： y 的定义域、值域.解：令 1 x20，解得：1 x1,7所以定义域为1，1.因为 01 x21，所以 0 1，所以值域为0，1.例 2.已知： ，求： y 的定义域、值域.解：根据题意，得 ，解得1 x1，所以定义域为（1，1），因为 0 1，从而 ，所以值域为1，）.2.函数的三要素：定义域、对应法则、值域.约定：定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.在具体问题中定义域会根据实际需要而有所变化.例 3.判断下列两个函数是否相等，（1） y x3； （2） .例 4.求函数 的定义域.解：根据题意，得解得:2 x3 或 3 x5，所以定义域为2，3）（3，5）.3.函数的表示法：表达式法（解析法）、图形法、数表法.1.2.2 函数的图形1.函数图形的概念函数 y f（ x）， x D 的图形是指在 xOy 平面上的点集（ x,y） y f（ x）， x D.常见的几个幂函数的图形：更多内容请与 QQ：67460666 索取82.函数的性质（1）有界性函数 f（ x）， x D，存在两个实数 m、 M，满足条件：对于 D 中所有的 x 都有不等式m f（ x） M，则称函数 f（ x）在 D 上有界，否则称无界.例 5.判断下面函数在其定义域是否有界，（1） y=sinx， （2） .（2）单调性设函数 f（ x）在区间 D 上有定义，如果对于区间 D 上任意两点 x1及 x2，当 x1 x2时，恒有 f（ x1） f（ x2），则称函数 f（ x）在区间 D 上是单调增加，称 f（ x）是 D 上的单调增加函数，称 D 是函数 f（ x）的单调增加区间.设函数 f（ x）在区间 D 上有定义，如果对于区间 D 上任意两点 x1及 x2，当 x1 x2时，恒有 f（ x1） f（ x2），则称函数 f（ x）在区间 D 上是单调减少，称 f（ x）是 D 上的单调减少函数，称 D 是函数 f（ x）的单调减少区间. 更多内容请与 QQ：67460666索取例 6.求 y x2的单调性.解：任取 x1 x20，x12 x22（ x1 x2）（ x1 x2）0,9所以 y x2在（，0）上单调减少.同理可得： y x2在（0，）上单调增加.例 7.求 y sin x 的单调性.解： ysin x 的图像如图，y=sinx 在（2 k ，2 k ）上单调增加，在（2 k ，2 k ）上单调减少.（3）奇偶性设 D 关于原点对称，对于任意的 x D，有 f（ x） f（ x）， 称 f（ x） 为偶函数；设 D 关于原点对称，对于任意的 x D，有 f（ x） f（ x）， 称 f（ x） 为奇函数. 更多内容请与 QQ：67460666 索取例 8.判断下面函数的奇偶性（1）（2）10解：（1）因为 ，所以定义域为 R.所以 f（ x）为奇函数.（2）因为 ax a-x0，故