2018年最新高中数学圆锥曲线压轴题大全

- 1 -数学压轴题圆锥曲线类一1如图，已知双曲线 C： 的右准线 与一条渐近线 交于点xaybab210()， l1l2M，F 是双曲线 C 的右焦点，O 为坐标原点.（I）求证： ；F（II）若 且双曲线 C 的离心率 ，求双曲线 C 的方程；|1e62（III）在（II）的条件下，直线 过点 A（0，1）与双曲线 C 右支交于不同的两点 P、Ql3且 P 在 A、Q 之间，满足 ，试判断 的范围，并用代数方法给出证明.PQ2已知函数 ，fxxnfnnxnN()()(*)011，数列 满足anN*（I）求数列 的通项公式；（II）设 x 轴、直线 与函数 的图象所围成的封闭图形的面积为 ，求ayfx() Sa()0；S()(1（III）在集合 ，且 中，是否存在正整数 N，使得不等式MkZ|2， 1050k对一切 恒成立？若存在，则这样的正整数 N 共有多少个？并求出满足条件的最小的正整anSn05)n数 N；若不存在，请说明理由.（IV）请构造一个与 有关的数列 ，使得 存在，并求出这个极限值.anblim()nnb1219. 设双曲线 的两个焦点分别为 ，离心率为 2.yx231F12、（I）求此双曲线的渐近线 的方程；l2、（II）若 A、B 分别为 上的点，且 ，求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；1、 512|AB（III）过点 能否作出直线 ，使 与双曲线交于 P、Q 两点，且 .若存在，求出直线 的方程；若不N()0， l OQ0l存在，说明理由.3. 已知数列 的前 n 项和为 ，且 对任意自然数都成立，其中 m 为常数，且 .aSNn()*Smann() 1（I）求证数列 是等比数列；（II）设数列 的公比 ，数列 满足：nqf()bnbfn113， ()，试问当 m 为何值时， 成立？()*nN2， li(lg)li(a1234bn1)4设椭圆 的左焦点为 ，上顶点为 ，过点 与 垂直的直线分别交椭圆和 轴正半轴于 ，)0(12bayxFAFxP两点，且 分向量 所成的比为 85QPAQ（1）求椭圆的离心率；（2）若过 三点的圆恰好与直线 ： 相切，求椭圆方程F,l03yx5 （理）给定正整数 和正数 ，对于满足条件 的所有无穷等差数列 ，试求nbban21na的最大值，并求出 取最大值时 的首项和公差1221naay n（文）给定正整数 和正数 ，对于满足条件 的所有无穷等差数列 ，试求n21 n的最大值，并求出 取最大值时 的首项和公差1221nn yn6垂直于 x 轴的直线交双曲线 于 M、N 不同两点，A 1、A 2分别为双曲线的左顶点和右顶点，设直线 A1M 与 A2N 交于2x点 P（x 0，y 0）（）证明： ;20为 定 值- 2 -（）过 P 作斜率为 的直线 l，原点到直线 l 的距离为 d，求 d 的最小值.02yx7已知函数 fsin)(（）若 ;)(,的 值 域试 求 函 数 fx（）若 );32(3)2:, xfxf求 证（）若 的大小关系（不必写出过程）.)32(,1()1(, xfZkkk 与猜 想数学压轴题圆锥曲线类二1如图，设抛物线 的焦点为 F，动点 P 在直线 上运动，过 P 作抛物线 C 的两条切线 PA、PB，且与2:xyC02:yxl抛物线 C 分别相切于 A、B 两点.（1）求APB 的重心 G 的轨迹方程.（2）证明PFA=PFB.2设 A、B 是椭圆 上的两点，点 N（1，3）是线段 AB 的中点，线段 AB 的垂直平分线与椭圆相交于 C、D 两点.23（）确定 的取值范围，并求直线 AB 的方程；（）试判断是否存在这样的 ，使得 A、B、C、D 四点在同一个圆上？并说明理由.（此题不要求在答题卡上画图）3 已知不等式 为大于 2 的整数， 表示不超过 的最大整数. 设数列nn其 中,log21321 log2nn2log的各项为正，且满足na ,43)0(11 abann（）证明 ,543,log2n（）猜测数列 是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明） ；（）试确定一个正整数 N，使得当 时，对任意 b0，都有n.51na4如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点 F1，F 2在 x 轴上，长轴 A1A2的长为 4，左准线 l 与 x 轴的交点为M，|MA 1|A 1F1|21()求椭圆的方程；()若点 P 为 l 上的动点，求F 1PF2最大值5已知函数 和 的图象关于原点对称，且 fxg2fx()求函数 的解析式；()解不等式 ；1fx()若 在 上是增函数，求实数 的取值范围hx, 数学压轴题圆锥曲线类三1已知椭圆 的左、右焦点分别是 F1（c，0） 、F 2（c，0） ，Q 是椭圆外的动点，满足)0(2bay点 P 是线段 F1Q 与该椭圆的交点，点 T 在线段 F2Q 上，并且满足.|aQF .0|,2TFP（）设 为点 P 的横坐标，证明 ；xxaP|1（）求点 T 的轨迹 C 的方程；（）试问：在点 T 的轨迹 C 上，是否存在点 M，使F 1MF2的面积 S= 若存在，求F 1MF2的正切值；若不存在，请说明理由.2b2函数 在区间（0，+）内可导，导函数 是减函数，且 设)(fy)(f .0)(xf是曲线 在点（ ）得的切线方程，并设函数mkxx,0 )(xfy,0x .)(mkxg（）用 、 、 表示 m；（）证明：当 ；0(0f ,f时（）若关于 的不等式 上恒成立，其中 a、b 为实数，求 b 的取值范围及 a 与 b 所满足的),2312在ba关系.- 3 -3已知数列 的首项 前 项和为 ，且na15,nnS*15()nN（I）证明数列 是等比数列；（II）令 ，求函数 在点 处的导数 并比较21()nfxxa ()fx1f与 的大小.2234已知动圆过定点 ，且与直线 相切，其中 .,0p2p0（I）求动圆圆心 的轨迹的方程；C（II）设 A、B 是轨迹 上异于原点 的两个不同点，直线 和 的倾斜角分别为 和OOAB，当 变化且 为定值 时，证明直线 恒过定点，并求出该定点的坐标.,()5椭圆 C1的方程为 ，双曲线 C2的左、右焦点分别为 C1的左、右顶点，而 C2的左、右顶点分别是 C1的左、右焦点.142yx（）求双曲线 C2的方程；（）若直线 与椭圆 C1及双曲线 C2都恒有两个不同的交点，且 l 与 C2的两个交点 A 和 B 满足:kl（其中 O 为原点） ，求 k 的取值范围.6BA6.数列a n满足 .)1()(12nanan且（）用数学归纳法证明： ；（）已知不等式 ，其中无理数 e=2.71828.)(:,0)l( 2exn证 明成 立对7已知数列 ,且 满 足的 各 项 都 是 正 数na .,4,10 Nnaan（1）证明 ;,21N（2）求数列 的通项公式 an.n1.解：（I） 右准线 ，渐近线l12： xcl2： ybax，MacbF()()2 20， ， ， ， OMacb()2，Facbc)2， ，3 分OF 220（II） ebaeab6122， ，|()MFcbcba1 142222， ，双曲线 C 的方程为： 7 分xy21（III）由题意可得 8 分0证明：设 ，点l3： kPQxy()()12， ， ，由 得xy21(240xk与双曲线 C 右支交于不同的两点 P、Ql3yAxoB,02pFMNx- 4 -1206120412210212kkxkk()11 分，得APQxyxy， ， ，()()121x12()(k，042k， ， ()()1402的取值范围是（0，1） 13 分2.解：（I） nN*ffnfn()()()()111 分f()23fnn()1将这 n 个式子相加，得n()02312fn()13 分aN(*2（II） 为一直角梯形（ 时为直角三角形）的面积，该梯形的两底边的长分别为 ，S)n1 fnf()(1，高为 1nffan()1226 分n（III）设满足条件的正整数 N 存在，则nn()12052105210又 M 8298， ， ， ， ， ， ， 均满足条件N9， ， ，它们构成首项为 2010，公差为 2 的等差数列.设共有 m 个满足条件的正整数 N，则 ，解得01()m45中满足条件的正整数 N 存在，共有 495 个， 9 分in01- 5 -（IV）设 ，即ban1nn211()()则 nn12 34121 ()()显然，其极限存在，并且 10 分lim()limnnb122注： （c 为非零常数） ， 等都能使 存在.banbqnaan(|)0111， lim()nnb1219.解：（I） e242，c231， ，渐近线方程为 4 分双 曲 线 方 程 为 yx2 yx3（II）设 ，AB 的中点AxB()()12， ， ， M，25013322331021211 1221122|()()()()()FBcxyyxxyyyx又 ， ， ，0753222()()y， 即则 M 的轨迹是中心在原点，焦点在 x 轴上，长轴长为 ，短轴长为 的椭圆.（9 分）10103（III）假设存在满足条件的直线 l设 lykxlPyQxy： ， 与 双 曲 线 交 于 ， 、 ，()()()112OPQxkxi001121212()()由 得则 ，yxkxkxi ( ()3630611221222由（i） （ii）得 0k 不存在，即不存在满足条件的直线 . 14 分l3.解：（I）由已知 Smann11()()（2）an()由 得： ，即 对任意 都成立2amnn1N*- 6 -man为 常 数 ， 且即 为 等 比 数 列 分151（II）当 时， ama11()abIqfbfbnNn11132， 从 而由 （ ） 知 ，()*1321911bnbnNnnnn， 即为 等 差 数 列 ， 分()()*am1 li(lg)lilgl)linbnmbnn2131452231由题意知 ， 13 分gmm10109，4.解：（1）设点 其中 ),(),0cFxQ),(2bAa由 分 所成的比为 85，得 ， 2 分PA)3580bxP ， 4 分a1)35()18(220而 ，AQFbxbcF),0 ， 5 分AQc202由知 3,2aca 6 分1.03ee（2）满足条件的圆心为 ，)0,2(cbO， 8 分,(,2acb圆半径 10 分acr2- 7 -由圆与直线 ： 相切得， ，l03yxac2|3|又 椭圆方程为 12 分,21,2baca 142yx5.（理）解：设 公差为 ，则 3 分nd1,ndnayn)21()()114 分d)2)(2)( 111 ann 7 分)3a又 21121,nnaba ，当且仅当 时，等号成立 49)3(322 bn 231na11 分 13 分849)()(1ayn当数列 首项 ，公差 时， ，bnbd38)9(1by 的最大值为 14 分y)(（文）解：设 公差为 ，则 3 分na 11,aann)2)(12)()1( )(1122 ndadnann ， 6 分311n又 2121,nb 49)(3 221 baannn 当且仅当 时，等号成立 11 分1n 13 分8)49()(21by当数列 首项 ，公差 时， nabnd38)49(1by 的最大值为 14 分y)(6.解（）证明： )0,2(),(),(,111 AyxNyxM则设21 A的 方 程 为直 线- 8 -直线 A2N 的方程为 4 分)2(1xy，得 2xy分为 定 值 的 交 点与是 直 线 即82),( 2),(,0221221yxNAMPyx（） 022),( 00200 yxyxxyl 整 理 得结 合的 方 程 为10 分20202014xd于 是 12020 ydyyy当 12 分,1,取 最 小 值时 d7.解：（） 为 增 函 数时当 )(,0cos1)( xfxfx分的 值 域 为即 求 得所 以 上 连 续在 区 间又 4,0)( )(), f ffff （）设 ，)32(3(2xfxxg 32sin3)(2)( xxfg即6 分)cos(31)xg得由 ,0)()2,.)(,0(为 减 函 数时当 xg 分为 增 函 数时当 8)(,0)(,( xgx分因 而 有对 的 最 小 值为则 上 连 续在 区 间 10)32(3)(2,0),xfxfx（）在题设条件下，当 k 为偶数时 )32()(xfxf当 k 为奇数时 14 分)(fxf数学压轴题圆锥曲线类二1.解：（1）设切点 A、B 坐标分别为 ，)(,),(012120xx和切线 AP 的方程为： ;20yx切线 BP 的方程为： 211解得 P 点的坐标为： 10,xPP- 9 -所以APB 的重心 G 的坐标为 ，PGxx310 ,34)(3 21021021010 pPPG yxyy 所以 ，由点 P 在直线 l 上运动，从而得到重心 G 的轨迹方程为：24Gpx).24(3,)( xyx即（2）方法 1：因为 ).41,(),41,(,1, 201020 xFBxFxFA由于 P 点在抛物线外，则 .|P ,|)41(|2|cos10202010 PxF同理有 ,|4)41(|cos1022110 FxxPxBPF AFP=PFB.方法 2：当 所以 P 点坐标为 ，则 P 点到直线 AF 的距离为：,0,00011 yxx 则不 妨 设由 于时 )0,2(1x,41:;| 21 xyBFd 的 方 程而 直 线即 .041)(2xyx所以 P 点到直线 BF 的距离为： 2|41|)()41(|2| 12112 xxxd 所以 d1=d2，即得AFP=PFB.当 时，直线 AF 的方程：0x ,0)(),00202 xyxxy即直线 BF 的方程： ,41)(),(41212 yxy即所以 P 点到直线 AF 的距离为：，同理可得到 P 点到直线 BF 的距离2|41)(|)41(2)(| 1020020010201 xxxxd ，因此由 d1=d2，可得到AFP=PFB.2|1x（）解法 1：依题意，可设直线 AB 的方程为 ，整理得 23,)1(yxxky代 入.0)3()()3( kkk设 是方程的两个不同的根，2121, xyxBA则- 10 - ,0)3()(422k且 由 N（1，3）是线段 AB 的中点，得,1x.)(,22解得 k=1，代入得， 的取值范围是（12，+）.即,于是，直线 AB 的方程为 .04,13yxy即解法 2：设 则有),(),(21xBA.)(