有理数综合教学大纲

知识要点数轴: 1、数轴三要素：原点、正方向和单位长度2、实数与数轴上的点是一一对应的相反数：1、实数a的相反数是a，零的相反数是零2、数轴上表示相反数的两个点关于原点对称3、如果a与b互为相反数，那么a+b=0，a = b， b=a4、如果a与b互为相反数，且都不为零，那么 1倒数： 1、如果两个数的积等于1，那么这两个数互为倒数；零没有倒数2、如果a与b互为倒数，那么 , ，1abba绝对值： 1、 ，概括为 ，或0a00a 2、 的几何意义： a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点到原点的距离a3、 的几何意义：数轴上表示数a和数b的两点之间的距离4、 的非负性： 05、 ； ，aa6、若 ，则 ，若 ，则0a0科学计数法：1、把一个数N 写成 的形式，其中 ，n为整数，这种记数法叫做科1n1a学记数法2、当 时，n等于原数整数位减1；当 时， 等于原数中左起第一个非NN第一讲 有理数综合零数字前零的个数（含小数点前的一个零）近似数与有效数字：1、一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个数近似精确到哪一位2、一个近似数，从左边第一个不为零的数字起到精确数位上，所有的数字都叫做这个数的有效数字有理数是中学代数的重要基础。学好开端这一章，将为后续学习打下坚实基础，增强学习自信心。本章的难点是对有理数的运算法则的理解和应用，尤其是对用字母表示运算律的理解和应用。例题精讲1、 计算： 32540.548解析： 702、 计算：（1） 2420311.54353(2) 77776 10.23解析：（1）原式 202531.54= 01=(2)原式7624110387683、 若 时，代数式 的值为 17，则 时，代数式的值是多少？2x31axb2x解析：1）当 时， =8217ab81ab2） 当 时，3 94、（第十四届“希望杯”）已知a、b、c、d 是有理数， ， ，且ab16cd，则 _。25abcdbadc解析： 25,9,16, 7abcdbadc5、（第十四届“希望杯”） a 与b 互为相反数，且 那么4,5_。21b解析：因为 与 互为相反数，即 ，a又 24,554abb所以原式 0512aba6、化简：（1） （2）3x 523x解析：（1）先找零点，令 ，则 ，零点分段讨论：0x1）当 时，2x,32362）当 时，, 2xxx（2）先找零点，令 所以将数轴分成3段讨论：50,23,5,1）若 3,50,23, 2;xxx2）若 ,0,538x3）若 5,0,23,22xxx7、求 的值1m解析：先找零点，令 0,1,20,12.mm依这三个零点将数轴分成4段， ,1) 当 时，原式=0m(1)232) 当 时，原式=1mm3) 当 时，原式=21214) 当 时，原式=2m123mm8、若 的值是一个定值，求 的取值范围。4513aaa解析：要想使 的值是一个定值，那么必须使 ，2450,13a原式= 原式的恒值为 。44513,5aa39、设 则 的最大值和最小值之差为多少？2,x2x解析：若 原式= ，此时最小值为 ，最大值为 。10,124xx3.54若 原式= ，此时最小值为 ，最大值为 。02,x224x4综上所述最大值与最小值的差为 。110、若 则 中有几个负数？0,xyzxabcab解析：由 可知，0,c,0yzc1）三个数均为负数，观察等式中三个分数的符号，其分母都是负数，而三个分子 ，所以这三个分子中一定有正有负；既三个分数有正有0xyzx负，不肯均相等，矛盾。2）三个数中有一个是负数，依然观察三个分子的符号，可以找到合适的 使得等式成立,xyz综上所述， 中有1个负数,abc（选讲）1、三个有理数 的积为负数，和为正数，且 ，求代abc abcacbx数式 的值。321axbc解析：由题意可知a、b、c 中两正一负，所以 ，所以代数式为1。0x2、已知在 四个数中的三个有相同的数值，求出所有具有这样性质的数对,xxy ,xy解析：因为 是分母，所以 又因为 四个数中的三个有相0,yxy,xxy同的数值，所以必然有 。xy1) 如果 时，那么四个数变为 y、 、0、0，可是 ，不可能满足题目条件0xy0y2) 如果 那么 或 。若 则四个数变为 不可能有三个,1,y1,1,xx数相同。若 则四个数变为 由于三个数相同，因此 或 解得1,y,xx ,或 。2x综上所述，满足条件的有2组 或12xy3、 如果 是非零有理数，且 那么 的所有可能值是多少？,abc0,abcabca解析：因为 所以 里面存在一正两负或者两负一正。0,若一负两正，那么 ， ，那么1abcababca0若一正两负，那么 ， ，那么c1cc4、 如果 ，代数式 的最小值为 ，则 是多少？0abcabacbxcacn1解析：考虑a 、 b 、 c 正负的个数1) 若a ， b， c 均为正数，则原式 1172) 若a ， b， c 为两正一负，则原式 3) 若a ， b， c 为两负一正，则原式 4) 若a ， b， c 均为负数，则原式 11由题意知 ，因此1n1n课后练习1、 填空题：（1） 已知： 比较 的大小，得到_ _0,ab,ab（2） 一个正数的绝对值是_，一个负数的绝对值是_，零的绝对值是_ 。（3） 如果 是一个常数，那么 应该是_，这个常数应该是_ 。51xx（4） 若 n 是正整数，则 =_， =_， =_。n1n21n解析： 他本身，他的相反数，零 小于等于5,6 为奇数为-1;aba2341,n1，n 为偶数是为1,1。2、 选择题（1）两个数互为相反数，则（ ）（A）它们的和一定为零 （B）它们的差一定是正数（C）它们的积一定是负数 （D）它们的商一定是1（2）在有理数中，绝对值大于它本身的数有( )（A） 1个 （B）2 个 （C） 3个 （D）无数个（3）两个有理数的和比其中任意一个加数都小，则这两个数( )（A）一正一负 （B）至少一个是零（C）都是正数 （D）都是负数（4）一个有理数与它的相反数之和( )（A）一定是正数 （B）一定是负数（C）一定不小于零 （D）一定不大于零（5）一个数的倒数与它本身相等的有理数有( )（A）一个 （B）两个（C）三个 （D）无数多个解析：（1）A；（2）D；（3）D；（4）D；（5）B3、计算：（1） （2）125429 4110.5234解析：（1）6 （2） 3184、某粮店出售的三种品牌的面粉袋上，分别标有质量为（25 0.1）kg、（25 0.2）kg、（250.3）kg的字样，从中任意拿出不同的品牌各一袋，它们的质量最多相差多少？如果不论品牌任意拿出两袋，它们的质量最多相差多少？解析： 0.5kg；0.6kg。5、 求 的最小值。123xx解析：这道题利用数形结合求法，根据其几何意义求解是最直观也最便捷的方法其几何意义就是求数轴上一点到点1 、2、3的距离和的最小值易知点2到这三个点的距离和最小，最小值为 102346、探究数字黑洞：“黑洞”原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大，吸引力强，任何物体到了它那里都别想再“爬”出来。无独有偶，数字中也有类似的“黑洞”，满足某种条件的所有数通过一种运算，都能被它“吸”进去，无一能逃脱它的魔掌。譬如：任意找一个3的倍数的数，先把这个数的每个数位上的数字都立方，再相加得到一个新数，然后把这个新数的每个数位上的数字再立方，再相加得到一个新数，求和，重复运算下去，就能得到一个固定的数T =_, 我们称它为数字“ 黑洞”，T 为何具有如此魔力？通过认真观察、分析，你一定能发现它的奥秘。解析： 因为数字有上述的“黑洞”特点，找一个符合要求的数进行运算一定能找到数T,33156、 三个有理数 的积为负数，它们的和为正数，当 时，求代数式bca、 、 abcx的值。392x解析：由题意可知三个数中二正一负，则 ， =1x39287、 计算： 1235446解析： 5选做 1、在数 中任取若干个不同的数相乘。7,64,32（1）取出四个数相乘的乘积最大、最小分别是多少？（2）取出五个数相乘的乘积最大、最小分别是多少？解析：（1） （2）840,631680,252、将 99 进行如下操作：第一次减去它的 ；第二