2018年电大高等数学基础归类复习题附答案

12018 年电大高等数学基础归类复习题附答案一、单项选择题1-1 下列各函数对中，（ C ）中的两个函数相等A. 2)(xf， xg( B. 2)(xf， xg)(C.3ln)(f， ln)( D. 1)(f， 121-设函数 xf的定义域为 ,，则函数 )(xf的图形关于（C ）对称A. 坐标原点 B. 轴 C. y轴 D. 设函数 )(f的定义域为 ),(，则函数 )(fx的图形关于（D ）对称A. xy B. 轴 C. 轴 D. 坐标原点.函数 2ex的图形关于（ A ）对称(A) 坐标原点 (B) 轴 (C) y轴 (D) xy1-下列函数中为奇函数是（ B ）A. )1ln(2xyB. xycos C. 2xaD. )1ln(xy下列函数中为奇函数是（A ）A. 3B. xeC. )1ln(xy D. si下列函数中为偶函数的是（ D ）A xysin)1( B xy2C cos D )ln(2xy2-1 下列极限存计算不正确的是（ D ）A. 12limxB. 0)1ln(i0xxC. 0silmxD. 01sinlmxx2-2 当 0时，变量（ C ）是无穷小量A. xsinB. x1C. x1sinD. 2)l(x当 0时，变量（ C ）是无穷小量A B sinC 1ex D 2x.当 x时，变量（D ）是无穷小量A x1B iC x D )1ln(下列变量中，是无穷小量的为（ B ）A1sin0xB ln10x C 1xeD.24x3-1 设 )(f在点 x=1 处可导，则hffh)(2(lim0（ D ）A. )1(f B. )(f C. )1(2f D. )1(2f设 )(xf在 0可导，则 xfxfh)(li00（ D ）A )(0xf B )(20xf C )(0xf D )(0xf 设 )(f在 0可导，则ffh2)(li00（ D ）A. )(0fB. )(0f C. )(0f D. )(0f设xfe)(，则 xff)1(lim0（ A ） A e B. 2 C. e1D. 43-2. 下列等式不成立的是（D ）A. xxde B )(cossinxd C.xd2D.)(lnxd下列等式中正确的是（B ）A.arctn12B. 2)1(xC.xx2)l(D. xddcot)(tan24-1 函数 14)(2xf的单调增加区间是（ D ）A. , B. ),( C. ),2( D. ),2(函数 52xy在区间 6,内满足（A ）A. 先单调下降再单调上升 B. 单调下降 C. 先单调上升再单调下降 D. 单调上升.函数 62在区间（5，5）内满足（ A ）A 先单调下降再单调上升 B 单调下降 C 先单调上升再单调下降 D 单调上升. 函数2xy在区间 ),2(内满足（D ）A. 先单调下降再单调上升 B. 单调下降 C. 先单调上升再单调下降 D. 单调上升5-1 若 )(xf的一个原函数是 x1，则 )(f（D ） A. xln B. 21C. x D. 32.若 F是 的一个原函数，则下列等式成立的是（ A ）。 A )()(aFxdfxaB )()(afbfdxbaC D Ff5-2 若 xfcos)(，则 xf)(（ B ）A. sin B. cs C. cxsin D. cxos下列等式成立的是（D ）A. )(d)(xff B. )(dxff C. )(d)(xff D. )(d)(xfffx)(32（ B ） A. )(3fB. )(32fC. )(1fD. )(31ffd)(2（ D ） A )(2xfB xfd1C fD xfd)(2-3 若 cxFf)()(，则f（ B ）A. )( B. cx)(2 C. cxF)2( D. cxF)(1补充： xefxd)(eFx)(, 无穷积分收敛的是 dx12函数 f10的图形关于 y 轴 对称。二、填空题函数)ln(39)(2xxf的定义域是 （3，+） 函数y4)2ln(的定义域是 （2，3） （3，4 函数 xxf15l的定义域是 （5，2）若函数 0,2)(fx，则 )(f 1 2 若函数 ,)1()xkf，在 0处连续，则 k e .函数 02sin)(xkxf在 处连续，则 k 2 3函数 0,sin1xy的间断点是 x=0 函数 32的间断点是 x=3 。函数 xey1的间断点是 x=0 3-曲线 )(f在 )2,1(处的切线斜率是 1/2 曲线 x在 处的切线斜率是 1/4 曲线 )(ef在（0，2）处的切线斜率是 1 .曲线 13x在 ),(处的切线斜率是 3 3-2 曲线 fsin)(在,2处的切线方程是 y = 1 切线斜率是 0 曲线 y = sinx 在点 (0,0)处的切线方程为 y = x 切线斜率是 1 4.函数 )1l(2x的单调减少区间是 （，0 ） 函数2e)f的单调增加区间是 （0，+） .函数 (xy的单调减少区间是 （，1 ） .函数 1)2f的单调增加区间是 （0，+） 函数2xey的单调减少区间是 （0，+ ） 5-1 xd2dx2 .xdsin22si)(tantan x +C 若 cf3sid，则 )(xf 9 sin 3x 5-2 35)21(inx3 123dx0 edxx1)ln(0 下列积分计算正确的是（ B ）A 0d)(1exB0)(1exC12D |1三、计算题（一）、计算极限（1 小题，11 分）（1）利用极限的四则运算法则，主要是因式分解，消去零因子。（2）利用连续函数性质： )(0xf有定义，则极限)(lim00xffx类型 1： 利用重要极限 1sinlm0x， kxsnli0， kxtanli0计算1-1 求 xx5sin6l0 解： 56sinl5sin6l00xx1-2 求 0talm3x解： x3talim0 31tali10x1-3 求 xtnli0解： xtnli0=.tli0x类型 2： 因式分解并利用重要极限 1)(silax， 1)sin(lmaxax化简计算。2-1 求 )1sin(lm21xx 解： )sin(lm21x=2)(.)i(l1 x42-221sinlmx解： 21)1(.)(sinlm1)sin(l12 xxx2-3 )3si(4lx解： li)3sin(l)3sin(4lm333 xxx类型 3：因式分解并消去零因子，再计算极限3-1 4586li24xx解： 4586li24xx= )1(2limxx 32li4x3-2 23lim1x23335lilili17xxx3-3 4li2x解 412lim)(21li4li2 xxx其他： 0sin1lmsin1l 2020 xxxx， sinl1sinl00xx546lim2xli2x， 5436li2x 32limx（0807 考题）计算 xx4sin8tal0 解： xxsin8tal0=48.sital0（0801 考题. ）计算 x2lm0 解 x2lm021il0x（0707 考题.） )1sin(3l1x=4)3(1)sin(.l1 x（二） 求函数的导数和微分（1 小题，11 分）（1）利用导数的四则运算法则 vu)( vu)(（2）利用导数基本公式和复合函数求导公式 x)(ln1)(aaxe ueu.)(xx2cs)(oteanics)(sixexex xxx sin).(cos)( cin2.ocos isiin22 xxx eeeucos).(cs)(sin.i 222xxeeeusi).(sin)(c2.i22类型 1：加减法与乘法混合运算的求导，先加减求导，后乘法求导；括号求导最后计算。1-1 xye)3(解： 22xx1322xxee132xe1-2 ylncot解： xxxxx ln2cs)(lnl)(cs)()(2221-3 设 eyxlta，求 y解： xexxexxx 1sctan1)(tant)(ln)t( 2类型 2：加减法与复合函数混合运算的求导，先加减求导，后复合求导52-1 xylnsi2，求 y 解： xxy1cos2)(ln(si 222-2 eco，求 解：222 cosesin).(cos).(sin)(si)( xxexy xxx 2-3 xe5ln，求， y 解：e5455l.l类型 3： 乘积与复合函数混合运算的求导，先乘积求导，后复合求导eyxcos2，求 。 解： xexexex sinco2)(coss)( 222 其他： x，求 y。解： 2).(cos.)(s2ln)cos()2xyx 2cosinlxx0807.设2sinex，求 y 解：2sin2sin)(i)(eey0801.设2y，求 解：2222 xxxx0707.设sinxe，求 y 解： eeycos)(.(sinini 0701.设xycosl，求 解：xxexi1.i)l（三）积分计算：（2 小题，共 22 分）凑微分类型 1： )1(d2xx计算 xcos2解：cxdxx 1sin)(coscos20707.计算 xd1sin2 解： cxxos)(si1sin20701 计算 xe21 解： )1(de21xcx1e凑微分类型 2：xdx.计算 xdcos 解： cxdxxsin2cos2cos0807.计算in 解： oindin0801.计算xed解：cexexex22凑微分类型 3： dln1， )ln(d1a计算xdln解：cxux|llxl.计算 e12x解： e1e1 )ln2()dl(dn2 25)ln2(11ex定积分计算题，分部积分法6类型 1：cxaxdaxaxdaxd aaa 12111 )(lnlnlnln计算e1l解： ， 24ll2l41)ln2(ln2lxd21e1 exxe )0()l(lne1e计算 e12dlx解： 2a ， cxxdx 1ln)1(lnl2e2)l()lle1e12 计算dxe1ln解：a，cxxdx 4ln2lnlxe1l=41)4ln2(l21 ee0807 e1lndx 92)9l3( xl3332e12x0707 e1e12ndll 1)1ln(33e类型 2 caxexax xa 2)(xxdee21010410)41(22xxxx1010 )(1exxxdede210102 4130)41( 222exx（0801 考题） 10x )(de10xx类型 3： caxaaadx sin1cocoscssin 2xxdx sin1in1ico 220sinxd 02)sico(s20 20co 1)in(i20 xx cxdxx 2sin4co2cos1sdsin20i 40)i1s(20 xx2 220 0011cossin|inco|4xdxd四、应用题（1 题，16 分）类型 1： 圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为 l，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？解：如图所示，圆柱体高 h与底半径 r满足 22rhl7圆柱体的体积公式为 hlhrV)(22求导并令 0)3(2l得lh3，并由此解出lr6即当底半径lr6，高lh3时，圆柱体的体积最大类型 2：已知体积或容积，求表面积最小时的尺寸。2-1（0801 考题） 某制罐厂要生产一种体积为 V 的有盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时用料最省？解：设容器的底半径为 r，高为 h，则其容积 22.,.rhr表面积为 rS2224rV， 由 0得3V，此时342Vrh。由实际问题可知，当底半径32r与高 r 时可使用料最省。一体积为 V 的圆柱体，问底半径与高各为多少时表面积最小？ 解： 本题的解法和结果与 2-1 完全相同。生产一种体积为 V 的无盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时用料最省？解：设容器的底半径为 r，高为 h，则无盖圆柱形容器表面积为 rVrhS22，令 02rVS， 得 rhVr,3，由实际问题可知，当底半径3V与高 r 时可使用料最省。2-2 欲做一个底为正方形，容积为 32 立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？（0707 考题）解： 设底边的边长为 x，高为 h，用材料为 y，由已知 322Vhx， 2xh，表面积 Vy422，令042x，得 63x， 此时 ,4x2h=2由实际问题可知， 是函数的极小值点，所以当 ， 时用料最省。欲做一个底为正方形，容积为 62.5 立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解： 本题的解法与 2-2 同，只需把 V=62.5 代入即可。类型 3 求求曲线 kxy2上的点，使其到点 )0,(aA的距离最短曲线2上的点到点 )0,(aA的距离平方为 kxayxL22)()(kxL， kx23-1 在抛物线 y42上求一点，使其与 轴上的点 )0,3(A的距离最短 解：设所求点 P（x，y），则满足 xy42，点 P 到点 A 的距离之平方为L)3()3(22令 04x，解得 1x是唯一驻点，易知 1x是函数的极小值点，当 1时， 2y或 ，所以满足条件的有两个点（1，2）和（1，2）3-2 求曲线