3_8064989_5.数学期望与方差计算

2017年课标高考 母题 备战高考数学的一条捷径 527 中国 高考数学母题 (第 158 号 ) 数学期望与方差计算 随机变量 的数学期望 和 方差 是统 计 中的两个基本思 想 ,也是高考 的 重点 ,其中 ,着意于 对 随机变量 方差的 考查是课标 高考 的 特 色 ;如何妙求 随机变量 的数学期望 和 方差 ? 母题结构 :( )(分布列的合成 ): P( =b)=P( =a)+P( =b); P(X=b)=P(X=a)P(Y=b);若 =X+Y=(X,Y)=(1),(2), ,(m),则 P( =k)=P(P( +P( ( )(数学 期望 性质 ): Ea=a; E(b)=b;若 = 1+ 2+ + n,则 + +E n; ( )(计算方差方法 ):定义法 :利用定义直接计算 ;公式法 :利用公式 -(2,或 两点分布、二项分布的 方差公式计算 ;性质法 :利用性质 D(b)= 母题 解 析 :略 . 子题类型 :(2010 年江苏高考试题 )某厂生产甲、乙两种产品 ,生产甲产品一等品 80%,二等品 20%;生产乙产品 ;一等品 90%;二等品 10%如果是一等品可获利 4万元 ,若是二等品则要亏损 1万元 ;生产一件乙产品 ,如果是一等品可获利 6 万元 ,若是二等品则要亏损 2 万元 ( )记 x(单位 :万元 )为生产 1件甲产品和 1 件乙产品可获得的总利润 ,求 x 的分布列 ; ( )求生产 4 件甲产品所获得的利润不少于 10 万元的概率 . 解析 :( )设 生产 1 件甲产品和 1 件乙产品可获得的 利润 分别 为 、 ,则 、 的分布列 分别为 :由 x= + x 的所有可 能 取值为 :,5,10,且 P(x= P( =( =(x=2)=P( =4)P( =(x=5)=P( = ( =6)=(x=10)=P( =4)P( =6)=x 的分布列 为 : ( )设生产的 4件甲产品中一等品有 则二等品有 (4 ,由题设知 410 n 3 生产 4件甲产品所获得的利润不少于 10 万元的概率 P=点评 :分布列 是 随机变量问 题 的基础 ,如何 列分布列 是 解决 随机变量问 题 的 关键 ,除 直接法 外 ,还有 间 接法 :分析待求随机变量 是 由 哪些基本 随机变量 所决定的 ,然后 ,由 基本 随机变量 的 分布列 去合成 待求 随机变量 的 分布列 . 同 类 试题 : 1.(2009 年全国高考试题 )某车间甲组有 10 名工人 ,其中有 4 名女工人 ;乙组有 5 名工人 ,其中有 3 名女工人 层内采用不放回简单随机抽样 ),从甲、乙两组中共抽取 3 名工人进行技术考核 . ( )求从甲、乙两组各抽取的人数 ;( )求从甲组抽取的工人中恰有 1 名女工人的概率 ; ( )设表示抽取的 3 名工人中男工人数 ,求的分布列及数学期望 . 2.(2012 年山东高考试题 )现有甲、乙两个靶 ,某射手向甲靶射击一次 ,命中的概率为43,命中得 1 分 ,没有命中得 0 分 ;向乙靶射击两次 ,每次命中的概率为32,每命中一次得 2 分 ,没有命中得 0 分 假设该射手完成以上三次射击 .( )求该射手恰好命中一次得的概率 ; ( )求该射手的总得分 X 的分布列及数学期望 子题类型 :(2012 年山东高考试题 )现有甲、乙两个靶 ,某射手向甲靶射击一次 ,命中的概率为43,命中得 1 分 ,没有命中得 0 分 ;向乙靶射击两次 ,每次命中的概率为32,每命中一次得 2 分 ,没有命中得 0 分 假设该射手完成以上三次射击 .( )求该射手恰好命中一次得的概率 ; 528 备战高考数学的一条捷径 2017年课标高考 母题 ( )求该射手的总得分 X 的分布列及数学期望 解析 :设 该射手 向乙靶射击两次 , 命中 的 次 数为 y,向甲 、 乙靶射击的 得分 分别为、 ,则P(y=k)=2)k(1且 =2y 、 的分布列 为 分别为 : 43,2 232=38; ( )该射手恰好命中一次得的概率 =P( =1)P(y=0)+P( =0)P(y=1)=367;( )由 X= + X 的所有可能取值为 :0,1,2, 3,4,5;P(X=0)=P( =0)P( =0)=361,P(X=1)=P( =1)P( =0)=363,P(X=2)=P( =0)P( =2)=364,P(X=3)=P( =1)P( = 2)=3612,P(X=4)=P( =0)P( =4)=364,P(X=5)=P( =1)P( =4)=3612 X 的分布列 为 :( + )=1241. 点评 :直接求一个随机变量的数学期望比较因难 (或分布列 难 求 ,或由分布列 难 求 其 期望 )时 ,我们 可以考虑间接法 ,即 将该随机变量分成若干个比较容易求出数学期望的随机变量之和 ,然后 ,利用数学期望的性质来解决问题 . 同 类 试题 : 3.(2009年 北京 高考试题 )某学生在上学路上要经过 4个路口 ,假设在各路口是否遇到红灯是 相互独立的 ,遇到红灯的概率都是31,遇到红灯时停留的时间都 是 2 )求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率 ; ( )求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及期望 . 4.(2011 年 四川 高考试题 )本着健康、低碳的生活理念 ,租自行车骑游的人越来越多 超过两小时的 部分 每小时 收费 2 元 (不足 1 小时的部分按 1 小时计算 )、乙 两 人 相互 独立来该租车点租车骑游 (各租一车一次 )不超过两小时还车的概率分别为41,21;两小时 以上 且不超过三小时还车的概率分别为21,41;两人租车时间都不会超过 四小时 .( )求出甲、乙所付租车费用相同的概率 ; ( )求甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量 ,求 的分布列与数学期望 子题类型 :(2012年课标高考试题 )某花店每天以每枝 5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花 ,然后以 每枝 10元的 价格出售 ,如果当天卖不完 ,剩下的玫瑰花作垃圾处理 . ( )若花店一天购进 16 枝玫瑰花 ,求当天的利润 y(单位 :元 )关于当天需求量 n(单位 :枝 ,n N)的函数解析式 ; ( )花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量 (单位 :枝 ),整理得下表 : 以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率 . (i)若花店一天购进 16 枝玫瑰花 ,X 表示当天的利润 (单位 :元 ),求 X 的分布列 ,数 学期望及方差 ; (花店计划一天购进 16 枝或 17 枝玫瑰花 ,你认为应购进 16 枝还是 17 枝？ 请说明理由 . 解析 :( ) 当 n 16 时 ,y=16(1080; 当 1 n 15 时 ,y=(10-5)610( )设 一天 售 出 玫瑰花 的个数为 n,则 n 的分布列 为 : (i)若花店一天购进 16 枝玫瑰花 ,则 n 的分布列 为 : 4 5 6 n=( X=10X 的分布列 为 :06,004; (店一天购进 17 枝玫瑰花 ,则 n 的分布列 为 : 4 5 6 7 X=57100应购进 17 枝 . 点评 :求 随机变量 的 方差 的 关键是列 随机变量 的 分布列 ;由 随机变量 的 分布列 求 的 方差 有两条途径 : 直接利用 定义 求解 ; 利用公式 -(2求解 ;其中 ,途径 的关键 是由 的 分布列 去合成 2的 分布列 . 2017年课标高考 母题 备战高考数学的一条捷径 529 同 类 试题 : 5.(2008 年 课标 高考试题 )A、 1和 2的分布列分别为 : ( )在 A、 B 两个项目上各投资 100 万元 ,2分别表示投资项目 A 和 B 所获得的利润 ,求方差 ( )将 x(0 x 100)万元投资 A 项目 ,100元投资 B 项目 ,f(x)表示投资项目 A 所得利润的方差与投资项目 B 所得利润的方差的和 .求 f(x)的最小值 ,并指出 x 为何值时 ,f(x)取到最小值 .(注 :D(aX+b)= 6.(2008年湖北高 考试题 )袋中有 20个大小相同的球 ,其中记上 0号的有 10个 ,记上 n=1,2,3,4)表示所取球的标号 .( )求的分布列、期望和方差 ; ( )若 =b,1,11,试求 a,b 的值 . 7.(2010 年福建高考试题 )设 0 的解集 ,整数 m,n S.( )记使得“ m+n=0成立的有序数组 (m,n)”为事件 A,试列举 A 包含的基本事件 ; ( )设 = 的分布列及其数学期望 8.(2009 年重庆高考试题 )某 单位为绿化环境 ,移栽了甲、乙两种大树各 2 株 两种大树移栽的成活率分别为32和21,且各株大树是否成活互不影响 ,求移栽的 4 株大树中 : ( )两种大树各成活 1 株的概率 ; ( )成活的株数的分布列与期望 . 9.(2012年浙江高考试题 )已知箱中装有 4个白球和 5个黑球 ,且规定 :取出一个白球得 2分 ,取出一个黑球得 1分 无放回 ,且每球取到的机会均等 )3 个球 ,记随机变量 X 为取出此 3 球所得分数之和 . ( )求 X 的分布列 ; ( )求 X 的数学期望 E(X). 10.(2004 年福建高考试题 )甲、乙两人参加一次英语口语考试 ,已知在备选的 10 道试题中 ,甲能答对其中的 6 题 ,乙能答对其中的 8 题 题进行测试 ,至少答对 2 题才算合格 . ( )求甲答对试题数的概率分布及数学期望 ; ( )求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率 . 11.(2005 年 广东 高考试题 )箱中装有大小相同的黄、白两种颜色的乒乓球 ,黄、白乒乓球的数量比为 s:若取出的是黄球则结束 ,若取出的是白球 ,则将其放回箱中 ,并继续从箱中任意取出一个球 ,但取球的次数最多不超过 n 次 ,以表示取球结束时已取到白球的次数 .( )求的分布列 ; ( )求的数学期望 . 12.(2009 年 福建 高考试题 )从集合 1,2,3,4,5的所有非空子集中 ,等可能地取出一个 . ( )记性质 r:集合中的所有元素之和为 10,求所取出的非空子集满足性质 r 的概率 ; ( )记所取出的非空子集的元素个数为 ,求的分布列和数学期望 13.(2013 年 浙江 高考试题 )设袋子中装有 a 个红球 ,b 个黄球 ,c 个蓝球 ,且规定 :取出一个红球得 1 分 ,取出一个黄球得 2 分 ,取出一个蓝球得 3 分 . ( )当 a=3,b=2,c=1 时 ,从该袋子中任取 (有放回 ,且每球取到的机会均等 )2 个球 ,记随机变量 为取出此 2 球所得分数 之和 ,求 的分布列 ; ( )从该袋子中任取 (每球取到的机会均等 )1 个球 ,记随机变量 为取出此球所得分数 =35,95,求 a:b:c. 14.(2009 年 北京 高考试题 )某学生在上学路上要经过 4 个路口 ,假设在各路口是否遇到红灯是 相互独立的 ,遇到红灯的概率 都是31,遇到红灯时停留的时间都是 2 )求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率 ; ( )求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列 、 期望及 方差 . 15.(2012年辽宁高考试题 )电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况 ,随机抽取了 100名观众进行 调查 将日均收看该体育节目时间不低于 40 分钟的观众称为“体育迷“ . ( )根据已知条件完成下面的 2 2 列联表 , 并据此资料你是否认为“体育迷“与性别有关？ 530 备战高考数学的一条捷径 2017年课标高考 母题 ( )将上述调查所得到的频率视为概率 区大量电视观众中 ,采用随机抽样方法每次抽取 1 名观众 ,抽取 3 次 ,记被抽取的 3 名观众中的“体育迷“人数为 求 X 的分布列 ,期望 E(X)和方差 D(X). 附 :2211211221122211 )(, 16.(2014 年辽宁高考试题 )一家面包房 根据以往某种面包的销售记录 ,绘制了日销售量的频率分布直方图 ,如图所示 : 将日销售量落入各组的频率视为概率 ,并假设每天的销售量相互独立 . ( )求在未来连续 3 天里 ,有连续 2 天的日销售量都不低于 100 个且另一天的 日销售量低于 50 个的概率 ; ( )用 天里日销售量不低于 100个的天数 ,求随机变量 列 ,期望 E(X)及方差 D(X). ( )从甲、乙两组各抽取的人数分别为 2,1; ( )从甲组抽取的工人中恰有 1 名女工人的概率 p=210141658; ( )设从甲组抽取的 2名工人中 ,男工人 的个数为 X,从乙组抽取的 1名工人中 ,男工人 的个数为 Y,则 P(X=k)=210246 (k= 0,1,2) X 的分布列 为 :同理可得 Y 的分布列 为 : 由 =X+Y 的取值范围是 0,1,2,3 的分布列为 Y=58. 设 该射手 向乙靶射击两次 ,命中 的 次 数为 y,向甲 、 乙靶射击的 得分 分别为、 ,则P(y=k)=2)k(1 =2y 、 的分布列 为 分别为 : 43,2 232=38; ( )该射手恰好命中一次得的概率 =P( =1)P(y=0)+P( =0)P(y=1)=367;( )由 X= + X 的所有可能取值为 :0,1,2, 3,4,5 X 的分布列 为 :( + )=1241. ( )设 这名同学 经过 第一、二、三个 路口 遇到红灯 的 事件分别为 A、 B、 C,则 A、 B、 C 相互独立 ,且 P(A)=P(B)=P(C)= 31 事件 M:“ 这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯 ” =A B C P(M)=P(A B C)=P(A )P(B )P(C)=274; ( )设 这名学生在上学路上因遇到红灯的次 数为 X,则 P(X=k)=1)k(13124-k(k=0,1,2,3,4),且 =2X;由 31=34 的分布列 及 28. 设 甲、乙 两 人所付租车费用 分别为 X、 Y,则 X、 Y 的分布列 分别为 : ( )概率 P=P(X=0)P(Y=0)+P(X=2)P(Y=2)+P(X=4)P(Y=4)=165; ( )由 =X+Y 的 可能取值为 0,2,4,6,8 的分布列 为 :Y=27. ( )由题设可知 2的分布列分别为 : 0 , 5 10 ; 2 ,(2 8 12 2; 2017年课标高考 母题 备战高考数学的一条捷径 531 ( )由 f(x)=D(10D(100100 x(10x)2100100 x)21004(100=21004(4 1002) 当 x=75时 ,f(x)取 得 最小值 3. ( ) 的分布列为 :021+1201+2102+3203+4204=(法一 )(21+(201+(102+(203+( 204=法 二 )由 的分布列 2的分布列为 :=021+1201+4102+9 203+16204=5 -(2=( )由 =b b, b=1,1 b=1,a= 2 (a,b)=(2,(). ( )由 0 S=x|x 3;又 由整 数 m,n S且 m+n =0 A 包含的基本事件为 :(),(2,(),(1,(0,0); ( )由 m 的所有不同取值为 :1,0,1,2,3,且 m 的分布列 为 : 由 = 的所有不同取值为 :0,1,4,9,且 P( =0)=P(m=0)=61,P( =1)=P(m= 1)=P(m=P(m=1)=31,P(=4)=P(m= 2)=P(m=P(m=2)=31,P( =9)=P(m=3)=61 的分布列 为 :061+131+431+961=619. ( )设 甲、乙两种大树各 2株 ,各成活 1株的 事件 分别为 A、 B,则 相互独立 ,且 P(A)=2(194,P(B)=1(121 两种大树各成活 1 株的概率 =P(P(A)P(B)=92; ( )设 甲、乙两种大树各 2 株 ,成活的株 数分别为 X、 Y,则 P(X=k)=2)k(1(Y=k)=1)k(1-k,k=0,1,2 X B(2,32)、 Y B(2,21) 32=34,21=1,X、 Y 的分布列 分别为 : 由 =X+Y 的分布列 为 :Y=37. ( )设 取 出白球 的个 数为 ,则 P( =k)=39354 (k=0,1,2,3) 的分布列 为 : 08410+18440+28430+3844=34;由 X=2 +(3= +3 X 的分布列 为 :( )E(X)=E( +3)=3=313. ( )用随机变量 i 题答对的数量 ,则 P( i=0)=12,P( i=1)=53 E i=53(i=1,2,3);由 = 1+ 2+ 3 E( 1+ 2+ 3)=3E i=59;由 P( =k)=310346 (k=0,1,2,3) 的分布列 为 : ( )设 甲、乙考试 不 合格的 的 事件 分别为 A、 B,则 A 与 B 相互独立 ,且 P(A)=31,P(B)=151 P=1B)=1)P(B)=4544. ( )的可能取值为 :0,1,2, ,n,的分布列为 : ( ) 的数学希望为 :012)( 232)( 32 备战高考数学的一条捷径 2017年课标高考 母题 + +(1 +n( =02)( 132)( 243)( +()( st+n11)( ; - 得 :(1 ( )1( +1)( )1( ( )记“ 所取出的非空子集满足性质 r”为事件 A,基本事件的总数为 251,事件 A 包括的基本事件是 1,4,5,2,3,5,1,2,3,4 P(A)=313; ( )的可能取值为 :1,2,3,4,5,且 P( =k)=315的分布列为 : 13115C+23125C+33135C+43145C+53155C=311(1 315(41+43+3180. 13. 解 :( ) 由 题 意 得 =2,3,4,5,6, 且P( =2)=6633=41,P( =3)=6