2016年秋九年级数学上册 第二十一章 一元二次方程解码专训 （新版）新人教版

1 第二十一章 一元二次方程 解码专训一：根与系数的关系的四种应用类型 名师点金： 利用一元二次方程的 根与系数的关系可以不解方程，仅通过系数就反映出方 程两根的特征在实数范围内运用一元二次方程的根与系数的关系时，必须注意 0 这个前提，而应用判别式 的前提是二 次项系数不为 题时要注意分析题目中有没有隐含条件 0 和 a0. 利用根与系数的关系求代数式的值 1设方程 47x 3 0 的两根为 解方程求下列各式的值 (1)(3)(3)； (2) 1 1； (3)利用根与系数的关系构造一元二次方程 2构造一个一元二次方程，使它的两根分别是方程 52x 3 0 各根的负倒数 利用根与系数的关系求字母的值或取值范围 3已知关于 x 的一元二次方程 22m 1 0 的两根的平 方和是 294 ，求 m 的值 巧用根与系数的关系确定字母系数的存在性 4已知 4k 1 0 的两个实数根，是否存在实数 k， 使 (22 32成立？若存在，求出 k 的值；若不存在，请说明理由 2 解码专训二：几种常见的热门考点 名师点金： 一元二次方程题的类型非常丰富，常见的有一元二次方程的根、一元二次方程的解法、一元二次方程根的情况、一元二次方程根与系数的关系、 一元二次方程的应用等，只要我们 掌握了不同类型题的解法特点，就可以使问题变得简单，明了 一元二次方程的根 1 (2015 兰州 )若一元二次方程 2 015 0 有一根为 x 1，则 a b _ 2若关于 x 的一元二次方程 c 0 有一根为 1，且 a 4 c c 4 2，求（ a b） 2 0162 015c 的值 一元二次方程的解法 3用配方法解方程 2x 1 0 时，配方后所得的方程为 ( ) A (x 1)2 0 B (x 1)2 0 C (x 1)2 2 D (x 1)2 2 4一元二次方程 2x 3 0 的解是 ( ) A 1， 3 B 1， 3 C 1， 3 D 1， 3 5选择适当的方法解下列方程： (1)(x 1)2 2x(x 1) 0； (2)6x 6 0； (3)6 000(1 x)2 4 860； (4)(10 x)(50 x) 800； (5)(中考 山西 )(2x 1)2 x(3x 2) 7. 3 一元二次方 程根的判别式 6 (2015 河北 )若关于 x 的方程 2x a 0 不存在实数根，则 a 的取值范围是 ( ) A a 1 B a 1 C a1 D a1 7在等腰三角形 ，三边长分别为 a， b， a 5，若关于 x 的方程 (b 2)x (6 b) 0 有两个相等的实数根，求 周长 一元二次方程根与系数的关系 8已知 ， 是关于 x 的一元二次方程 (2m 3)x 0 的两个不相等的实数根，且满足 1 1 1，则 m 的值是 ( ) A 3 B 1 C 3 或 1 D 3 或 1 9 (2015 南充 )已知关于 x 的一元二次方程 (x 1)(x 4) p 为实数 (1)求证：方程有两个不相等的实数根 (2)p 为何值时，方程有整数解 (直接写出三个，不需说明理由 ) 10关于 x 的方程 (3a 1)x 2(a 1) 0 有两个不相等的实数根 且有 1 a，求 a 的值 11设 x 的一元二次方程 24a 2 0 的两个实数根，当 a 为何值时， 小值是多少？ 4 一元二次方程的应用 12 (2015 乌鲁木齐 )某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出 300 件市场调查反映：每降价 1 元，每星期可多卖出 20 件已知商品的进价为每件 40 元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得 6 080 元的利润，应将销售单价定为多少元？ 13小林准备进行如下操作实验：把一根长为 4 铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形 (1)要使这两个正方形的面积之和等于 58 林该怎么剪？ (2)小峰对小林说： “ 这两个正方形的面积之和不可能等于 48 他的说法对吗？请说明理由 新定义问 题 14 (中考 厦门 )若 x 的方程 c 0 的两个实数根，且 | |2|k|(k 是整数 )，则称方程 c 0 为 “ 偶系二次方程 ” 如方程 6x 27 0， 2x 8 0， 3x 274 0， 6x 27 0， 4x 4 0 都是 “ 偶系二次方程 ” 判断方程 x 12 0 是否是 “ 偶系二次方程 ” ，并说明理由 答案 解码专训一 1解：根据一元二次方程根与系数的关系，有 5 74， 34. (1)(3)(3) 3( 9 34 3 74 9 3. (2) 1 1 1） 1）（ 1）（ 1） 1（ 2 2 x2） 1 742 2 34 74 34 74 1 10132. (3) ( ( 4 742 4 34 9716， x 1 9716 14 97. 2解：设方程 52x 3 0 的两根为 则 25， 35. 设所求方程为 q 0，其两根为 令 1 1p ( 111123， q 1 11 53. 所求的方程为 23y 53 0，即 32y 5 0. 3解：设方程两根为 已知得m2， 2m 12 .x 12 ( 2294 ， 即 2 2m 12 294 ， m 2 8m 33 0. 解得 11， 3. 当 m 11 时，方程为 211x 23 0， 112 42230，方程有两个不相等 的实数根，符合题意 m 的值为 3. 6 4解：不存在理由如下： 一元二次方程 44k 1 0 有两个实数根， k0 ，且 ( 4k)2 44k(k 1) 16k0 ， k 0. x 1， 4k 1 0 的两个实数根， x 1 1， k 14k . (2x 1 2 2( 9 k 94k . 又 (2x 1 2 32， k 94k 32， k 95. 又 k0 ， 不存在实数 k，使 (22 32成立 方法总结：对于存在性问题，先根据方程根的情况，利用根的判别式确定出未知字母的取值范围，再利用根与系数的关 系求出已知式子中字母的值，验证字母的值是否在其取值范围内 解码专训二 1 2 015 点拨：把 x 1 代入方程中得到 a b 2 015 0，即 a b 2 015. 2解： a 4 c c 4 2， c 40 且 4 c0 ，即 c 4，则 a 1 是一元二次方程 c 0 的根， a b c 0， b a c 2 4 2. 原式（ 2 2） 2 0162 0154 0. 3 D 解： (1)(x 1)2 2x(x 1) 0， (x 1)(x 1 2x) 0， (x 1)(3x 1) 0， 1， 13. (2)6x 6 0， a 1， b 6， c 6， b 2 4( 6)2 41( 6) 60. x 6 602 3 15， x 1 3 15， 3 15. (3)6 000(1 x)2 4 860， (1 x)2 1 x (4)(10 x)(50 x) 800， 40x 300 0， 10， 30. 7 (5)(2x 1)2 x(3x 2) 7， 44x 1 32x 7， 6x 8 0， 2， 4. 6 B 7解： 关于 x 的方程 (b 2)x (6 b) 0 有两个相等的实数根， (b 2)2 4(6 b) 0， b 1 2， 10(舍去 ) 当 a 为腰时， 长为 5 5 2 12. 当 b 为腰时， 2 2 5，不能构成三角形 周长为 12. 8 A 9 (1)证明：化简方程 ，得 5x 4 0. ( 5)2 4(4 9 4p 为实数，则 ， 9 4 0， 方程有两个不相等的实数根 (2)解：当 p 为 0， 2， 2 时，方程有整数解 (答案不唯一 ) 点拨： (1)先将一元二次方程化 为一般形式，由题意得，一元二次方程根的判别式 4( 5)2 41(4 9 4得， 9 40，从而得证 (2)一元二次方程的解为x 5 9 4若方程有整数解，则 9 4故当 p 0、 2、 2 时， 9 4、 25、 25，此时方程的解分别为整数 10解：由题意，得 3a 1a ， 2（ a 1）a ， 3a 1a 2（ a 1）a 1 a， a 2 1 0，即 a 1. 又 方程有两个不相等的实数根， (3a 1)2 4a2(a 1) 0，即 (a 1)2 0， a1 ， a 1. 11解： 方程有两个实数根， (2a)2 4(4a 2)0 ， a 12. 又 x 1 2a， 4a 2， x 12 ( 22(a 2)2 4. a 12，且 2(a 2)20 ， 当 a 12时， 此时 2 12 22 4 12，即最小值为 12. 点拨：本题中考虑 0 从而确定 a 的取值范围这 一过程易被忽略 12解：设每件商品降价 x 元，则售价为每件 (60 x)元，每星期的销量为 (300 20x)件 根据题意，得 (60 x 40)(300 20x) 6 080. 解得 1， 4. 又要顾客得实惠，故取 x 4，即销售单价为 56 元 答：应将销售单价定为 56 元 13解： (1)设剪成的较短的一段为 x 较长的一段为 (40 x) 题意，得 8 40 58，解得 12， 28.当 x 12 时，较长的一段为 40 12 28(当 x28 时，较长 的一段为 40 28 12 28(舍去 ) 较短的一段为 12 长