北京市西城区高三数学第二学期期中抽样测试

第 1 页 北京市西城区高三数学第二学期期中抽样测试（理科） 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 1. 在复平面内，复数 21i 对应的点与原点的距离是（ ）A. 1 B. C. 2 D. 2 2. 函数 (2)xy的反函数的定义域为（ ）A. ()， B. (0)， C. (01)， D. (1)，3. 若双曲线 21xky的离心率是 ，则实数 k的值是（ ）A. 3 B. 3 C. 3 D. 34. 函数 ()sin(cosin)fxx的最小正周期是（ ）A. 4 B. 2 C. D. 25. 下列四个正方体图形中， AB、 为正方体的两个顶点， MNP、 、 分别为其所在棱的中点，能得出 /AB平面 MNP的图形的序号是（ ）A. 、 B. 、 C. 、 D. 、 6. 若集合 2|540Ax， |1Bxa，则“ (23)， ”是“ BA”的（ ）A. 充分但不必要条件 B. 必要但不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件7. 设 aR，函数 ()exxfa的导函数是 ()fx，且 ()f是奇函数 . 若曲线 ()yfx的一条切线的斜率是 32，则切点的横坐标为（ ）A. ln B. ln2 C. ln2 D. ln2第 2 页 8. 设不等式组 12350xay， 表示的平面区域是 W，若 中的整点（即横、纵坐标均为整数的点）共有 9个，则实数 的取值范围是（ ）A. (， B.)， C. (01， D. 12)，二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 把答案填在题中横线上 .9. 已知 na是公比为 q的等比数列，且 243a， ， 成等差数列，则 q_ . 10. 在 10()x的展开式中， 7x的系数是 1，则实数 a_ .11. 5人排成一排照相，要求甲不排在两端，不同的排法共有 种. (用数字作答)12. 已知 ABC， ， 三点在球心为 O，半径为 3 的球面上，且几何体 OABC为正四面体，那么，两点的球面距离为_；点 到平面 ABC的距离为_ .13. 已知两点 (10)， ， ()b， ，若抛物线 24yx上存在点 使 为等边三角形，则b_ .14. 已知点 G是 AB的重心， ()GR， ，那么 _；若120A，BC，则 的最小值是_ . 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（本小题满分 12 分）在 ABC中， 5cos， 10cosB.（）求角 ；（）设 2，求 的面积.16. （本小题满分 13 分）盒内有大小相同的 9 个球，其中 2 个红色球，3 个白色球，4 个黑色球. 规定取出 1 个红色球得 1分，取出 1 个白色球得 0 分，取出 1 个黑色球得 1分 . 现从盒内任取 3 个球.（）求取出的 3 个球颜色互不相同的概率；（）求取出的 3 个球得分之和恰为 1 分的概率；（）设 为取出的 3 个球中白色球的个数，求 的分布列和数学期望.第 3 页 17.（本小题满分 14 分）如图，在三棱锥 PABC中， P， AB， 30ABC，平面 平面 C. （）求证： 平 面 ； （）求二面角 的大小；（）求异面直线 AB和 P所成角的大小. 18.（本小题满分 13 分）已知函数 ()lnfx.（）求 ()fx的最小值；（）若对所有 1都有 ()1fa，求实数 a的取值范围.19.（本小题满分 14 分）已知定点 )01(，C及椭圆 532yx，过点 C的动直线与椭圆相交于 AB， 两点.（）若线段 AB中点的横坐标是 1，求直线 AB的方程；（）在 x轴上是否存在点 M，使 为常数？若存在，求出点 M的坐标；若不存在，请说明理由.第 4 页 20.（本小题满分 14 分）数列 na中， 1， 21nnac ( 1为常数， 1,23n ) ，且 321.8a（）求 c的值；（） 证明： 1n； 猜测数列 a是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明） ； （）比较 1nk与 14039n的大小，并加以证明. 第 5 页 高三数学（理科）参考答案 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 1. B 2. A 3. B 4. C 5. B 6. A 7. D 8. C二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 9. 12或 10. 12 11. 7 12. ； 6 13. 5或 13 14. 2； 3注：两空的题目，第一个空 2 分，第二个空 3 分；两解的题目少一解给 2 分，有错解不给分.三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分. 15.（本小题满分 12 分）（）解：由 5cosA， 10cosB， 得 02AB、 ， ， 所以 23inin.， 3 分因为 2cos()cos()cossinCABAB， 6 分且 0， 故 .4 7 分（）解：根据正弦定理得 sin6 sini 10ABABC， 10 分所以 C的面积为 16si.25 12 分16. （本小题满分 13 分）（）解：记 “取出 1 个红色球，1 个白色球，1 个黑色球”为事件 A， 则 2349C()7PA. 3 分（）解：记 “取出 1 个红色球，2 个白色球”为事件 B， “取出 2 个红色球， 1 个黑色球”为事件 C，则 1213499C5()()BCP. 6 分（）解： 可能的取值为 0，. 7 分第 6 页 369C5(0)21P， 12369C45()8P，369()4， 39(). 11 分的分布列为:0 1 2 3P5248184 12 分的数学期望 530211E. 13 分17.（本小题满分 14 分）解法一：（）证明：平面 PAB平面 C，平面 PAB平面 CAB，且 C， 平 面 . 2 分 平面 ， .又 PAB，平 面 . 4 分（）解：作 O于点 ， MAC于点 ，连结 PM.平面 PAB平面 ， OABC平 面 ， 根据三垂线定理得 ，是二面角 B的平面角. 6 分设 6PAB， PA， 233APOBA， . 30OMO， sin02M，tan2， 8 分即二面角 PACB的大小是 arctn. 9 分（）解：在底面 内分别过 、 作 AB、 的平行线，交于点 D，第 7 页 连结 OCDP， ， .则 是异面直线 AB和 C所成的角或其补角. 11分 30AB，tan2C， 27OB，2 1P.易知底面 ABD为矩形，从而 CD， .P在 C中， 302cos1， 13 分异面直线 AB和 P所成角的大小为 arcos. 14 分解法二：作 PO于点 ，平面 平面 C，平面 AB.过点 作 的平行线，交 于点 D.如图，以 为原点，直线 OBP， ， 分别为 x轴，y轴， z轴，建立空间直角坐标系 . 2 分6P设. ， 233ABA，. 0C， tan2.(0 )( 3)( 30)(2 30)OBC， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ( 3)P， ， ， (1 0).D， ， 4 分（）证明： ( )(2 )PA， ， ， ， ， ， 0BC，PABC. 又 ，PA平 面 . 7 分（）解：作 OMC于点 ，连结 PM.第 8 页 PO平面 ABC， 根据三垂线定理得 PMAC，M是二面角 P的平面角. 8 分在 Rt中， 3sin302O，3 04， -， ，从而 344MP， ， ， ， ， ，5 cos MOPA， 10 分即二面角 CB的大小是 arcos5. 11 分（）解： 02323AP， ， ， ， ， -，0 cos 1BCA，异面直线 和 P所成角的大小为 30arcos1. 14 分18.（本小题满分 13 分）（）解： ()fx的定义域为 0(， +)， 1 分 ()fx的导数 ()1lnfx. 3 分令 ，解得 ex；令 ()0fx，解得 1e.从而 ()f在 10， 单调递减，在 ， +单调递增. 5 分所以，当 ex时， ()fx取得最小值 1e. 6 分（）解：解法一：令 ()()gfa，则 ()1lngxfax， 8 分 若 1a，当 x时， 1ln0x，故 ()在 )， +上为增函数，第 9 页 所以， 1x时， ()10gxa，即 ()1fxa. 10 分 若 a，方程 的根为 1ea，此时，若 0()x， ，则 ()x，故 ()gx在该区间为减函数.所以， 1， 时， 10ga，即 ()1fax，与题设 ()1fxa相矛盾. 12 分综上，满足条件的 a的取值范围是 (， . 13 分解法二：依题意，得 ()1fx在 )， 上恒成立，即不等式 ln对于 ， 恒成立 . 8 分令 1()lgx， 则 21()gxx. 10 分当 时，因为 1()0， 故 ()gx是 1， 上的增函数， 所以 ()gx的最小值是 (1)g， 12 分从而 a的取值范围是 (1， . 13 分19.（本小题满分 14 分）（）解：依题意，直线 AB的斜率存在，设直线 AB的方程为 (1)ykx，将 (1)ykx代入 532y， 消去 整理得 2236350.k 2 分设 12() () AB， ， ， ， 则42126()50 (). 31kkx， 4 分由线段 中点的横坐标是 ， 得221xk，解得 3k，适合 (1). 5 分所以直线 AB的方程为 30xy，或 310xy. 6 分（）解：第 10 页 假设在 x轴上存在点 (,0)Mm，使 BA为常数. 当直线 AB与 轴不垂直时，由（）知 22121635 . (3)3kkxx，所以 21212212()()()xym().kkxk 8 分将 (3)代入，整理得 222 214()361533kmMAB22614.()mk注意到 BA是与 k无关的常数， 从而有 703， ， 此时 4.9MAB 11 分 当直线 与 x轴垂直时，此时点 AB， 的坐标分别为 21， 、 ， ，当 73m时， 亦有 4.9M 13 分综上，在 x轴上存在定点 703， ，使 M为常数. 14 分20.（本小题满分 14 分）（）解：依题意，22 21311 .acac，由 328，得28c，解得 c，或 1（舍去）. 3 分（）解： 证明：因为 221 1()0nnnaa，当且仅当 2时， .因为 1a，所以 10na，即 1na ( ,23 ) . 5 分 数列 n有极限， 6 分 且 limna. 7 分 （）解：第 11 页 由 21nna，可得 11()(2)nnnaa，从而 1nn.因为 1a，所以 111111.222kkknnaaaa所以 1111 114039(5)(83)40 .3939()n nnnk n nn 9 分因为 1a，由（） 得 na ( *N). ()下面证明：对于任意 *，有 2成立. 当 n时，由 1a，显然结论成立.假设结论对 ()k时成立，即 .ka因为 221 31)nnna，且函数 213()yx在 1x时单调递增， 所以 3()k.即当 时，结论也成立. 于是，当 *nN时，有 2na成立. (2)根据 (1)2、 得 2na. 12 分由 1a 及 1， 经计算可得 231.8a，所以，当 n时， 214039a； 当 n时， 312409a； 当 3时，由 8n， 得111 11 1(5)()40 400 939239n nnn nk kaaa . 14 分昌平区数学第二学期高三第二次统练试 卷（理科） 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，第卷 1 至 2 页，第卷 3 至 9 页，共 150 分考试时间 120 分钟第 12 页 第卷（选择题 共 40 分）一、选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项，并将答案填在题后的答题表中)1 已知向量 a (2,1), b (,2)x,且 a +b 与 2a -b 平行，则实数 x的值是A6 B 6 C4 D 42函数 sinicosyx的最小正周期为A B C 2D 3若二项式 nx)2(的展开式的第 5 项为常数项，则 n 的值为A6 B10 C12 D154设集合 2 0yxy， ， ， ，则“ 2n”是 “ AB”的A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件5. 在等比数列 18572100,6,5,n aaa中 则 的值为A 23或 B C 3 D 23或6下列四个正方体中，直线 l是正方体的一条对角线，点 M、 N、 P分别为其所在棱的中点，不能得出 l平面 MNP的是A. B. C. D.7在 ABC中， (2,0)， (,)C，且满足条件 1sinsin2CBA，则顶点 的轨迹方程是A 213yx B. 21()3yxC () D. 28在一次台球比赛中，两名选手约定：以先赢 6 局为胜.后比赛因故中断，不能进行，此时选手甲赢得 5 局比赛，选手乙赢得 2 局.试问总奖金两名选手应按如下哪种比例分配才合理？A5：2 B.10：1 C. 15：1 D.4：1第一大题（选择题）答题表题号 1 2 3 4 5 6 7 8选项MNPAD1 C1B1D CBA1 l lA1BCDB1C1D1APNM lA1BCDB1C1D1APNMl MNPAD1 C1B1D CBA1第 13 页 昌平区 20072008 学年第二学期高三第二次统练数 学 试 卷（理科） 2008.5第卷（共 110 分）注意事项：1 用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上2 答卷前将密封线内的项目填写清楚三题号 一 二15 16 17 18 19 20总分得分二、 填空题(本大题共 6 小题，每小 题 5 分，共 30 分请把答案填在题中横线上)9若复数 243izm是纯虚数，则实数 m 10已知数列 na的通项公式为 2na，其前 n项和为 nS，则 2lin 11已知向量 a 与 b 都是单位向量，它们的夹角为 120，且| ka +b| 3，则实数 k的值是 12.市内某公共汽车站有 10 个候车位（排成一排） ，现有 4 名乘客随便坐在某个座位上候车，则恰好有5 个连续空座位的候车方式共有_种.13. 在正三棱锥 PABC中， ,MN分别是侧棱 ,PBC的中点，若截面 AMN侧面 PBC，则此三棱锥的侧棱与底面所成角的正切值是 .14下列命题：要得到函数 y=sin( 24x)的图象，只需将函数 y=sin 2x的图象向右平移 4个单位;函数 y= 1的图象关于直线 yx对称；函数 ()fx的定义域为 R,则函数 ()f的图象关于原点成中心对称；设随机变量 服从正态分布 2(,N，且 40.8P，则 (2)0.3P.其中正确命题的序号是_.三、解答题(本大题共 6 小题，共 80 分解答 应写出文字 说明，证明过程或演算步骤)15(本小题满分 12 分)PMNCBA第 14 页 在 ABC中， ,abc分别是角 ,ABC所对的边， 0cos)cos(BAb.（）判断 的形状；（）若 3sin,，求 的面积.16(本小题满分 13 分)一台仪器每启动一次都随机地出现一个 6 位的二进制数 A1236a ，其中 A的各位数字中，16a， (2,345k出现 0 的概率为 3，出现 1 的概率为 .例如： 10，其中230， 41a，记 126a .当启动仪器一次时，（）求 的概率；（）求随机变量 的分布列和数学期望.17. (本小题满分 14 分)如图，正三棱柱 1ABC的底面边长的 3，侧棱 1A= ,23D是 CB延长线上一点，且BD.（）求证：直线 1 /平面 1ABD；（）求二面角 的大小；（）求三棱锥 的体积.18(本小题满分 14 分)已知函数 (),R)fxaxb.（）若 ,0,b过两点 O(0,0)、 (,0Aa的中点作与 x 轴垂直的直线，此直线与函数()yfx的图像交于点 0()Pxf.求证：函数 ()yf在点 P 处的切线过点 B(b,0);（）若 a=b(a0)，且当 ,1时， 2x恒成立，求实数 a 的取值范围.DA1B1C1ABC第 15 页 PNMBAoyx19(本小题满分 13 分)已知椭圆21:(0)xyCab的一条准线方程是 254x，其左、右顶点分别是 ,AB，双曲线2:()ab的一条渐近线方程为 30y.（）求椭圆 1的方程；（）在第一象限内取双曲线 2C上一点 P，连结 AP交椭圆 1于点 M，连结 B并延长交椭圆 1C于点 N，若 ，求证： NA.20(本小题满分 14 分)已知函数 2(1ln(N*)kfxxA.(I) 讨论函数 )f的单调性；(II) k 是偶数时，正项数列 na满足2113,()naf，求 na的通项公式；（III） 是奇数， *N时，求证： 1()nnfxfxA.数学试卷参考答案及评分标准（理）2 一、选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)题号 答案 （ D） （B） （C） （ A） （ D） （B） （C） （B）第 16 页 二、填空题(本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分)9、1 10、 52 11、 2 或-112、480 13、 14、.三、解答题(本大题共 6 小题，共 80 分解答 应写出文字说明， 证明过程或演算步骤)(本小题满分 12 分)解：（I） 0coscos(BAb， 0cosin)cos(inBCAin)inCBss.3 分0)i(C在 A中，C=B，即 AB为等腰三角形6 分（2）C=B 236sin,cos3B2ii()in2sin2icos3ACBB1si332ABCSbc12 分(本小题满分 13 分)(I) 解：（1）设 3时为事件 A，即 2345a中恰有一位数字 1.则 81)(214CAP.5 分(II) 可能取值为 2、3、4、5、6)(0813)(14CP24)(2第 17 页 8132)()5(34CP660的分布列为 2 3 4 5 6P1828131846423513E.13 分 (本小题满分 14 分)（）证明：CD/C 1B1，又 BD=BC=B1C1， 四边形 BDB1C1是平行四边形， BC 1/DB1.又 DB1平面 AB1D，BC 1平面 AB1D，直线 BC1/平面 AB1D4 分（）解：过 B 作 BEAD 于 E，连结 EB1，B 1B平面 ABD，B 1EAD ，B 1EB 是二面角 B1ADB 的平面角，6 分BD=BC=AB， E 是 AD 的中点， .23A在 RtB 1BE 中， 1tan.EB 1EB=60.即二面角 B1ADB 的大小为 60.9 分（）解法一：过 A 作 AFBC 于 F，B 1B平面 ABC，平面 ABC平面 BB1C1C，AF平面 BB1C1C，且 AF 为点 A 到平面 BB1C1的距离11 分AF= ,32 AFSVBB1113.87)(3即三棱锥 C1ABB1的体积为 .14 分解法二：在三棱柱 ABCA1B1C1中， 1111 CBAAB VVS.8273)4(321 C即三棱锥 C1ABB1的体积为 .827.14 分 (本小题满分 14 分)解：（I）由已知22(,),(3()4aPbfxabx第 18 页 所求切线斜率为22