北京市东城区高三年级第一学期期末练习理

1北京市东城区第一学期期末教学目标检测高三数学 （理科） 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，第卷 1 至 2 页，第卷 3 至9 页，共 150 分。考试时间 120 分钟。考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。第卷（选择题 共 40 分）注意事项：1、 答第卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。2、 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试卷上。一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.已知 a(3,4)， (6,)b，则向量 a与 b（ ）A.互相平行 B. 夹角为 0 C.夹角为 30 D.互相垂直2.已知集合 32xAZ, ,2xBZ则集合 AB等于( ) A 2 B ,1 C ,1 D 313.已知 a,b为实数,则 ba是 22loglab的 ( )A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.在 ABC中,角 120,tant3AB ,则 tanAB的值为 ( )A. 41 B. 3 C. 21 D. 5 5.若 )(xf是偶函数,且当 ,x时, )(xf,则不等式 0)1(xf的解集是 ( )A.01 B.210或C. 2x D.x6.在n1的展开式中,常数项为 15,则 n的一个值可以是 ( )A. 3 B. 4 C. 5 D. 67. 已知函数 f(x)=- 2在区间 M上的反函数是其本身，则 M可以是 （ ）2A-2，-1 B-2，0 C0 ，2 D 1,08.已知垂直竖在水平地面上相距 20 米的两根旗杆的高分别为 10 米和 15 米,地面上的动点P到两旗杆顶点的仰角相等,则点 P的轨迹是( )A.椭圆 B.圆 C.双曲线 D.抛物线北京市东城区 2008-2009 学年度第一学期期末教学目标检测高三数学（理科）第卷（共 110 分）注意事项：1.用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。2.答卷前将密封线内的项目填写清楚。一 二 三题号1-8 9 10 1112 13 14 15 16 17 18 19 20总分分数二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。把答案填在题中横线上。9.已知 na为等差数列,若 951a,则 28cos()a的值为_.10.设 x, y满足约束条件 ,02,yx则 yxz的最大值是_.11.一个球的球心到过球面上 A、B、C 三点的截面的距离等于球半径的一半，若AB=BC=CA=3，则球的半径是 ,球的体积为 . 12.如果把个位数是 1,且恰有 3 个数字相同的四位数叫做“好数”,那么在由 1,2,3,4 四个数字组成的有重复数字的四位数中,“好数”共有_个.13.已知双曲线2169xy的左、右焦点分别为 1F, 2,过 的直线与该双曲线的右支交于 A、 B两点,若 5,则 1AB的周长为_.14.直线 mxy2和圆 2y交于 、 两点,以 Ox为始边, A, B为终边的角分别为 , ,则 )sin(的值为_.得分 评卷人3ABCA1B1C1三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15 （本小题满分 13 分）已知函数 1cosin32sico)(2 xxxf .（）求 的最小正周期及 )(f的最小值；（）若 ()2f,且 ,42,求 的值.16 （本小题满分 13 分）北京的高考数学试卷中共有 8 道选择题,每个选择题都给了 4 个选项(其中有且仅有一个选项是正确的).评分标准规定:每题只选 1 项,答对得 5 分,不答或答错得 0 分.某考生每道题都给出了答案,已确定有 4 道题的答案是正确的,而其余的题中,有两道题每题都可判断其有两个选项是错误的,有一道题可以判断其一个选项是错误的,还有一道题因不理解题意只能乱猜.对于这 8 道选择题,试求:() 该考生得分为 40 分的概率;() 该考生所得分数 的分布列及数学期望 E.17 （本小题满分 14 分）如图,在直三棱柱 1CBA中, 4,5,4,3B.()求证: 1;()求二面角 的大小;()在 AB上是否存在点 D,使得 1AC平面 1DB,若存在,试给出证明;若不存在 ,请说明理由.18. （本小题满分 13 分）已知函数 ()ln2)fxax.（）设曲线 y在点 (1,f处的切线为 l，若 与圆 2(1)xy相切，求a的值；得分 评卷人得分 评卷人得分 评卷人得分 评卷人4（）当 0a时,求函数 ()fx的单调区间.19 （本小题满分 13 分）已知椭圆 M的对称轴为坐标轴,且抛物线 24xy的焦点是椭圆 M的一个焦点,又点 A(1,2)在椭圆 上.()求椭圆 的方程;()已知直线 l的方向向量为 (1,2),若直线 l与椭圆 交于 B、 C两点,求 AB面积的最大值.20.(本小题满分 14 分)已知点 ),(,),2(),1( nyByB( N)顺次为直线 124xy上的点,点 021xA nx( N)顺次为 x轴上的点,其中 )0(a,对任意的 nN,点 n、 、 1A构成以 n为顶点的等腰三角形.()证明:数列 y是等差数列;()求证:对任意的 N, nx2是常数,并求数列 nx的通项公式; ()在上述等腰三角形 1nAB中是否存在直角三角形,若存在,求出此时 a的值;若不存在,请说明理由.北京市东城区 2008-2009 学年度第一学期期末教学目标检测得分 评卷人得分 评卷人5高三数学参考答案 （理科）一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）1A 2A 3B 4B 5C 6D 7B 8B二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）9 105 112, 32 12. 12 13.26 14 54 注：两个空的填空题第一个空填对得 2 分，第二个空填对得 3 分三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分）15. （本小题满分 13 分）（1）解： 12cossin1cosin3sico)(22 xxxxf= 1)6in(. .5 分因此 )(xf的最小正周期为 ,最小值为 . 7 分(2)由 2得 si()=2,即 1sin(2)6. .9 分而由 ,4得 7,63. 10 分故 526. 12 分解得 3. 13 分16. （本小题满分 13 分）解: ()要得 40 分,8 道选择题必须全做对,在其余四道题中,有两道题答对的概率为 21,有一道题答对的概率为 31,还有一道题答对的概率为 41,所以得 40 分的概率为482P. 5 分()依题意,该考生得分 的取值是 20,25,30,35,40,得分为 20 表示只做对了四道题,其余各题都做错,故所求概率为 814321)20(P;同样可求得得分为 25 分的概率为 47323431)25( CP;得分为 30 分的概率为 87)0(P;得分为 35 分的概率为 ;6ABCA1B1C1DEO得分为 40 分的概率为 481)0(P. 于是 的分布列为20 25 30 35 40P4864817481748748111 分故 0350250 E = 1235.该考生所得分数的数学期望为 1. 13 分17 （本小题满分 14 分） 解法一: ()在直三棱柱 1CBA中, 底面 B, 在底面上的射影为 C.由 5,4,3BAC可得 .所以 1. 4 分()过 作 E于 ,连结 EC1.由 1C底面 AB可得 AB.故 为二面角 1的平面角.在 中, 52E,在 Rt C1中, 145tan3,故所求二面角的大小为 rct . 9 分()存在点 D使 1AC平面 1B,且 D为 A中点,下面给出证明.设 1B与 交于点 ,O则 为 中点.在 中, 连结 , 分别为 1,C的中点,故 OD为 1ABC的中位线,D 1AC,又 平面 1DB, 平面 1,平面 .7ABCA1B1C1xyzDO故存在点 D为 AB中点,使 1C平面 1DB. 14 分解法二 直三棱柱 1,底面三边长 5,4,3ABCA,C两两垂直.如图以 为坐标原点,建立空间直角坐标系 xyz,则)40(),(),40(),3()0( 11BA.() ,BC,1,故 1. .4 分()平面 A的一个法向量为 (0,)m,设平面 BC1的一个法向量为 0xyzn,)4,03(, ),43(,由 1,ABn得 ,00yxz令 40x,则 30z.则 (3)n.故 cos m,= 34.所求二面角的大小为 arcos. .9 分()同解法一 14 分18. （本小题满分 13 分）解: （）依题意有， 1()2fx. 3 分因此过 (1,点的直线的斜率为 a，又 (1),fa所以，过 )f点的直线方程为 yx. .4分又已知圆的圆心为 (1,0)，半径为 ，依题意， 21()a，8解得 1a. 6 分（） ()2fx . 因为 0，所以 ，又由已知 2x . .9 分令 ()fx，解得 1xa，令 ()0f，解得 12xa. 11 分所以, 的单调增区间是 (, x的单调减区间是 (,). 13 分19 （本小题满分 13 分）解: ()由已知抛物线的焦点为 (0,2),故设椭圆方程为21yxa.将点 (1,2)A代入方程得 21a,整理得 4250,解得 4a或 (舍).故所求椭圆方程为21yx. 6 分()设直线 BC的方程为 m,设 12(,)(,)BxyC代入椭圆方程并化简得 04242x, 9 分由 )8()(16822 m,可得 28 . ( )由 4,2121xx,故212363BC. 又点 A到 的距离为 md, 11 分故2222(16)11(6)24ABC mS ,当且仅当 2m,即 时取等号(满足 式)所以 面积的最大值为 . 13 分20.(本小题满分 14 分)9解: ()依题意有 124ny,于是 411ny.所以数列 n是等差数列. .4 分()由题意得 x21,即 nxn21 , ( N) 所以又有 )(1n. 6 分由 得 2x,可知 ;,64531x都是等差数列.那么得 2)(2 akk, akx)1(. ( N) 故 1(nan为 奇 数 ）为 偶 数 ） . 10 分()当