精编2019届高三数学摸底考试试卷（理科附答案）

精编 2019 届高三数学摸底考试试卷（理科附答案）数 学(理科)命题：贺仁亮 朱修龙 周艳军 刘伟才审题：高二数学备课组时量：120 分钟 满分：150 分得分：_第卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知复数 z 满足(2i)z2i(i 为虚数单位)，则 z等于A3 4i B34iC.3545i D.3545i2已知 Px|x2 5x 40，Qx|y 42x，则PQ 等于A(1 ，4) B2，4)C(1，2 D( ，23已知两组样本数据x1，x2，xn、y1，y2， ，ym的平均数分别为 h 和 k，则把两组数据合并成一组以后，这组样本的平均数为A.hk2 B.nh mkmnC.mhnkmn D.hkmn4已知an为等比数列，a10，a4a7 2，a5a68，则 a1a4 a7a10等于A7 B5 C5 D75如图是一几何体的平面展开图，其中四边形 ABCD为正方形，E，F 分别为 PA，PD 的中点，在此几何体中，给出下面 4 个结论：直线 BE 与直线 CF 异面；直线 BE 与直线 AF 异面；直线 EF平面 PBC；平面 BCE平面 PAD.其中正确的有A1 个 B2 个 C3 个 D4 个6已知双曲线 x2a2y2b21(a0 ，b0) 以及双曲线y2a2x2b21(a0，b0) 的渐近线将第一象限三等分，则双曲线 x2a2y2b21(a0，b0)的离心率为A2 或 233 B.6 或 233C2 或 3 D.3 或 67函数 f(x)sin(2x )(0) 图像向右平移6 个单位后关于 y 轴对称，则 的值是A0 B.6 C.3 D.568在正三角形 ABC 内任取一点 P，则点 P 到A，B，C 的距离都大于该三角形边长一半的概率为A1 3 6 B1312 C1 39 D 13189底面是边长为 1 的正方形，侧面是等边三角形的四棱锥的外接球的体积为A.223 B.33 C.233 D.2310在平面直角坐标系中，A，B 分别是 x 轴和 y 轴上的动点，若以 AB 为直径的圆 C 与直线2xy 40 相切，则圆 C 面积的最小值为A.45 B.34 C(625) D.5411已知函数 f(x)ex，x 0，x2ax 1，x0 ，F(x)f(x)x1，且函数 F(x)有 2 个零点，则实数 a 的取值范围为A(，0 B( ，1)C1 ，) D(0 ，)12已知 x 表示大于 x 的最小整数，例如3 4，1.3 1，下列命题中正确的是函数 f(x)xx 的值域是 0，1；若an是等差数列，则 an 也是等差数列；若an是等比数列，则 an 也是等比数列；若 x (1，2 018)，则方程 xx12 有 2 017 个根A B C D选择题答题卡题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 得 分答 案 第卷二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20分13从 3 名男同学和 2 名女同学中任选 2 名参加体能测试，则恰有 1 名男同学参加体能测试的概率为_(结果用最简分数表示)14 九章算术是我国古代内容较为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆堡壔，周四丈八尺，高一丈一尺，问积几何？答曰：二千一百一十二术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一” 这里所说的圆堡壔就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一 ”就是说：圆堡壔(圆柱体) 的体积V 112(底面的圆周长的平方 高) ，则该问题中圆周率 的取值为_(注：一丈10 尺)15.1 1x2(1x)6 展开式中 x2 的系数为_(结果用数字表示)16如图 2， “六芒星”由两个全等的正三角形组成，中心重合于点 O 且三组对边分别平行点 A，B 是“六芒星”(如图 1)的两个顶点，动点 P 在“六芒星”上(内部以及边界 )，若 OPxOAyOB ，则xy 的最大值是_ 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17 (本小题满分 11 分)如图，ABC 是等边三角形，D 是 BC 边上的动点(含端点)，记BAD，ADC .(1)求 2cos cos 的最大值；(2)若 BD1，cos 17 ，求ABD 的面积18.(本小题满分 11 分)已知正项等比数列 an 的公比为 q，且a3 a4 a5716，3a5 是 a3，a4 的等差中项数列bn 满足 b11 ，数列 bn1bn an 的前 n 项和为2n2n.(1)求数列 an 的通项公式；(2)求数列bn的通项公式19.(本小题满分 12 分)已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其中正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形(1)设 为 中点，若 BP13PC.求证：平面 C 1；(2)设二面角 C1 大小为 ，求 sin 的值20.(本小题满分 12 分)某卫生监督检查部门对 5 家餐饮店进行卫生检查，若检查不合格，则必须整改若整改后经复查仍不合格，则强制关闭设每家餐饮店检查是否合格是相互独立的，且每家餐饮店整改前合格的概率是 0.5，整改后复查合格的概率是 0.8.计算：(1)恰好有两家餐饮店必须整改的概率；(2)平均有多少家餐饮店必须整改；(3)至少关闭一家餐饮店的概率(精确到 0.01)21.(本小题满分 12 分)已知椭圆 C：x2a2y2b2 1(ab0)，其焦点为F1， F2，离心率为 22，若点 P22， 32 满足|PF1|PF2|2a.(1)求椭圆 C 的方程；(2)若直线 l：ykxm(k ，m R) 与椭圆 C 交于 A，B两点，O 为坐标原点，AOB 的重心 G 满足：F1GF2G59，求实数 m 的取值范围22.(本小题满分 12 分)设函数 f(x)ln(xa)x2.(1)若 f(x)为定义域上的单调函数，求实数 a 的取值范围；(2)若 g(x)exx2f(x)，当 a2 时，证明：g(x)0.炎德英才大联考湖南师大附中2018 年春季高二期末考试暨 2019 届高三摸底考试数学(理科)参考答案一、选择题1 D 【解析】 由(2i)z2i，得z2i2i（2i） （2i ） （2 i） （2i）35 45i，故选 D.2 C 【解析】解 x25x40 ，即(x1)(x 4)0 ，得 1x4，故 P(1，4) Q 表示函数y42x 的定义域，所以 42x 0，所以x( ，2 ，即 Q(，2 故PQ(1，2 故选 C.3 B 【解析】因为样本数据x1，x2 ，xn 的平均数为 h，y1，y2，ym的平均数为 k，所以第一组数据和为 nh，第二组数据和为 mk，因此把两组数据合并成一组以后，这组样本的平均数为nhmkm n，故选 B.4 B 【解析】由等比数列的性质可得a5a6a4a78，又 a4a72，解得a4 2，a74 或 a72，a44，因为a7 a1q60，所以a4 2，a74，a7 a4q32q34，所以q32 ，所以 a1a4q31，a10a7q3 8 ，所以 a1a4a7a105，故选 B.5 B 【解析】将展开图还原为几何体(如图) ，因为E，F 分别为 PA，PD 的中点，所以 EFADBC ，即直线 BE 与 CF 共面，错；因为 B平面 PAD，E平面 PAD， EAF，所以 BE 与 AF 是异面直线，正确；因为 EFAD BC，EF 平面 PBC，BC 平面 PBC，所以 EF平面 PBC，正确；平面 PAD 与平面 BCE不一定垂直，错故选 B.6 A 【 解析】由题意可知，双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的渐近线的倾斜角为30或 60，则 kba，k3 或 33，则e ca， ec2a2a2 b2a21b2a22 或 233.7 D 【解析】 f(x)sin(2x)(0 ) 图像向右平移 6 个单位后得到的函数是 g(x)sin2x3，又 g(0)sin 3 1，得3k2(kZ)，k56(kZ)，故选 D.8 A 【 解析】满足条件的正三角形 ABC 如图所示：设边长为 2，其中正三角形 ABC 的面积 SABC344 3.满足到正三角形 ABC 的顶点A，B，C 的距离至少有一个小于 1 的平面区域如图中阴影部分所示，其加起来是一个半径为 1 的半圆，则S 阴影 12，则使取到的点到三个顶点 A，B ，C 的距离大于 1 的概率 P136，故选 A.9 D 【解析】 设四棱锥为 PABCD，底面 ABCD 是边长为 1 的正方形，PAPBPCPD 1 的外接球的半径为 R，过 P 作 PO1底面 ABCD，垂足 O1 为正方形 ABCD 的对角线 AC，BD 的交点，设球心为 O，连接 AO，由于AOPOR ，AO1 PO122，OO122R ，在 RtAOO1 中，22R2222 R2 ，解得 R22，V 球43 R34322323.10 A 【解析】 设直线 l：2x y40. 因为|OC|12|AB| d1，其中 d1 为点 C 到直线 l 的距离，所以圆心 C 的轨迹为以 O 为焦点，l 为准线的抛物线圆 C 半径最小值为 12d212 4525，其中 d2为点 O 到直线 l 的距离，圆 C 面积的最小值为25245.故选 A.11 B 【解析】因为 F(x)f(x)x1 ，且函数 F(x)有 2 个零点，即 f(x)x 10 有 2 个实数根，所以当 x 0 时，令 exx 10，解得 x0，此时只有一个实数根，当 x0 时，令 f(x)x 10，即x2(a1)x0，即 xx(1a) 0，此时解得x1a，要使得函数 F(x)有 2 个零点，则 1a 0 ，所以 a1，故选 B.12 D 【解析】当 xZ 时，xx1 ，f(x)x x x1x1 ；当 x Z 时，令xna，nZ，a(0 ，1)，则 xn1，f(x)x x 1a(0，1)，因此 f(x) xx 的值域是0， 1；0.9 ，1 ，1.1 是等差数列，但0.91 ， 12 ，1.12 不成等差数列； 0.5，1，2 是等比数列，但 0.51，12，2 3 不成等比数列；由前分析可得当 xZ 时，f(x) 1 ；当x Z，x na，nZ ，a (0，1)时，f(x)1 a 1(x n)n1x ，所以 f(x1)f(x) ，即f(x)x x 是周期为 1 的函数，由于 x(1，2)时 f(x)2 x 12，x32，即一个周期内有一个根，所以若 x (1，2 018)，则方程 xx12 有 2 017 个根正确，故选 D.二、填空题13.35 【 解析】 从 3 名男同学和 2 名女同学中任选2 名参加体能测试，则恰有 1 名男同学参加体能测试的概率为 C13C12C2535.14 3 【解析】圆柱体体积公式 Vr2h，而由题意有 V112(2r)2h，所以 3.15 30 【解析】因为 11x2(1x)6 1 (1x)6 1x2(1x)6，则(1x)6 展开式中含 x2 的项为1C26x215x2，1x2 (1x)6 展开式中含 x2 的项为1x2C46x415x2，故 x2 的系数为 151530.16 5 【解析】令正三角形边长为 3，则OB(1，0)，OA 32，32，设直线 AB 与 OC的交点为点 D，若 ODxOA yOB，则xy1.又由线性规划知识知当 P 在 C 点时，x y 有最大值，此时 OP5OD，故 xy 的最大值是 5.三、解答题17 【 解析】(1)由ABC 是等边三角形，得3，03，故 2cos cos 2cos cos 33sin3，故当 6，即 D 为 BC 中点时，原式取最大值 3.5分(2)由 cos 17，得 sin 437 ，故 sin sin3sin cos 3 cos sin 3 3314 ，7 分由正弦定理 ABsinADBBDsinBAD，故 ABsin sin BD 4373314 183，9 分故 SABD12ABBD sin B12831 32233.11分18 【 解析】(1)依题意，a3 a4 a5716，6a5a3a4 ，则a5 116，a3a438，得 a5q2a5q 38 ，即 6q2q1 0 ，解得 q12 或 q13( 舍)，所以q12 ，a11，数列 an 的通项公式为 an12n1.5 分(2)设 cn (bn1 bn)an，数列 cn 的前 n 项和为Sn，则 Sn2n2n，所以 cnS1 （n1）SnSn1 （n 2） ，解得 cn4n1.7 分所以 bn1bn (4n1) 2n1，故bnbn 1 (4n5) 2n2，n 2，bnb1 bn bn 1bn 1bn2 b3b2b2b1(4n 5) 2n2 (4n9)2n3 7213，9分设 Tn3721 (4n 9)2n 3(4n5)2n2 ，2Tn 32722 (4n 9)2n2 (4n5)2n1 ，所以，Tn3 421 42n34 2n2(4n 5)2n1 ，因此 Tn (4n9) 2n15，n 2，又 b11，所以 bn(4n9)2n1 6.11 分19 【 解析】(1)证明：该几何体的正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，BA，BC，BB1 两两垂直且BC4，BA4，BB18，AN4，以 BA，BB1，BC 分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，如图则 N(4，4，0)，B1(0，8，0)，C1(0，8 ，4)，C(0，0 ，4)，M(2，0，0)BPPC13，P(0，0，1)，则 MP(2，0 ，1)，设 n2(x，y，z)为平面 NCB1 的一个法向量，则 n2CN0n2NB10 （x，y，z ）（4，4 ，4）0（x ，y，z） （4，4，0 ）0 xyz0，xy0，取 n2(1，1 ，2) ，MP n2(2，0 ，1)(1，1 ， 2)0 ，又 PM 平面 CNB1，MP 平面CNB16 分(2)由(1) 可知平面 C1 的一个法向量为BA(4，0，0)，平面 C1 的法向量为n2(1 ， 1，2)，则 cos BAn2|BA|n2|（4，0 ，0）（1，1 ，2）4 666 ，sin 306.12 分【注】本题只给出向量法，其他方法请参照标准酌情给分20 【 解析】(1)每家餐饮店必须整改的概率是1 0.5 0.5，且每家餐饮店是否整改是相互独立的所以恰好有两家餐饮店必须整改的概率是P1C25(10.5)20.53516.4 分(2)由题知，必须整改的餐饮店数 服从二项分布B(5，0.5)从而 的数学期望是E5 0.52.5，即平均有 2.5 家餐饮店必须整改.8分(3)某餐饮店被关闭，即该餐饮店第一次检查不合格，整改后经复查仍不合格，所以该餐饮店被关闭的概率是 P2(10.5)(10.8)0.1，从而该餐饮店不被关闭的概率是 0.9.由题意，每家餐饮店是否被关闭是相互独立的，所以至少关闭一家餐饮店的概率是P31 0.950.41.12 分21 【 解析】(1)由 e22，可设椭圆 C 的方程为x2a22y2a21，点 P22，32 满足|PF1|PF2|2a，等价于点 P 在椭圆上，12a232a21，a2 2，所以椭圆 C 的方程为 x22y21.5 分(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立得方程组ykxm，x2 2y2 20，消去 y 并整理得(12k2)x24kmx2m220 ，则0 12k2m2x1x24km12k2x1x22m221 2k2.7 分设AOB 的重心为 G(x，y)，由F1GF2G59，可得 x2y249.由重心公式可得 Gx1x23 ，y1 y23 ，代入式，整理可得(x1x2)2(y1y2)2 4 (x1x2)2 k(x1 x2)2m24，将式代入式并整理，得 m2（12k2 ）21 4k2，10 分则 m2（12