2008年广东省高考数学试卷(文科)含详解

2008 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(文科)一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。1第二十九届夏季奥林匹克运动会将于2008年8月8日在北京举行若集合 参加北京奥运会比赛的运A动员，集合 参加北京奥运会比赛的男运动员，集合 参加北京奥运会比赛的女运动员，则BC下列关系正确的是A B C DABB2已知 0a2，复数 (i 是虚数单位)，则 的取值范围是az|zA(1, ) B (1, ) C(1,3) D(1,5)353已知平面向量 , , 且 , 则12bm/ab23A B C D,436485,104记等差数列a n的前 n 项和为 Sn，若 S2=4, S4=20, 则该数列的公差 d=A7 B6 C3 D25已知函数 ，xR, 则 是()1cos)ifx()fxA最小正周期为 的奇函数 B最小正周期为 的偶函数 C最小正周期为 的奇函数 D最小正周期为 的偶函数26经过圆 的圆心 G，且与直线 垂直的直线方程是02yx 0yxA B C D110xy110xy7将正三棱柱截去三个角（如图 1 所示 A， B， C 分别是CHI 三边的中点）得到几何体如图 2，则该几何体按图 2 所示方向的侧视图（或称左视图）为EFDIAH GB CEFDAB C侧视图 1 图 2BEABEBBECBED8命题“若函数 (a0，a1) 在其定义域内是减函数，则 0”的逆否命题是()logfx log2aA若 0，则函数 （a0,a1）在其定义域内不是减函数log2a)lfxB若 0，则函数 （a0,a1）在其定义域内不是减函数C若 0，则函数 （a0,a1）在其定义域内是减函数l(lfD若 0，则函数 （a0,a1）在其定义域内是减函数a)og9设 aR，若函数 y=ex+ax, xR 有大于零的极值点，则Aa Ba Ca Da11e1e10设 a, bR，若 0，则下列不等式中正确的是bA 0 Ba 3+b30 Cb+a0 D 02b二、填空题：本大题共 5 小题，考生作答 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分.（一）必做题（11-13 题）11为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了 20 位工人某天生产该产品的数量.产品数量的分组区间为 ，5,6,7，由此得到频率分布直方图如图 3，则这 20 名工人中一75,8,9天生产该产品数量在 的人数是 .5,7 图 30.0400.0350.0300.0250.0200.0150.0100.0050 45 55 65 75 85 95 产品数量频率组距12若变量 x，y 满足 则 的最大值是_240,5,xy32zxy13阅读图 4 的程序框图，若输入 ， ，则输出4m6n， ai（注：框图中的赋值符号“ ”也可以写成“ ”或“ ”）:（二）选择题（14-15 题，考生只能从中选做一题）14.（坐标系与参数方程选做题）已知曲线 C1 与 C2 的极坐标方向分别为 ， （ 0，0 0,02xyb如图 6 所示，过点 F（0,b+2）作 x 轴的平行线，)(82yx与抛物线在第一象限的交点为 ，已知抛物线在 点的切线经过G椭圆的右焦点 ，1F（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；（2）设 分别是椭圆的左右端点，试探究在抛物线上是否存,AB在点 ,使 为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由P（不必具体求出这些点的坐标） 21 （本小题满分 14 分）设数列 满足 ， ，数列na12,a123nna(3,4)满足 b1=1，b n(n=2,3,)是非零整数，且对任意的正整数 m 和自然数 k，都有n（1）求数列 和 的通项公式；mmk nb（2）记 ，求数列 的前 n 项和 Sn.nnca(,2 c2008 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）(文科)全解析AyxO BGFF1图 6一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。1.第二十九届夏季奥林匹克运动会将于 2008 年 8 月 8 日在北京举行，若集合 A=参加北京奥运会比赛的运动员，集合 B=参加北京奥运会比赛的男运动员 。集合 C=参加北京奥运会比赛的女运动员，则下列关系正确的是A.A B B.B C C.AB= C D.BC=A【解析】送分题呀!答案为 D.2.已知 0a2，复数 (i 是虚数单位)，则|z| 的取值范围是zaA.(1, ) B. (1, ) C.(1,3) D.(1,5)35【解析】 ，而 ，即 ， ,选 B.12z2012a5z3.已知平面向量 ， ，且 / ，则 （ ）(,)(,bmb3A、 B、 C、 D、(5,48)(,6)(2,4)【解析】排除法:横坐标为 ,选 B.64.记等差数列的前 项和为 ，若 ，则该数列的公差 （ ）nnS240SdA、2 B、3 C、6 D、7【解析】 ,选 B.4213Sd5.已知函数 ，则 是（ ）2()cos)ifxxR()fxA、最小正周期为 的奇函数 B、最小正周期为 的奇函数2C、最小正周期为 的偶函数 D、最小正周期为 的偶函数【解析】 ,选 D.2221cos4()1cos)incosinsixfxxxx6.经过圆 的圆心 C，且与直线 垂直的直线方程是（ ）220y0yA、 B、 C、 D、10y10y【解析】易知点 C 为 ，而直线与 垂直，我们设待求的直线的方程为 ，将点 C 的(,)x xb坐标代入马上就能求出参数 的值为 ，故待求的直线的方程为 ,选 C.(或由图形快速排bx除得正确答案.)7.将正三棱柱截去三个角（如图 1 所示 A、B、C 分别是 三边的中点）得到的几何体如图 2，则GHI该几何体按图 2 所示方向的侧视图(或称左视图) 为【解析】解题时在图 2 的右边放扇墙(心中有墙), 可得答案 A.8. 命题“若函数 在其定义域内是减函数，则 ”的逆否命题是（ )log(0,1)afxlog20a）A、若 ，则函数 在其定义域内不是减函数log0al,fxaB、若 ，则函数 在其定义域内不是减函数2()()aC、若 ，则函数 在其定义域内是减函数l log0,1fD、若 ，则函数 在其定义域内是减函数a数学文科试题 A 第 5 页（共 8 页）【解析】考查逆否命题,易得答案 A.9、设 ，若函数 ， ，有大于零的极值点，则（ ）aRxyeaRA、 B、 C、 D、111e1ae【解析】题意即 有大于 0 的实根,数形结合令 ,则两曲线交点在第一象限,结合图x 2,xya像易得 ,选 A.a10、设 ，若 ，则下列不等式中正确的是（ ）,bR|bA、 B、 C、 D、03a20ab【解析】利用赋值法:令 排除 A,B,C,选 D.1,0二、填空题：本大题共 5 小题，考生作答 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分.（一）必做题（11-13 题）11.为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查 了 20 位工人某天生产该产品的数量.产品数量的分组区间为 ，,， 由此得到频率分布直方图如5,6,75,8,95图 3，则这 20 名工人中一天生产该产品数量在 的人数是 .5,7【解析】 ,故答案为 13.20(.1)312.若变量 x，y 满足 则 z=3x+2y 的最大 值是_。4025,xy【解析】画出可行域,利用角点法可得答案 70.13.阅读图 4 的程序框图，若输入 m=4,n=3,则输出 a=_,i=_。（注：框图中的赋值符号“” ，也可以写成“”或“：” ）【解析】要结束程序的运算，就必须通过 整除 的条件运算，而同时 也整除 ，ma那么 的最小值应为 和 的最小公倍数 12，即此时有 。a 3i（二）选择题（14-15 题，考生只能从中选做一题）14.（坐标系与参数方程选做题）已知曲线 的极坐标方程分别为12,C，则曲线 交点的极坐标为 cos3,4cs(0,)【解析】我们通过联立解方程组 解得 ,即两cos3(0,)4236曲线的交点为 .(23,)615.（几何证明选讲选做题）已知 PA 是圆 O 的切点，切点为 A，PA2.AC 是圆 O 的直径，PC 与圆 O 交于 B 点，PB 1，则圆 O 的半径 R=_.【解析】依题意，我们知道 ,由相似三角形的性质我们有 ,即PBAC:2PBRA。2321PAR三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.（本小题满分 13 分）已知函数 的最大值是 1，其图像经过点 。()sin()0,),fxAaxR1(,)32M（1）求 的解析式；（2）已知 ，且 求 的值。(232(),(),5fff【解析】 （1）依题意有 ，则 ，将点 代入得 ，而1()sin)fxMsin()， ， ，故 ；0536(si)cofxx（2）依题意有 ，而 ， ，2cos,s13,0,2223415n1(),sin()53。346()()cosin5f17.（本小题满分 12 分）某单位用 2160 万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少 10 层、每层 2000 平方米的楼房.经测算，如果将楼房建为 x(x10)层，则每平方米的平均建筑费用为 560+48x（单位：元）.为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？（注：平均综合费用平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用 ）购 地 总 费 用建 筑 总 面 积【解析】设楼房每平方米的平均综合费为 f（x）元，则216010856048564fxxx,xZ, 令 得 2f5当 时， ；当 时，1ff因此 当 时，f（x）取最小值 ；51520f答：为了楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为 15 层。18.（本小题满分 14 分）如图 5 所示，四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是半径为 R 的圆的内接四边形，其中 BD 是圆的直径， 。60,4,ABDCADPB（1）求线段 PD 的长；（2）若 ，求三棱锥 P-ABC 的体积。1PCR【解析】 （1） BD 是圆的直径 又 ,90B AD:, ;ABD22 34sin613RBAD(2 ) 在 中，RtC:cos5又 , 底面 ABCD22291PRPC D90PAD2132131sin6044ABS R: :三棱锥 的体积为 . 23PABCABVS:19.（本小题满分 13 分）某初级中学共有学生 2000 名，各年级男、女生人数如下表：初一年级 初二年级 初三年级女生 373 x y男生 377 370 z数学文科试题 A 第 7 页（共 8 页）已知在全校学生中随机抽取 1 名，抽到初二年级女生的概率是 0.19.（1） 求 x 的值；（2） 现用分层抽样的方法在全校抽取 48 名学生，问应在初三年级抽取多少名？（3） 已知 y 245,z 245,求初三年级中女生比男生多的概率.【解析】 （1） 09380x（2）初三年级人数为 yz2000（373377380370）500，现用分层抽样的方法在全校抽取 48 名学生，应在初三年级抽取的人数为： 名4850122（3）设初三年级女生比男生多的事件为 A ，初三年级女生男生数记为（y，z） ；由（2）知 ，且 ,基本事件空间包含的基本事件有：50yz,N（245，255） 、 （246，254） 、 （247，253） 、（255，245）共 11 个事件 A 包含的基本事件有：（ 251，249） 、 （252，248） 、 （253，247） 、(254,246 )、(255,245) 共 5 个()1P20.（本小题满分 14 分）设 ，椭圆方程为 ，抛物线方程为 如图 6 所示，过点0b21xyb28()xyb作 轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为 ，已知抛物线在点 的切线经过椭圆的右(2)F， GG焦点 1（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；（2）设 分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点 ，使得 为直角AB， PAB三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标） 【解析】 （1）由 得 ，28()xyb218xb当 得 ， G 点的坐标为 ，yb4(4,)， ，4|1x过点 G 的切线方程为 即 ，(2)ybx2yb令 得 ， 点的坐标为 ，由椭圆方程得0y21F(,0)1F点的坐标为 ， 即 ，即椭圆和抛物线的方程分别为 和 ；(,) 21xy28(1)xy（2） 过 作 轴的垂线与抛物线只有一个交点 , 以 为直角的 只有一个，AxPABRtABP同理 以 为直角的 只有一个。PBRtAB若以 为直角，设 点坐标为 ， 、 两点的坐标分别为 和 ， 21(,)8x(2,0)(,)。22415()086x:关于 的二次方程有一大于零的解， 有两解，即以 为直角的 有两个，APBRtABP因此抛物线上存在四个点使得 为直角三角形。ABP21.（本小题满分 14 分）设数列 满足 ， ， 。数列 满足na12a12()3nna(3,4)n nb是非零整数，且对任意的正整数 和自然数 ，都有 。1,(2,3)b mk11mmkb（1）求数列 和 的通项公式；（2）记 ，求数列 的前 项和 。nb(,)nncb ncnS【解析】 （1）由 得 12()3nna112()3nnaa(3)n又 ， 数列 是首项为 1 公比为 的等比数列，2101 1123nna3243()()()()n n，