第14章相对论习题解答

第 14 章 相对论基础习题14.1 一观察者测得运动着的米尺长为 0.5m，问此米尺以多大的速度接近观察者？解：米尺的长度在相对静止的坐标系中测量为 1m，当米尺沿长度方向相对观察者运动时，由于“长度收缩”效应，观察者测得尺的长度与相对运动的速度有关。设尺的固有长度为 L，由长度收缩效应 ，得21cL182 sm06.1c14.2 一张正方形的宣传画边长为 5m，平行地贴在铁路旁边的墙上，一高速列车以 的速度接近此宣传画，问若是高速列车上的乘客测量该画的18sm02边长为多少？解：由题意得，在垂直于相对运动的方向上，画的高度不变，在平行于相对运动的方向上，长度变短。由长度收缩效应公式 m7.312 cL乘客测量的尺寸为 。2m7.3514.3 从地球上测得，地球到最近的恒星半人马座 S星的距离为 m10346.。某宇宙飞船以速率 =0.99c 从地球向该星飞行，问飞船上的观察者将测得地球与该星间的距离为多大？解：飞船上的观察者认为地球与 S星的距离是运动的，故长度收缩。即m10.61520cl14.4 如果地面上的观察者测得彗星的长度等于随彗星运动的观察者所测得的一半，求彗星相对于地面的速率是多少？解：根据长度缩短公式，有 ，又已知201cvl210l所以 18sm6./314.5 一根米尺静止在 系中，与 ox轴成 3角，如果在 S 系中测得米尺S与 ox 轴成 45角， S相对于 S 的速率（沿 ox 轴正向运动）必须是多少？ S 系测得的米尺的长度是多少？解：设米尺在 系中的长度为 ，坐标为 ，在 系中长度为 ，坐 0l0,yxSl标为 。在 系中看来，米尺仅在 方向缩短 倍， 方向上长度不yx,S 21y变。故有 m5.03sin0ly4ctgx所以 7.2yl由 ，并将 ， 代入上式，得201cx0x03c214.6 一个在实验室中以 0.8c 的速率运动的粒子，飞行 3m 后衰变，实验室中的观察者测量，该粒子存在了多长时间？由一个与该粒子一起运动的观察者来测量，这粒子衰变前存在多长时间？解：在实验室（ 系）测量，该粒子存在的时间为Ss1025.38.088st在与该粒子一起运动的参考系（ 系）中测量，该粒子衰变前存在的时间为Ss105.7192 ct14.7 在惯性系 S 中观察到有两个事件发生在某一地点，其时间间隔为4.0s，从另一惯性系 S中观察到这两个时间间隔为 6.0s 。求从 S系测量到这两个事件的空间间隔是多少？设 S系以恒定速率相对于 S 系沿 xx轴运动。解：由相对论时间膨胀效应可知，在 系中测得在 系中的同一地点发生的两个事件的时间间隔 要比在 系中测得的 长，即有：tSt21ctt由此可得 系相对于 系的速率为：S ctc3512此两事件在 系中的空间间隔为S m104.9 tx14.8 一观察者看到 A、 B 两宇宙飞船以 0.99c 的速率彼此离开，求从一个飞船上看到另一个飞船的速率为多大？解：设观察者静止于 系， 系固定于船 A，并以船 A 的飞行方向为 x 轴S正向，由题意， 系相对于 系的速率为 ， 系的观察者测得船 B 的 c9.0S速率为 ，由洛仑兹速度变换式得cux9.0 cucxx 5.12 所以从一个飞船上看到另一个飞船的速率为 9.014.9 火箭 A 以 0.8c 的速率相对于地球向正北飞行，火箭 B 以 0.6c 的速率相对于地球向正西飞行，求由火箭 B 测得火箭 A 的速度大小和方向。解：设 系固定于地球， 系固定于火箭 B，正东为 x 轴正方向，正北为SSy 轴正方向，火箭 A 为运动物体。根据题意， 系相对于 系的速度为S，且 ， ，由洛仑兹速度变换式得c6.00zxucy8.，cxx6.12cucxy64.012 所以火箭 B 测得火箭 A 的速度 的大小为ucyx87.02 与 x 轴（正东）的夹角为： 346)/(cos114.10 S 系中有一原长为 L0的棒沿 x 轴放置，并以速率 u 沿 xx轴运动，有一 系以速率 v 相对于 S 系沿 xx轴运动。求从 系测量此棒的长度为多少？ S解：设棒相对于 系的速率为 ，由于棒和 系相对于 系的运动方向相 u同，根据洛仑兹速度变换式，有（1）uc21由长度收缩公式可知，在 系中测得速率为 的运动直棒的长度为S（2）20cl将（1）代入（2）中，得 2220 202 )(11cucll 14.11 两个婴儿 A、 B 分别在相距 的两所医院里同时出生。若一m10.3宇宙飞船沿两医院的连线方向由 A 向 B 飞行时，测得 A、 B 出生地相距为。求宇航员认为 A、 B 是同时出生的吗？m10.3解：将 系和 系分别固定于地面和飞船，并使 xx轴正向沿飞行方向。将S和 代入相对论长度收缩公式.23xm10.3x21cvx得飞船的速率为 c23又根据公式 ，得 21/vxts105. t负号表示离坐标原点近的婴儿 A 后出生。14.12 静止时测得一立方体的体积为 V0 ，质量为 m0 。现沿某一棱的方向以速率 运动进行测量，求其体积和密度各为多少？解：静止观察者测得的长、宽、高分别为 00zyx有相对运动时，测量值为， ，201cvx0y0z则相应的体积为 20201VvzyxV相应密度为 20201cVmmV14.13 当电子的运动速率达到 =0.98c 时，求（1）其质量 m 等于多少？（2）此时电子的动能等于多少？解：（1）由相对论质量公式，有kg1082.451320cm（2）由相对论动能公式，有 J103.320cmEk14.14 一被加速器加速的电子，其能量为 。试问（1）这时电子eV.9的质量是其静止质量的多少倍？（2）此时电子的速率是多少？解：（1）根据质能关系，被加速的电子的运动质量为 ，故此时电2cEm子质量 与其静止质量 之比为m0 3201086.5cmE（2）由相对论的质量公式 ，得21ccm985.0214.15 一个粒子的动量为非相对论动量的 2 倍，问该粒子的速率是多少？解：按题意有 2100mcP非解之得 18s06.23c14.16 把一个静质量为 m0的粒子，从静止加速到 0.01c 的速率时，外力需对粒子做多少功？又从 0.89c 加速到 0.9c 时，外力需做多少功？比较两种情况下的结果，说明了什么？解：由动能定理，得 202022011 51cmccmcEA 20202232 1.89.19.01 cmccmEA 结果说明在高速情况下，要想提高粒子的速度需要更多的能量。14.17 若一电子的总能量为 5.0MeV，求该电子的静能、动能、动量和速率。解：粒子的静能 是指粒子在相对静止的参考系中的能量。由相对论质能0E关系得 MeV512.020cm由相对论动能定义可得电子的动能为 e48.0Ek由相对论动量与能量关系式 ，得电子的动量为22cp1210smkg6.1由 ，可得电子速率为201cE cEc95.0214.18 中子星质量 m 1.510 30kg，半径 R ，设想双生子甲、510.乙生活在上面，甲在表面，乙在距中心坐标 2R 处，求在甲 70 岁时，乙的年龄是多大？解： 应用引力时间延缓公式RcGmdtt21乙乙甲甲 RcGmdtdt 221乙甲乙甲 Rcdt221212）（）（ 甲乙乙甲 Gmtt应用泰勒公式忽略高阶无穷小）（） （ 甲乙乙甲 RcdtRcdt 2211）（） （ 甲乙乙甲 Gmtt 22 ）（） （ 乙甲 51630516309.07.109.7. dtdt ）（） （ 乙甲 23.58.tt94.0乙甲 d岁甲 .77t14.19 珠峰 8.4km 高处放置一只钟，比放置在海平面的钟走得快，不计地球转动影响，只考虑引力，求珠峰上的钟 100 年内快多少时间？已知：地球质量 me = 5.981024 kg ，地球半径 Re = 6.378106 m ，山顶距地心 R 山 = 6.386106 m 。 解：应用引力时间延缓公式RcGdtt21山山 RcGmdtmdtee 221山山 Rcdtee2121