[工学]材料力学ii第一章 材料力学 孙训方

材 料 力 学 电 子 教 案 1 1 非对称纯弯曲梁的正应力 1 2 两种材料的组合梁 1 3 开口薄壁梁的切应力 弯曲中心 1 4 开口薄壁截面梁约束扭转的概念 1 5 平面大曲率杆纯弯曲时的正应力第一章 弯曲问题的进一步研究1材 料 力 学 电 子 教 案 1 1 非对称纯弯曲梁的正应力当梁具有一个纵向对称平面，且外力作用在该对称平面内时，梁将发生对称弯曲 (图 a)， 材料力学 () 中已研究了该情形下梁横截面上的正应力。第一章 弯曲问题的进一步研究(对称轴 )Fzy(a)xyz F2材 料 力 学 电 子 教 案当梁不具有纵向对称平面，或梁虽具有纵向对称平面，但外力作用面与该平面间有一夹角，梁将发生非对称弯曲 (图 b)。 本节研究非对称弯曲时，梁横截面上的正应力。第一章 弯曲问题的进一步研究z FyxFzy(b)zyF对称轴z3材 料 力 学 电 子 教 案三角形截面纯弯曲梁如图 (a)所示，图中， x为梁的轴线， y,z为任意一对相互垂直的形心轴。横截面上弯矩 M的矢量方向和 y轴的夹角为 j， M 在 y,z 轴上的分量分别为 My和 Mz。 . 非对称纯弯曲梁正应力的普遍公式 第一章 弯曲问题的进一步研究4材 料 力 学 电 子 教 案几何方面 试验表明，非对称弯曲时，平面假设依然成立，设横截面的中性轴为 n n(位置未定 )，距中性轴为 h(图b)的任一点的线应变为式中， r为变形后中性层的曲率半径。(1)第一章 弯曲问题的进一步研究5材 料 力 学 电 子 教 案物理方面 横截面上各点 仍 为单轴应力状态，并设材料在线弹性范围内工作，且拉伸和压缩时的弹性模量均为 E， 横截面上任一点的正应力为(2)第一章 弯曲问题的进一步研究6材 料 力 学 电 子 教 案静力学方面 法向内力元素 s dA组成的内力分别为将 (2)式代入 (3)式，得(3)(4)(5)第一章 弯曲问题的进一步研究7材 料 力 学 电 子 教 案因为 ，必有可见，中性轴 n n通过横截面的形心。设中性轴 n n和 y轴的夹角为 q， 如图所示。由图可见将上式代入 (2)式，得第一章 弯曲问题的进一步研究8材 料 力 学 电 子 教 案将 (6)式代入 (4),(5)两式，并注意到可得第一章 弯曲问题的进一步研究9材 料 力 学 电 子 教 案联解以上两式，得将 (7)， (8)两式代入 (6)式，得(1 1)式称为 广义弯曲正应力公式 。(1-1)第一章 弯曲问题的进一步研究10材 料 力 学 电 子 教 案由 (7)和 (8)式可以解出中性轴和 y轴的夹角 q为由 (1-2)式可以确定中性轴的位置。令 (1-1)式中也可以得到 (1 2)式。第一章 弯曲问题的进一步研究11材 料 力 学 电 子 教 案横截面上的最大拉应力和最大压应力分别发生在距中性轴最远的 D1和 D2点处，如图 a,b所示。把 D1和 D2点的坐标 (y， z)代入 (1 1)式，可以得到横截面的 st， max和 sc， max。(1-1)式也可以用于计算细长梁横力弯曲时，横截面上的正应力。第一章 弯曲问题的进一步研究12材 料 力 学 电 子 教 案 . 广义弯曲正应力公式的讨论广义弯曲正应力公式 (1 1)适用一切弯曲情况下梁横截面上正应力的计算，分述如下：（ 1） 梁具有纵向对称平面 xy， 且外力作用在该平面内(对称弯曲 ,平面弯曲 )。上式即为对称弯曲时，梁横截面上的正应力计算公式，式中的负号是因为 (1-1)式中 Mz为负值。第一章 弯曲问题的进一步研究令（ 11 ）式中， My= 0 , Mz=M , Iyz= 0 , 得(1-1)13材 料 力 学 电 子 教 案(2) 梁不具有纵向对称平面，但外力作用在梁的形心主惯性平面内，或外力作用面与形心主惯性平面平行图 a所示 Z字形截面梁，图中 y,z轴为形心主惯性轴 (Iyz=0)， xy， xz均为形心主惯性平面。弯矩 M位于 xy面内 (M的矢量沿 z轴 )。将 My=0， M=Mz， Iyz=0代人 (1-1)式，得第一章 弯曲问题的进一步研究(a)(1-1)14材 料 力 学 电 子 教 案上式表明，只要外力作用在形心主惯性平面内，或者外力作用面平行于形心主惯性平面时，对称弯曲时的正应力公式仍然适用。由 (1-2)式，得，即说明中性轴为 z轴，梁只绕 z轴弯曲，梁的挠曲线和外力均在xy平面内，或外力所在平面和挠曲线平面平行，即梁发生平面弯曲。第一章 弯曲问题的进一步研究15材 料 力 学 电 子 教 案图 b所示 Z字形截面梁，其 y,z轴为形心主惯性轴，弯矩 M的矢量与 y轴的夹角为 j，把 My=M cosj，Mz = M sinj， 及 Iyz = 0代入（ 1-1）式，得第一章 弯曲问题的进一步研究(3) 梁不具有纵向对称平面，外力也不作用在形心主惯性平面内(1-1)(b)16材 料 力 学 电 子 教 案中性轴公式成为即中性轴不再垂直于 M(外力 )作用平面 (中性轴不沿 M的矢量方向 )。外力和挠曲线不在同一平面内，梁产生斜弯曲。因为第一章 弯曲问题的进一步研究所以上式右端的第一项表示 xz平面内弯曲时的正应力，第二项表示 xy平面内弯曲时的正应力。可见外力不作用在形心主惯性平面内时，可将外力向两个形心主惯性平面内分解，分别计算两个形心主惯性平面内的弯曲正应力，将二者叠加可得到横截面上任一点的正应力。17材 料 力 学 电 子 教 案(4) 梁具有纵向对称平面，但外力作用面与纵向对称平面有一夹角。第一章 弯曲问题的进一步研究这种情况，是情况 3的特例，已在材料力学 （ ） 的 8 2中研究过。18材 料 力 学 电 子 教 案例 1 3 已知： Iy=28310-8 m4， Iz=1 93010-8 m4，Iyz=53210-8 m4， s=170 MPa。 求 q。第一章 弯曲问题的进一步研究19材 料 力 学 电 子 教 案由于 q 作用线沿 y轴，所以 My=0。 由图 b可见， Mmax=MC=Mz。Mz的矢量方向沿 z 轴的负方向，所以由 (1 2)式，得中性轴 n n位置如图 c所示。由图可见， st,max和 sc,max分别发生在 C截面的D点和 E点。该两点到中性轴的距离相等， D点的坐标为第一章 弯曲问题的进一步研究解： 1. 用广义弯曲正应力公式计算20材 料 力 学 电 子 教 案按 (1-1)式，可得 D点的强度条件为把有关数值代入上式，得 q=23.1kN/m第一章 弯曲问题的进一步研究21材 料 力 学 电 子 教 案2. 叠加法 将 Mz = MC沿形心主轴 y0， z0方向分解 (图 d)，分别计算两个平面弯曲时的正应力，然后进行叠加。由材料力学 () 附录 () 的 ( 13)式确定形心主轴的位置，即形心主轴 y0， z0的位置如图 d所示。第一章 弯曲问题的进一步研究zy0yz0D(d)22材 料 力 学 电 子 教 案由材料力学 ( )附录 ( )的 ( 14)式，得形心主惯性矩分别为沿形心主轴 y0， z0弯矩的分量分别为第一章 弯曲问题的进一步研究23材 料 力 学 电 子 教 案D点在 y0， z0坐标中的坐标的绝对值分别为第一章 弯曲问题的进一步研究zy0yz0D(d)24材 料 力 学 电 子 教 案D点的强度条件为解得第一章 弯曲问题的进一步研究zy0yz0D(d)可见，当形心主轴位置未知时，利用广义弯曲正应力公式计算较为方便。25材 料 力 学 电 子 教 案 1 2 两种材料的组合梁 由 1, 2两种材料组合成一个整体的矩形截面梁如图 a所示。设 1, 2两种材料的弹性模量分别为 E1和 E2，且 E1E2，第一章 弯曲问题的进一步研究横截面面积分别为 A1和 A2。 现在分析该梁在纯弯曲时横截面上的正应力。弯矩 M 作用在纵向对称平面内，且 M 为正。26材 料 力 学 电 子 教 案图中， y为对称轴， z为中性轴 (位置未定 )。设平面假设依然成立，变形后中性层的曲率半径为 r， 横截面上距中性轴为 y的任一点的线应变为线应变沿高度的变化规律如图 b所示。(1)第一章 弯曲问题的进一步研究27材 料 力 学 电 子 教 案当材料均在线弹性范围内工作时，横截面上材料 1,2两部分的正应力分别为(2)第一章 弯曲问题的进一步研究正应力沿高度的变化规律如图 c所示28材 料 力 学