第1章 函数、极限与连续

第一章函数、极限与连续内容概要名称主要内容（1.1、1.2）邻域（即 ）axaU, ,Uaxa（000 ,0x）两个要素：对应法则 以及函数的定义域fD由此，两函数相等 两要素相同；（与自变量用何字母表示无关）解析表示法的函数类型：显函数，隐函数，分段函数；局部有界性对集合 ，若存在正数 ，使对所有 ，恒有 ，称XMXxMxf函数 在 上有界，或 是 上的有界函数；反之无界，即任意正数xff（无论 多大） ，总存在（能找到） ，使得Mx0xf0局部单调性区间 ，对区间上任意两点 ，当 时，恒有：DI2121，称函数在区间 上是单调增加函数；21xffI反之，若 ，则称函数在区间 上是单调减小函数；fI奇偶性设函数 的定义域 关于原点对称；若 ，恒有 ，xfDDxxff则称 是偶函数；若 ，恒有 ，则称 是奇xf函数；函数函数特性周期性若存在非零常数 ，使得对 ，有 ，且TTx，则称 是周期函数；xfff几类基本初等函数：幂函数；指数函数；对数函数；三角函数；反三角函数；初等函数 反函数求法和性质；复合函数性质；初等函数课后习题全解习题 1-1 1求下列函数的定义域：知识点：自然定义域指实数范围内使函数表达式有意义的自变量 x 的取值的集合；思路：常见的表达式有 ,（ ） , （ ） alog0/N0A(0) （ ）等arcsinA1,解：（1） ；1,0,1022 xxxxy（2） ；311arcsin（3） ；3,0,003rta xxxy（4） ；,1,1,101lg3 orx（5） ；4,2,160)6(lo221 xyx 2下列各题中，函数是否相同？为什么？（1） 与 ；（2） 与2lg)(xf xlg)(1xyy知识点：函数相等的条件；思路：函数的两个要素是 （作用法则）及定义域 D（作用范围） ，当两个函数作用法则 相同（化简 f f后代数表达式相同）且定义域相同时，两函数相同；解：（1） 的定义域 D= ， 的定义域2lg)(xfRx,0xgl)(，,0RxD虽然作用法则相同 ，但显然两者定义域不同，故不是同一函数；xl2l（2） ，以 为自变量，显然定义域为实数 ；1xy R，以 为自变量，显然定义域也为实数 ；两者作用法则相同“ ”21与自变量用何记号表示无关，故两者为同一函数； 3设 ，求 ，并做出函数3,0,sin)(xx )2(4()6(，的图形)(y知识点：分段函数； 思路：注意自变量的不同范围；解： ， ，216sin)(24sin24sin；如图：03x323图 1-1-3y0 4试证下列各函数在指定区间内的单调性 ： （1） （2） ，1,xy xyln,0知识点：单调性定义。单调性是局部性质，函数在定义域内不一定有单调性，但是可以考查定义域的某个子区间上函数的单调性的问题 。思路：利用单调性的定义即可。解： （1）设 ， ，当 时，1x2,21x，由单调性的定义知是单调增函数；0212121 y（2）设 ， 2x,0， ，11x21212121 ln)()ln()l( xy 由 ， 2x,0， ，知 ，故 （对数函数的性质） ，则有121x10l21， 得结论是单调增函数； 21y 5设 为定义在 内的奇函数，若 在 内单调增加，证明： 在)(xfl,)(xfl,0)(xf0,l内也单调增加知识点：单调性和奇偶性的定义。思路：从单调增加的定义出发，证明过程中利用奇函数的条件；证明：设 ， 则 ，2121,0, xlx 1221),0(, xlx由 在 内单调增加得， ，又 为定义在 内的奇f0ff fl,函数，则（1）式变形为 ，即 ，则结论成立。12xff12xff 6设下面所考虑函数的定义域关于原点对称，证明：（2） 两个偶函数的和仍然是偶函数，两个奇函数的和是奇函数；（3） 两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，偶函数与奇函数的乘积是奇函数。知识点：函数奇偶性定义，奇偶性是函数的整体性质。本题可作为结论应用。思路：按定义证明即可。证明：设函数 定义域分别是 （ 是关于原点对称区间） ；xgf, 21,D21,（1）设 ，定义域为 ，显然 也关于原点对称，xF当 均为偶函数时， ， 得f, xFgxfgxfF为偶函数；x当 均为奇函数时， ，得xgf, xxfxf 为奇函数；xF（2）令 ，定义域为 ， 关于原点对称，xfG21D21当 均为奇函数时， ，得g, xGgxfgxfG)(为偶函数；xF当 均为偶函数时， ，得 为 xf, xfxfx F偶函数；当 为一奇一偶时， ， 得gf, GgfgfGxG为奇函数； 7下列函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数，哪些既非奇函数又非偶函数？（1） ； （2） ； （3） ；1sectanxy2xeyxeycos（4） 。知识点：函数奇偶性定义，奇偶性是函数的整体性质； 思路：按定义证明，尤其先判断函数定义域是否关于原点对称，并利用基本初等函数的性质；解： （1） ，显然既不等于 ，也1sectan1sectanxxxf xf不等于 ，故是非奇非偶函数；f下面三个函数的定义域为全体实数 ，关于原点对称R（2） ，故是偶函数；xfexfxx2（3） ，故是偶函数；ff cos（4） ，故是奇函数；xxx 8下列各函数中哪些是周期函数？并指出其周期：（1） ； （2） ； （3） 。1cosyytany2sin知识点：函数周期性。思路： 利用定义，及基本初等函数性质，或已知结论，可按已知结论（如弦函数，CxAycs则最小正周期 ，切函数也有类似结论） 。2T解： （1）由弦函数周期公式知最小正周期 ；2T（2）对正数 ， ，而切函数周期是 的整数倍，故本题函数xxf tan不是周期函数；（3） ，则最小正周期2cos1sin2y2T9证明： 在 上是无界函数；xfi,0知识点：无界函数定义。思路：证明函数在某区间上是无界的，只需证对 （无论 有多大） ， ，使其0M),0(x函数值 即可。Mxf|0证明：对于任意正数 ，要使 Mxf|sin| ， M考虑当 ，Zkx,22| k要使 ，只要 ） ，取k(,210 （无论 有多大） ， ，使得 ，0M0kxMxxf|sin| 00 在 上是无界函数xfsin,（注 1： 取值只要并且确保 即可，因此取 也可；0kMkf220k注 2：数学符号“ ”表示“任意” ；“ ”表示“存在” ；“ ”表示“使得” 。 ） 10火车站行李收费规定如下：当行李不超过 50kg 时，按每千克 3/20 元收费，当超出 50kg 时，超重部分按每千克 1/4 元收费，试建立行李收费 （元）与行李重量 之间的函数关系式。xfkgx知识点：函数关系的建立。思路：认清变量，关键是找出等量关系。解：。3 305,05,20 2115 5,44xxx xf f 11收音机每台售价为 90 元，成本为 60 元，厂方为鼓励销售商大量采购，决定凡是订购超过 100 台的，每多订一台，售价就降低一分，但最低价为每台 75 元a) 将每台的实际售价 表示为订购量 的函数；pxb) 将厂方所获得利润 表示成订购量 的函数；Lc) 某一商行订购了 1000 台，厂方可获利润多少？ 知识点：函数关系的建立，以及经济函数； 。cxff)(0)(思路：分清变量及函数关系，经济函数关系总利润 （总收入） (总成本) 。LRC解：售价恰好降到 75 元时需订购的台数位 ，则16759（1）：。90 , 011(),675 , xpx（2）： 2906,01160,675,3,011605, xxLRCpxxx（3） （元） 。2103012L习题 1-2 1求下列函数的反函数：（1） ； （2） ；;xy1xy知识点：反函数求法；思路：解出 的过程即为求反函数的过程，直接函数的因变量变为反函数的自变量；解：（1） （习惯上自变量用字母 表xyxyxy 111 x示）（2） yyyyxxx log1222。1log2 2设 ，求 ， ；xxf0,1f2xf知识点：分段函数的定义；思路：代入即可；解： 1, 1,000, ,xxfxfx 1,0101,012222 xxfxxf 3设函数 ， ，求 ，f3sin2ff知识点：复合函数定义；思路：逐层代入即可：解： ， ；21sin12f 83213f， ，0f03ff 0ff4设 ，求 和 。x1xf知识点：函数的复合；思路：同上题，逐层代入即可。解： ， （ ） ；xxff 211 1,2x，xxff 321定义域 。1 ,2 , : ,1 ,: DxD 5已知 ， ，求 。xfcossinxf知识点：函数复合；思路：换元法令 （此种方法要求 易解） ， 、 分别用 、 代；tt1 xt1换元法将 的表达式化成用 表达的式子（需要技巧） ，再令 代换；xfxt解： 用法： ，2sin2cos12sinxxff 令 （自变量与用何字母表示无关） 。2sinxfttfxt 6设 的定义域是 ，求：f1,0（1） ; （2） ； （3） （ ） （4）xxfsinaxff021xf知识点：复合函数的定义域；思路： 的定义域是 ，表明若有 ，则 ；xf1,0Af1,0解：（1） ；,2x（2） Zkkkx 12,12,0,0sin（3） ，当 时，即 时，结果为axa1,1, a0； 当 时，结果为 ； 1,2（4） 1,0,2xx 7设 ，求：（1） 的定义域； （2）2fxf 21xf知识点：函数定义域及函数复合；思路：略。解：（1） ，故定义域为全体实数 ；Rxx220 R（2） 2222 xxff 222)(11 xxxf 8 fsin， ，求 及其定义域；21f知识点：函数的复合及定义域；解： ， kxxxf 21arcsini2 的自然定义域为 ，即x1内容概要名称 主要内容（1.3，1.4，1.5）数列极限定义（ ）：任意给定正数 （无论多小） ，总存在正整数 ，使得对于NNn时的一切 ，总有 成立，则 ；nxan axnlim极限的唯一性；收敛数列必有界；收敛数列的保号性；1.3数列极限数列极限的性质： 子数列收敛性；Axflim函数 当 大于某正数时有定义，如果对任意给定正数 （无xf 论多小） ，总存在正数 ，使对满足 的一切 ，总有XXxxfAxf0lim函数 在 的某一去心邻域有定义，如果对任意给定正数x0（无论多么小） ，总存在正数 ，使对满足 的一切 ，0xx总有 xf1.4函数的极限 函数极限定义单侧极限xli且AfxliAxfxlimxfxlixfxlim0单边极限 xfx0li且Afx0li Axfx0limAxfx0li函数极限的性质：唯一性，有界性，保号性，子序列的收敛性；定义：极限为零的变量（函数） ；1. 的充要条件是 ，其中 是Axf0li Axf当时的无穷小；02.有限个无穷小的和仍是无穷小；无穷小定理：定理函数表示：无穷小性质：3.有界函数与无穷小的乘积是无穷小；定义：任意给定正数 (无论多大),当 (即存在正数 ,当M0x0x时),总有 ；xf正无穷大，负无穷大统称为无穷大；1.5无穷小与无穷大（以 0x）为例 无穷大无穷大一定是无界变量，但无界不一定是无穷大；习题 1-3 1观察一般项 如下的数列 的变化趋势，写出它们的极限：nxnx（1） ； （2） ； （3） ； （4） ；n31312nx2nx（5） xn知识点：数列定义。思路：写出前几项，观察规律。解：（1） ；81,279,30（2） ；,54,（3） ；2,125627,81 （4） ；1,04,1,32 nx（5） 。4,2利用数列极限定义证明：（1） （ 为正常数） ； （2） ； （3） 。0limkn 41limn0sin2limn知识点：极限定义。思路：按定义即可。证明：（1） ：对任意给定的正数 ，要使 ，即 ，只要取01likn 0knnk1，则对任意给定的 ，当 时，就有 ，即kN1N1k 0limkn（注，只要保证 的取值能够让 以后的所有项的值满足式即可，因此 可取大于或等于Nk1的整数） ；（2） ：对任意给定的正数 ，要使 ，只要431limn3174(41)nn，取 ，则对任意给定的 ，当 时，就有 ，7667N0N43 431lin（3） 0si2m证明：由于 ，21i2nn因此对任意给定的正数 ，要使 ，只要 ，即0si2 21n12n（计算时为方便不妨设 ，因为前面的有限项对极限无影响）n取 ，则对任意给定的 ，当 时，就有 ，21NnN0si2 0sinlim2n 3设数列 的一般项 。问 求出 ，使得当 时， 与其极x2cos1?limnxnNnx限之差的绝对值小于正数 。当 时，求出 。N知识点：数列极限定义思路：按极限定义即可解： 观察可得： ，证明该结果如下：02cos1limnn由于 ，因此对任意给定的正数 ，要使 ，只要 ，02cos102cos1nn1即 ，取 （ 取大于或等于 的整数都可以） ，则对任意给定的 ，当n1N时，就有 ， 。02cosn02cos1limnn当 时，可取 。10 4设 ，证明数列 没有极限。sinanna知识点：判定数列极限不存在的方法思路：若某数列极限为 ，则其任意子列的极限都为 ，因此，若某两个子列极限不同，则说明原数AA列极限不存在。证明：令 ，则得子列 ，当 时， ；Nkn,2 2sin12kakk则 ；klimsi10取另一个子列 ，Nkn,4得 ，2)1(si114 ak 2sin14k当 时， ，则 ；nklimiklim14综上，原极限不存在。 5设数列 有界，又 ，证明： 。nx0liny0linyx知识点：数列有界及数列极限定义思路：有条件可知 ； ，如何让两者结合，证明 成立，是解决问题的关键。nM1n n证明：数列 有界，则存在正常数 ，使对任意 ，都有 ，则 ；nx nxMnnxy ，则对任意正数 ，存在 ，当 时，有 ； 0limy1N1则对于任意正数 ，取 ,由可知：存在自然数 ，当 时，有 ，1MNn1nyM从而有： ，nxy 0lim 6对数列 ，若 ， ，证明 。nxak12li axk2limaxnli知识点：子列极限和原数列极限的对应关系；思路：对 ，根据条件，寻找使 成立的 的范围。0n证明：对于 ，由 ，则存在 ，当 时， ；axk12li1N1-2kaxk12由 ，则存在 ，当 时， ；km取 ，当 时， （无论 还是 ）21,axNn2knkn都有 ，即 。naxli习题 1-4 1在某极限过程中，若 有极限， 无极限，试判断： 是否必无极限。fgxgf知识点：函数极限性质思路：举例说明即可解： 可能有极限，举例如下：xgf令 ， ， ， 不存在，但 ；x1sin0lmxgli 01sinlm0xx2用函数的极限定义证明：（1） ； （2） 3limxx silx（3） ； （4）1li2x 21limx知识点：函数极限定义思路：对于 ，找出符合要求（比如（1）中要求 ）的 范围，即找到描述自0 3xx变量范围的 或 ；为了找到 或 ，有时需要对不等式作适当的放缩。XX证明：（1）任意正数 ，要使 即 ；,123xAxf 1只要取 ， 当 时，有 ，即 ；1XXx32x32limxx（2） 任意正数 ， ，Af 10sin当 ，即 时， ，x121ix取 ，当 时（因为已知 ） ，有 ，即 2X00sinx0sinlmxx（3）由于 （为找到 中的 ，不妨将 范围限制,121xAxf 2在内，因为 时 的极限，只和 附近的 所对应的函数值 有关）210()f0x()fx不妨设 ，则 ，则 ，x253x231对任意正数 ，要使 ，只要 ， 2取 ，当 时， 与 同时成立，21,3min0x213xx有 ,xfAlim2x（4） ，不妨设 ，则 ，则xxf 12123x，1x对任意正数 ，要使 ，只要 ，2x2/1x取 ，当 时， ，1,min012xfA 2li1xx 3当 时， ，问 等于多少，使得当 时， ？4y20x014y知识点：函数极限定义思路：由于考察的是 时函数的极限，所以不妨在 （即 ）范围内讨论，这2x21x3x样的方法在极限证明中经常用到。解： （不妨设 ） ，则31，要使 只要245yxx50x0125x取 ，则当 时，0.25 204y（注： 还可选取比 小的数，只要保证 即可）14y 4求 2limnxf知识点：数列极限；解： （所用到的性质见第六节） ；220,0,li 1linnxxfx 5讨论函数 当 时的极限。xf0知识点：左右极限；思路：求分段函数在分段点处的极限，首先要分别求出左右极限；又 且Afx0limAfx0liAxfx0lim解： ，1,f ； ；lili00xxf 1lili00_ xxf 不存在m() 6证明：如果函数 当 时的极限存在，则函数 在 的某个去心邻域内有界。xf0xf0知识点：函数极限和局部有界的定义证明：设 ，则对于任意正数 ，存在正数 ，当 时，有 Ax0li 0Axf，即 ，取 ，则 ；f |,|maxAMMf当 时， 。0xf 7判断 是否存在，若将极限过程改为 呢？ xe1lim0x知识点：函数极限，以及指数函数性质（图像）解： ；（严格来说要再用极限定义证明，但可省略，下同）10lixex；10xx，1lim0e故 不存在xe10lim习题 1-5 1判断题：（1） 非常小的数是无穷小；（2）零是无穷小；（3） 无穷小是一个函数； （4）两个无穷小的商是无穷小； （5） 两个无穷大的和一定是无穷大； 知识点：无穷小，无穷大的定义和性质；思路：略。解：（1）错，因为无穷小是指极限为 0 的变量，而不是非常小的数。（2）对，因为 0 的极限为 0，所以 0 是无穷小，只有零作为常函数的的时候才是无穷小，其他常数都不可能是无穷小（3）对（4）错，两个无穷小的商未必是，例如 00limli1xx（5）错，如： 时， 及 ， 都是无穷大，但 是无穷小，而 是无x2xx2穷大 2指出下列哪些是无穷小量，哪些是无穷大量（1） ； （2） ； （3）n0cos1inx2412x知识点：无穷小，无穷大的定义；思路：求出极限即可（并利用无穷小倒数是无穷大的结论）解：（1）是无穷小量； （2）是无穷小量； （3） ，则 是无穷大量；0142x2412x 3根据极限定义证明： 为 时的无穷小；xy1sin知识点：函数极限定义； 思路：按定义证明；证明：即要证 ：0silm0xx由于 ，对任意正数 ，当 时，就有 ，则取 ，1inxx1sin当 时， ，证毕。x0x1sin 4求下列极限并说明理由：（1） ； （2） ； （3） ；x3lim24li0xxxcos1lim0知识点：无穷小和无穷大的关系；思路：先将函数作一定的化简；解：（1） （依据无穷大的倒数是无穷小）3lilixx（2） 2lim2li4lim0020 xxx（3） ，又无穷小的倒数是无穷大，故cos1cos。xs1li05函数 在 内是否有界？当 时，函数是否为无穷大？为什么？xy, x知识点：函数有界的定义及无穷大的定义；无穷大一定是无界的，但无界未必无穷大；本题为无界变量不是无穷大的典型例子。思路：证明不是无穷大，只需要找到 时，函数 的一个无穷子列，其极限不是无ycos穷大即可。解：对任意 ，总可以取 ，有1MMx20Mx20 在 上是无界的； xycos,又因为当 时， ；此时 ，2kxk 02cos2limkk 不是 时的无穷大xycos6设 时， 是有界量， 是无穷大量，证明： 是无穷大量。0xgxf xgf知识点：函数局部有界和无穷大的定义。思路：可利用不等式 ，及已知条件： 是有界量， 是无穷()ffgf大量，证明结论。证明： 时， 是有界量，知存在正常数 及 ，当 时，0xg1M10x；1Mg对任意常数 （无论有多大） ，不妨设 ， 时， 是无穷大量，10xf对于 ，存在正常数 ，当 时， ；M2220xMxf2综上，无论 多大，总可以取 ，当 时，1,min0和 同时成立；1xg2xf则有 成立，即 是无穷大量。Mff 1xgf 7设 时， （ 是一个正的常数） ， 是无穷大量，证明： 是0x xgf无穷大。知识点：无穷大的定义；证明： 是无穷大量，则对任意 ，存在正常数 ，当 时， xf 01M0x，又 ，这时 ，由 的任意性，知1Mfg1xgf1M是无穷大。x内容概要名称 主要内容（1.6,1.7,1.8,1.9）1极限四则运算性质；2复合函数极限运算法则； 1.6极限运算 3求极限的其他技巧：如约掉非零的无穷小或分子（分母）有理化；利用定理：有界量与无法则 穷小的乘积为无穷小1夹逼准则准则 2单调有界准则：单调有界数列必有极限；极限 ， （或 ） ；0sinlmA10lieAA 1limeAA1.7极限存在准则，两个极限 柯西极限存在准则无穷小的比较（定义）：高阶；低阶；同阶及等价； 阶无穷小。k几个等价无穷小公式：（ 内可填变量或函数，如：当 时0x）22sinl(1)xx当 时， ； ； ； ；0AsiAtanrcsiAartnl1A； ； ；e1Al1.8无穷小的比较定理： 充要条件是o1函数 在 的某邻域有定义，若在 处 取得微小增量 时，函数的增xf00xx量 也很小，且 ，则称 在 连续；ylimyxf定义2若有 ，则称则称 在 连续；00lifxx0左连续： 00limfx右连续： 00lixfx在 连续当且仅当 在 既左连续又右连续xf0f0x基本初等函数在定义域内是连续的；初等函数在定义区间内是连续的；当 ，称为可去间断点，此时可重新Axff00补充函数的定义： ，使之在 连续；f00x 第一类：左右极限都存在当 ，称为跳跃间断点；0xxf当 或 ，时，称为无穷间断点0f1.9函数的连续与间断 间断点分类 第二类：左右极限至少有一个不存在 当 的极限过程中，函数值不断震荡，称 为振荡间断0x0x点习题 1-6 1计算下列极限： （1） ； （2） ； （3） ；13lim2x12lim1x21limxx（4） ； （5） ; （6） ； 3li24x 458li24x x34li20（7） ； （8） ； （9） ；hxh0li21lix xxecosli（10） ； （11） ； （12） ；3821limxx 232limx x21lim（13） ； （14） ； （15） ；xarctnli31lix 5023lixx（16） ；li22x知识点：极限求法思路：参照本节例题给出的几种极限的求法解：（1） ， 2233lim()0,li(1)4xx013lim2x（2） ；lili1li 12121xxx（3） ；2lixlixxli2lix（4） ；013lim13li 4224xxxx（5） ；li586li424xx 32li4x（6） ；x3lim20 231lim0x 21lim20xx（7） ；hh0li hh0li 0li()h（8） 21li2li121li xxxx（9） ， ，lim0,lixxee1lim0xe说明 是无穷小，而 是有界量，1xcos lixxe（10） 3821limx 31)2(li38xx 31)2(8lim38xx121834li6xx 2138li46x（11） ， ；23222lim()16,li0xx232limx（12） ；x2li xx 221li 21li2xx（13） ， ，而 是有界量，故 ；01arctn0arctnlix（14） ；31limxx 321limx21lim1xx（15） ，本题利用本节有理分式的极限规律，只要找20505022li x到分子分母的最高次项比较即可，分子的最高次项由 的 次方与 的 次方乘积所得，即x3x20，而分母的最高次项由 的 次方所得，即 ；无需确切计算分子分母；203x2505（16） 11limxx 1li 2222 xxx，11li22xx当 时， ；22当 时， ；x 1122 xx故 不存在lim2x 2计算下列极限：（1） ； （2） ； nn12li 2131limnn（3） ； （4） 。35limn 31lin知识点：数列极限求法；思路：（1） （2）需要先化简被求极限的式子， （3） （4）则利用有理分式极限的求法；解：（1） ；nn211li2 21lim1n（2） ；213limnn 2)(li2nn（3） ；3515（4） ；23692li3nn 3 设 ，分别讨论 及 时 的极限是否存在？xxf10,2, 0x1xf知识点：分段点处函数的极限；左右极限；思路：分段点函数的极限要左右极限分别求；解： 当 时， ， ；故 不存在；0x20lim(1)x0li(32)xxf0lim当 时， ， ，故 ；1x21x 21x 4已知 及 ， ，求：4lifcxligclihcx（1） ； （2） ； （3） ； （4） fgcxlimfcxli xgfcxlimxhfcxlim（5） xhgclim知识点：函数极限四则运算性质；思路：按性质求；解： （1） ；41lilixfgfccx（2） ；0limlilimxgfhgfhccxcx（3） ；cxli 4x（4） ；hf0lilihfccx（5） ，而无穷小的倒数是无穷大，故 ；limligcxcx xhg 5若 ，求 的值；432li3kx知识点：函数极限；思路：分析求极限的过程，求出 的值；解： 32lim3xkx 23 3li lim(1)x xxkk，故必有 ，即 ；3li(1)4x 0方法二：可由1-8 节无穷小比较来解：当 时， ；故此时必有 ，x002kx故 ；k 6若 ，求 ，及 的值；01lim2baxx ab知识点：同上；解： baxxbaxbax 121212，则由 知，必有baxx1lim2121limbxax 0，解得：012,01ba 1,ba习题 1-7 1计算下列极限：（1） ； （2） ； （3） ； （4） xxsin2co1lm0；x5tnlim0xxcotli0xxsintalim0（5） ；（6） ； （7） ； （8） ；xcosli0 xsnlix3rci2li0xil0知识点：两个重要极限；思路：当函数用三角函数和幂函数表达时，可考虑变形成 ，其中 ；但本题解法不是唯一sinA的，可用下一节的等价无穷小代换来解更容易；解：（1） ； （2） ；x5tanlim05cos1il0x 1cosinlmcotli00 xxx（3） 1coslisnlisinlsitanli 0000 xxxxxx（4） ； 2ilmsin2lsinco1lm000xxx（5） ； 2sinli2sinlicos1li 000 xxxx（6） ；1limliinlm00ttttx （7） ，则 ；arcs0x 0arcs2liinli33snx txt（8） ；000n1in1ililsislsnxxx 2计算下列极限：（1） ； （2） ； （3） ；（4）xx10limxx102limxx31limkxx1liNk（5） ；（6） ； （7） ； （8） 31lixx xxali xxe10lixx1lni0知识点：重要极限： （或 ）10limeAA 1lieAA思路： 将函数表达式化成 （或 ） ，并利用指数函数运算性质10liAlimAA（ ）得出结果nmnmnee,解：（1） ； 111()00 0lili lix xxx xe（2） ； 11200lim2lixxx e（3） ；3330lili1lim1xxxx e（4） ； kxxkx li1li（5） 1333 1li1lilim xxxx；3/1li1xx ex（6） ；22 1/limli lim1axaxxxx xa e（7） exeexxx 1010lili（8） ；122000limnlinlimnln11 xxxx e3设 ， 求 。s,21,0fxxxf0li知识点：分段函数的极限思路：可以先将 化成 或 ，以利用已知的函数表达式； 或者，由已知xf1ftf，求出 的表达式，再求 。1xf x0lim解：方法一： 换元： ，由已知1li0 tftxft， 则 ；11snlim()it tfsinli0x方法二： 令 ，则 ，代入已知得xtxsinsin1,02,12,t ttft ftt t，则 ；sin,12,xfx1sinsinlmli00 xxf 4已知 ，求 。3lim2xxcc知识点：同题 2思路： 同题 2解： ；2lili13lnxxccxce5利用极限存在准则定理证明：（1） ； （2）12lim22 nnn 1lim0nx知识点：夹逼准则思路： 关键是将被求极限的式子放缩；可将分子或分母改变，最好改变后式子可以化简且极限易求解：（1） 222222 11111 nnnnn ，而 ，222 1limli2nn由夹逼准则，知 121lim22 nnn （2） ，在求 时的极限时，不妨设 ，nx110x：当 ，有 ，且 ，由夹逼准则，知 ；0xn1lim1lim0nx：当 ，有 ，且 ，由夹逼准则，知 ；x10xx 综上， ；1lim0nx6 利用极限存在准