湖南师大附中2019届高三理科数学上学期月考试卷 一附解析

湖南师大附中 2019 届高三理科数学上学期月考试卷 一附解析湖南师大附中 2019 届高三月考试卷(一)数 学(理科)命题人：朱海棠 贺祝华 张天平 欧阳普审题：高三数学备课组时量：120 分钟 满分：150 分一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设复数 zxyi，其中 x，y 是实数，i 是虚数单位，若 y1ixi，则复数 z 的共轭复数在复平面内对应的点位于(D)A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【解析】由已知，y(1i)(xi)x1(1x)i，则 yx1，且 1x0，即x1，y2.所以 zxyi12i，所对应的点(1，2)位于第四象限，选 D.2已知向量 a 与 b 的夹角是 3，且|a|1，|b|4，若(3ab)a，则实数 的值为(B)A.32 B32 C.23 D23【解析】由已知，(3ab)a0，即 3a2ba0，所以 320，即 32，选 B.3下列说法中正确的是(C)A若样本数据 x1，x2，xn 的平均数为 5，则样本数据 2x11，2x21，2xn1的平均数为 10B用系统抽样法从某班按学号抽取 5 名同学参加某项活动，若抽取的学号为5，16，27，38，49，则该班学生人数可能为 60C某种圆环形零件的外径服从正态分布 N(4，0.25)(单位：cm)，质检员从某批零件中随机抽取一个，测得其外径为 5.6 cm，则这批零件不合格D对某样本通过独立性检验，得知有 95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，则在该样本吸烟的人群中有 95%的人可能患肺病【解析】对于 A，若 x1，x2，xn 的平均数为 5，则 2x11，2x21，2xn1 的平均数为 25111，所以说法错误；对于 B，由抽取的号码可知样本间隔为 11，则对应的人数为 11555 人若该班学生人数为 60，则样本间隔为 60512，所以说法错误对于 C，因为 4，0.5，则(u3，u3)(2.5，5.5)，因为 5.6(2.5 ，5.5)，则这批零件不合格，所以说法正确对于 D，有 95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指对该样本所得结论：“吸烟与患肺病有关系”有 95%的正确性，所以说法错误选 C.4已知 2x21xn(nN*)的展开式中各项的二项式系数之和为 128，则其展开式中含 1x 项的系数是(A)A84 B84 C24 D24【解析】由已知，2n128，得 n7，所以 Tr1Cr7(2x2)7r1xr(1)r27rCr7x143r.令 143r1，得 r5，所以展开式中含 1x 项的系数为(1)5275C5784，选 A.5.已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且 f(x)在 R 上单调递增，若 a，b，c 成等差数列，且 b0，则下列结论正确的是(A)Af(b)0，且 f(a)f(c)0 Bf(b)0，且 f(a)f(c)0Cf(b)0，且 f(a)f(c)0 Df(b)0，且 f(a)f(c)0【解析】由已知，f(b)f(0)0.因为 ac2b0，则 ac，从而 f(a)f(c)f(c)，即 f(a)f(c)0，选 A.6设 x 为区间2，2内的均匀随机数，则计算机执行下列程序后，输出的 y 值落在区间12，3 内的概率为(C)A.34 B.58 C.12 D.38【解析】因为当 x2，0时，y2x14，1；当 x(0，2时，y2x1(1，5所以当 y12，3 时，x1，1，其区间长度为 2，所求的概率 P2412，选 C.7已知函数 f(x)sin 2x2sin2x1，给出下列四个结论：(B)函数 f(x)的最小正周期是 2；函数 f(x)在区间 8，58 上是减函数；函数 f(x)的图象关于直线 x8 对称；函数 f(x)的图象可由函数 y2sin 2x 的图象向左平移4 个单位得到其中正确结论的个数是A1 B2 C3 D4【解析】f(x)sin 2xcos 2x2sin2x4.因为 2，则 f(x)的最小正周期 T，结论错误当 x8，58 时，2x42，32，则 f(x)在区间 8，58 上是减函数，结论正确因为 f82 为 f(x)的最大值，则 f(x)的图象关于直线 x8 对称，结论正确设 g(x)2sin 2x，则 gx42sin 2x42sin2x22cos 2xf(x)，结论错误，选 B.8.已知命题 p：若 a2 且 b2，则 abab；命题 q：x0 ，使(x1)2x1，则下列命题中为真命题的是(A)Apq B(綈 p)q Cp(綈 q) D(綈 p)(綈 q)【解析】若 a2 且 b2，则 1a0，b0)的左、右焦点分别为 F1，F2，O 为坐标原点，若双曲线上存在点 M 满足|MF1|2|MO|2|MF2|，则双曲线的离心率为(C)A6 B3 C.6 D.3【解析】过点 M 作 x 轴的垂线，垂足为 A，因为|MO|MF2|，则 A 为 OF2 的中点，所以|AF2|c2，|AF1|3c2.设|MF2|m，则|MF1|2m.在 RtMAF1 中，|MA|24m294c2.在 RtMAF2 中，|MA|2m2c24，则 4m294c2m2c24，即 3m22c2.因为|MF1|MF2|2a，则 m2a，所以 3(2a)22c2，即 c26a2，所以 eca6，选C.12对于给定的正整数 n，设集合 Xn1，2，3，n，AXn ，且 A 记 I(A)为集合 A 中的最大元素，当 A 取遍 Xn 的所有非空子集时，对应的所有 I(A)的和记为 S(n)，则S(2 018)(D)A2 01822 0181 B2 01822 0171 C2 01722 0171 D2 01722 0181【解析】对于集合 Xn，满足 I(A)1 的集合 A 只有 1 个，即1；满足 I(A)2 的集合 A有 2 个，即2，1，2；满足 I(A)3 的集合 A 有 4 个，即3，1，3，2，3，1，2，3；满足 I(A)n 的集合 A 有 2n1 个，所以 S(n)122322n2n1.由错位相减法，得 S(n)(n1)2n1，所以 S(2 018)2 01722 0181，选 D.二、填空题，本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13已知 cos313，则 sin26_79_【解析】sin26sin232cos 232cos23179.14如图，在ABC 中，AD13DC，P 是线段 BD 上一点，若 APmAB16AC，则实数 m 的值为_13_【解析】因为 AD13DC，则 AC4AD，所以 APmAB23AD.因为 B，P，D 三点共线，则 m231，所以 m13.15已知函数 f(x)|2x1|a，若存在实数 x1，x2(x1x2)，使得 f(x1)f(x2)1，则 a 的取值范围是_(1，2)_【解析】令 f(x)1，则|2x1|a1.据题意，直线 ya1 与函数 y|2x1|的图象两个不同的交点，由图可知，0a11，即 1a2.16设数列an的前 n 项和为 Sn，已知 a11，且 Sn412nan(nN*)，则数列an的通项公式是 an_n2n1_【解析】当 n2 时，anSnSn112n1an112nan，则22nan12n1an1，即 annan12（n1） ，所以数列ann是首项为 1，公比为 12 的等比数列，则ann12n1，即 ann2n1.三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答(一)必考题：60 分17(本小题满分 12 分)如图，在平面四边形 ABCD 中，AB4，AD2，BAD60，BCD120.(1)若 BC22，求CBD 的大小；(2)设BCD 的面积为 S，求 S 的取值范围【解析】(1)在ABD 中，因为 AB4，AD2，BAD60，则BD2AB2AD22ABADcosBAD1642421212，所以 BD23.(3 分)在BCD 中，因为BCD120，BC22，BD23，由 BCsinCDBBDsinBCD，得sinCDBBCsinBCDBD22sin 1202322，则CDB45.(5 分)所以CBD60CDB15.(6 分)(2)设CBD，则CDB60.在BCD 中，因为 BCsin（60）BDsin 1204，则 BC4sin(60)(8 分)所以 S12BDBCsinCBD43sin(60)sin 4332cos 12sin sin 3sin 223sin23sin 23(1cos 2)3sin 23cos 2323sin(230)3.(11 分)因为 060，则 30230150，12b0)的一个焦点与抛物线 y243x 的焦点重合，且直线ybax 与圆 x2y210x200 相切(1)求椭圆 C 的方程；(2)设斜率为 k 且不过原点的直线 l 与椭圆 C 相交于 A、B 两点，O 为坐标原点，直线OA，OB 的斜率分别为 k1，k2，若 k1，k，k2 成等比数列，推断|OA|2|OB|2 是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由【解析】(1)因为抛物线 y243x 的焦点为(3，0)，则 c3，所以 a2b23.(2 分)因为直线 bxay0 与圆(x5)2y25 相切，则 5bb2a25，即 a24b2.(4 分)解得 a24，b21，所以椭圆 C 的方程是 x24y21.(5 分)(2)设直线 l 的方程为 ykxm(m0)，点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线 l 的方程代入椭圆方程，得 x24(kxm)24，即(4k21)x28kmx4m240，则 x1x28km4k21，x1x24m244k21.(7 分)由已知，k2k1k2y1y2x1x2（kx1m） （kx2m）x1x2，则 k2x1x2(kx1m)(kx2m)，即 km(x1x2)m20，所以8k2m24k21m20，即(14k2)m20.因为 m0，则 k214，即 k12，从而 x1x22m ，x1x22m22.(10 分)所以|OA|2|OB|2x21y21x22y22x21(kx1m)2x22(kx2m)2(k21)(x21x22)2km(x1x2)2m2(k21)(x1x2)22x1x22km(x1x2)2m2.544m22(2m22)2m22m25 为定值(12 分)21(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)exa(x1)，aR，e 为自然对数的底数(1)若存在 x0(1，)，使 f(x0)0，求实数 a 的取值范围；(2)若 f(x)有两个不同零点 x1，x2，证明：x1x2x1x2.【解析】(1)解法一：f(x)exa.(1 分)若 a0，因为 ex0，则 f(x)0，此时 f(x)在 R 上单调递增当 x(1，)时，f(x)f(1)e0，不合题意(2 分)若 a0，由 f(x)0，得 exa，即 xln a，则 f(x)在(ln a，)上单调递增，在(，ln a)上单调递减，所以 f(x)minf(ln a)eln aa(ln a1)a(2ln a)(4 分)据题意，ln a1，a（2ln a）e2，所以 a 的取值范围是(e2，)(5 分)解法二：当 x(1，)时，由 f(x)0，得 exexx1.(1 分)设 g(x)exx1(x1)，据题意，当 x(1，)时，ag(x)能成立，则 ag(x)min.(2分)因为 g(x)ex（x1）ex（x1）2（x2）ex（x1）2(x1)，(3 分)则当 x2 时，g(x)0，g(x)单调递增；当 1x2 时，g(x)e2，且 x1ln ax2，从而 2ln ax2ln a.因为 f(x)在(，ln a)上单调递减，所以只要证 f(x1)f(2ln ax2)，即证 f(x2)f(2ln ax2)(9 分)设 h(x)f(x)f(2ln ax)，则h(x)f(x)f(2ln ax)ex2ae2ln axexa2ex2a2exa2ex2a0，所以 h(x)在 R 上单调递增因为 x2ln a，则 h(x2)h(ln a)f(ln a)f(ln a)0，即 f(x2)f(2ln ax2)0，即 f(x2)f(2ln ax2)，所以原不等式成立(12 分)(二)选考题：共 10 分请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22(本小题满分 10 分)选修 44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线 C1 的极坐标方程为 4cos ，直线 l 的参数方程为 x1255t，y155t(t为参数)(1)求曲线 C1 的直角坐标方程及直线 l 的普通方程；(2)若曲线 C2 的参数方程为 x2cos ，ysin ( 为参数)，点 P 在曲线 C1 上，其极角为 4，点 Q 为曲线 C2 上的动点，求线段 PQ 的中点 M 到直线 l 的距离的最大值【解析】(1)由 4cos ，得 24cos .将 2x2y2，xcos 代入，得曲线 C1 的直