2019届高三数学上学期期初模拟试卷带答案江苏溧水高中

2019 届高三数学上学期期初模拟试卷带答案江苏溧水高中江苏省溧水高级中学期初模拟考试数学试题一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分1、若复数 z13i1i(i 为虚数单位)，则 2、已知集合 ， ，且 ，则实数 的值是 3、某高中共有 1 200 人，其中高一、高二、高三年级的人数依次成等差数列.现用分层抽样的方法从中抽取 48 人，那么高二年级被抽取的人数为 4、已知双曲线 的渐近线方程为 ，则实数 m= 5、执行下面的伪代码后，输出的结果是 6、从 1，2，3，4，5 这 5 个数中，随机抽取 2 个不同的数，则这 2 个数的和为偶数的概率是 7、若圆柱的侧面积和体积的值都是 ，则该圆柱的高为 8、在等比数列 中,已知 ， ，则 9、已知函数 是定义在 R 上的奇函数，且当 0 时， ，则不等式 的解集是 10、已知 m(cos，sin)，n(2，1)，2，2，若 mn1，则sin232 11、如图,在ABC 中，D 是 BC 上的一点已知 B=60，AD=2，AC= ，DC= ，则 AB= 12、如图，在 中， ， ， ， ，若 ，则 13、在平面直角坐标系 xOy 中，已知过原点 O 的动直线 l 与圆 C:x2+y2-6x+5=0 相交于不同的两点 A,B，若 A 恰为线段 OB 的中点，则圆心 C 到直线 l 的距离为 14、已知函数 f(x)2x23x，x0，exe2，x0.若不等式 f(x)kx 对 xR 恒成立，则实数 k 的取值范围是 二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15、(本小题满分 14 分)如图，已知直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，ABAC，D、E 分别为 BC、CC1 中点，BC1B1D求证：(1) DE平面 ABC1；(2) 平面 AB1D平面 ABC116、(本小题满分 14 分)在ABC 中，设角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且 acosC12cb.(1) 求角 A 的大小；(2) 若 a15，b4，求边 c 的大小17、(本小题满分 14 分)如图，已知椭圆 x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点为 F1，F2，P 是椭圆上一点，M 在PF1 上，且满足 F1MMP(R)，POF2M，O 为坐标原点(1) 若椭圆方程为 x28y241，且 P(2，2)，求点 M 的横坐标；(2) 若 2，求椭圆离心率 e 的取值范围18、(本小题满分 16 分)如图,某市有一条东西走向的公路 l,现欲经过公路 l 上的 O 处铺设一条南北走向的公路 m.在施工过程中发现在 O 处的正北方向 1 百米的 A 处有一汉代古迹.为了保护古迹,该市决定以 A 为圆心、1 百米为半径设立一个圆形保护区.为了连通公路 l,m,欲再新建一条公路 PQ,点 P,Q 分别在公路 l,m 上(点 P,Q 分别在点 O 的正东、正北方向),且要求 PQ 与圆 A 相切.(1) 当点 P 距 O 处 2 百米时,求 OQ 的长;(2) 当公路 PQ 的长最短时,求 OQ 的长.19、(本小题满分 16 分)已知 a 为实数，函数 f(x)alnxx24x（1）当 时，求函数 f (x)的极值；（2）若函数 f (x)在2, 3上存在单调递增区间，求实数 a 的取值范围；（3）设 g(x)2al nxx25x1ax，若存在 x01, e，使得 f(x0)g(x0)成立，求实数 a 的取值范围20、(本小题满分 16 分)已知数列an的各项都为正数，且对任意 nN*，a2n1，a2n，a2n1 成等差数列，a2n，a2n1，a2n2 成等比数列(1) 若 a21，a53，求 a1 的值；(2) 设 a1a2，求证：对任意 nN*，且 n2，都有 an1ana2a1.答案1、 ； 2、1； 3、16； 4、2； 5、28；6、 ； 7、3； 8、64； 9、 ；10、 ；11、 ； 12、 ； 13、 ； 14、 15、证明：(1) D、E 分别为 BC、CC1 中点， DEBC1.(2 分) DE 平面 ABC1，BC1 平面 ABC1， DE平面 ABC1.(6 分)(2) 直三棱柱 ABCA1B1C1 中，CC1平面 ABC， AD 平面 ABC， CC1AD.(8 分) ABAC，D 为 BC 中点， ADBC. CC1BCC，CC1，BC 平面 BCC1B1， AD平面 BCC1B1. BC1 平面 BCC1B1， ADBC1.(11 分) BC1B1D，B1DADD，B1D，AD 平面 AB1D， BC1平面 AB1D. BC1 平面 ABC1，平面 AB1D平面 ABC1.(14 分)16、解：（1）因为 mn3bcosB，所以 acosCccosA3bcosB由正弦定理，得sinAcosCsinCcosA3sinBcosB，3 分所以 sin(AC)3sinBcosB，所以 sinB3sinBcosB因为 B 是ABC 的内角，所以 sinB0，所以cosB137 分（2）因为 a，b，c 成等比数列，所以 b2ac由正弦定理，得 sin2BsinAsinC 9 分因为 cosB13，B 是ABC 的内角，所以sinB22311 分又 1tanA1tanCcosAsinAcosCsinCcosAsinCsinAcosCsinAsinCsin(AC)sinAsinCsinBsinAsinCsinBsin2B1sinB32414 分17.解：(1) x28y241， F1(2，0)，F2(2，0)， kOP22，kF2M2，kF1M24，直线 F2M 的方程为 y2(x2)，直线 F1M 的方程为 y24(x2)(4 分)由 y2（x2） ，y24（x2） ，解得 x65，点 M 的横坐标为 65.(5 分)(2) 设 P(x0，y0)，M(xM，yM)，F1M2MP，F1M23(x0c，y0)(xMc，yM)， M23x013c，23y0，F2M23x043c，23y0. POF2M，OP(x0，y0)，23x043cx023y200，即 x20y202cx0.(8 分)联立方程得 x20y202cx0，x20a2y20b21，消去 y0 得 c2x202a2cx0a2(a2c2)0，解得 x0a（ac）c 或 x0a（ac）c.(11 分)a12.综上，椭圆离心率 e 的取值范围为 12，1.(14 分)18.解：以 为原点，直线 、 分别为 轴建立平面直角坐标系设 与圆 相切于点 ，连结 ，以 百米为单位长度，则圆 的方程为 ，(1)由题意可设直线 的方程为 ，即 ， ， 与圆 相切， ，解得 ，故当 距 处 百米时， 的长为 百米6 分（2）设直线 的方程为 ，即 ， ， 与圆 相切， ，化简得 ，则 ，9 分令 ， ，当 时， ，即 在 上单调递减；当 时， ，即 在 上单调递增， 在 时取得最小值，故当公路 长最短时， 的长为 百米答：（1)当 距 处 百米时， 的长为 百米；（2）当公路 长最短时， 的长为 百米16 分19. （1）定义域为 ， ，令 ，则 当 时， ；当 时， 所以当 时 有极小值 ，无极大值.4 分(2) ，当 时， ， 在 上递增，成立；6 分当 时，令 ，则 ，或 ，所以 在 上存在单调递增区间，所以 ，解得 综上， .10 分（3）在1,e上存在一点 x0，使得 成立，即在1,e上存在一点 ，使得 ，即函数 在1,e上的最小值小于零有 当 ，即 时， 在 上单调递减，所以 的最小值为 ，由 可得 ，因为 ，所以 ；12 分当 ，即 时， 在 上单调递增，所以 最小值为 ，由 可得 ；14 分当 ，即 时，可得 最小值为 ，因为 ，所以， ，故 此时不存在 使 成立综上可得所求 的范围是： 或 16 分20. (1) 解：因为 a3，a4，a5 成等差数列，设公差为 d，则a332d，a43d.因为 a2，a3，a4 成等比数列，所以 a2a23a4（32d）23d.(3 分)因为 a21，所以（32d）23d1，解得 d2 或 d34.因为 an0，所以 d34.因为 a1，a2，a3 成等差数列，所以 a12a2a32(32d)12.(5 分)(2) 证明：(证法 1)因为 a2n1，a2n，a2n1 成等差数列，a2n，a2n1，a2n2 成等比数列，所以 2a2na2n1a2n1，a22n1a2na2n2.所以 a22n1a2n2a2n，n2.所以 a2n2a2na2na2n22a2n.因为 an0，所以 a2n2a2n22a2n.(7 分)即数列a2n是等差数列所以 a2na2(n1)(a4a2)由 a1，a2 及 a2n1，a2n，a2n1 是等差数列，a2n，a2n1，a2n2 是等比数列，可得a4（2a2a1）2a2.所以 a2na2(n1)(a4a2)（a2a1）na1a2.所以 a2n（a2a1）na12a2.所以 a2n2（a2a1） （n1）a12a2.(10 分)从而 a2n1a2na2n2（a2a1）na1（a2a1） （n1）a1a2.所以 a2n1（a2a1） （n1）a1（a2a1）na1a2.当 n2m，mN*时，an1ana2a1（a2a1）ma1（a2a1） （m1）a1a2（a2a1）ma12a2a2a1（a2a1） （m1）a1（a2a1）ma1a2a1m（a2a1）2a1（a2a1）ma10.(14 分)当 n2m1，mN*，m2 时，an1ana2a1（a2a1）ma12a2（a2a1） （m1）a1（a2a1）ma1a2a2a1（a2a1）ma1（a2a1） （m1）a1a2a1（m1） （a1a2）2a1（a2a1） （m1）a10.综上，对一切 nN*，且 n2，都有 an1ana2a1.(16 分)(证法 2)若 n 为奇数且 n3 时，则 an，an1，an2 成等差数列因为 an2an1an1anan2ana2n1an1an（2an1an）ana2n1an1an（an1an）2an1an0，所以 an2an1an1an.(9 分)若 n 为偶数且 n2 时，则 an，an1，an2 成等比数列，所以an2an1an1an.(11 分)由可知，对任意 n2，nN*，an2an1an1ana3a2.(14 分)因为 a3a2a2a12a2a1a2a2a12a2a1a21a22a2a1（a1a2）2a2a1，因为 a1a2，所以（a1a2）2a2a10，即 a3a2a2a1.综上，对一切 nN*，且 n2，都有 an1ana2a1.(16 分)江苏省溧水高级中学期初模拟考试数学附加题(满分 40 分，考试时间 30 分钟)21、B (选修 42：矩阵与变换)已知矩阵 A 1 21 4，求矩阵 A 的特征值和特征向量21、C (选修 44：坐标系与参数方程)已知曲线 C 的参数方程为 x2cost，y2sint(t 为参数)，曲线 C 在点(1，3)处的切线为l.以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求 l 的极坐标方程22、如图，在底面边长为 1，侧棱长为 2 的正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中，P 是侧棱 CC1 上的一点，CPm.(1) 若 m1，求异面直线 AP 与 BD1 所成角的余弦；(2) 是否存在实数 m，使直线 AP 与平面 AB1D1 所成角的正弦值是 13？若存在，请求出 m 的值；若不存在，请说明理由23、已知甲箱中装有 3 个红球,3 个黑球,乙箱中装有 2 个红球,2 个黑球,这些球除颜色外完全相同,某商场举行有奖促销活动,设奖规则如下:每次分别从以上两个箱子中各随机摸出 2个球,共 4 个球,若摸出 4 个球都是红球,则获得一等奖;摸出的球中有 3 个红球,则获得二等奖;摸出的球中有 2 个红球,则获得三等奖;其他情况不获奖,每次摸球结束后将球放回原箱中.(1) 求在 1 次摸奖中,获得二等奖的概率;(2) 若连续摸奖 2 次,求获奖次数 X 的分布列及数学期望 E(X).21B. 解：矩阵 A 的特征多项式为 f()1 2 1 4256，(2 分)由 f()0，解得 12，23.(4 分)当 12 时，特征方程组为 x2y0，x2y0，故属于特征值 12 的一个特征向量 121；(7 分)当 23 时，特征方程组为 2x2y0，xy0，故属于特征值 23 的一个特征向量 211.(10 分)21C. 解：由题意，得曲线 C：x2y24，切线 l 的斜率 k33，切线 l 的方程为 y333(x1)，即 x3y40，切线 l 的极坐标方程为 sin62.(10 分)22、解：(1) 建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(1，0，0)，B(1，1，0)，P(0，1，m)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，B1(1，1，2)，D1(0，0，2)(2 分)所以 BD1(1，1，2)，AP(1，1，1)cosBD1，APBD1AP|BD1|AP|26323，即异面直线 AP 与 BD1 所成角的余弦是 23.(5 分)(2) 假设存在实数 m，使直线 AP 与平面 AB1D1 所成的角的正弦值等于 13，则D1B1(1，1，0)，AD1(1，0，2)，AP(1，1，m)设平面 AB1D1 的法向量为 n(x，y，z)，则由 n