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工学研究生（工程硕士）公共课程最优化计算主讲教师：华南理工大学数学科学学院 蒋金山第 一 章线性规划的数学模型和基本性质例 1.1.1 某工厂拥有 A、 B、 C 三种类型的设备，生产甲、乙两种产品。每件产品在生产中需要占用的设备机时数，每件产品可以获得的利润以及三种设备可利用的时数如下表所示：产品甲 产品乙 设备能力（h）设备 A 3 2 65设备 B 2 1 40设备 C 0 3 75利润（元 /件） 1500 2500 问题：工厂应如何安排生产可获得最大的总利润？解：设变量 xi为第 i种（甲、乙）产品的生产件数（ i 1， 2）。 根据题意，我们知道两种产品的生产受到设备能力（机时数）的限制。对设备 A， 两种产品生产所占用的机时数不能超过 65，于是我们可以得到不等式： 3 x1 + 2 x2 65 ；对设备 B， 两种产品生产所占用的机时数不能超过 40，于是我们可以得到不等式： 2 x1 + x2 40 ；对设备 C， 两种产品生产所占用的机时数不能超过 75，于是我们可以得到不等式：3x2 75 ； 另外，产品数不可能为负，即 x1 ,x2 0 。 同时，我们有一个追求目标，即获取最大利润。于是可写出目标函数 z为相应的生产计划可以获得的总利润：z=1500x1+2500x2 。 综合上述讨论，在加工时间以及利润与产品产量成线性关系的假设下，把目标函数和约束条件放在一起，可以建立如下的线性规划模型：目标函数 max z =1500x1+2500x2 约束条件 s.t. 3x1+2x2 652x1+x2 403x2 75x1 ,x2 0 这是一个典型的利润最大化的生产计划问题。其中， “ Max” 是英文单词“ Maximize” 的缩写，含义为 “ 最大化 ”； “ s.t.” 是 “ subject to” 的缩写，表示 “ 满足于 ” 。因此，上述模型的含义是：在给定条件限制下，求使目标函数 z达到最大的 x1 ,x2 的取值。教材中的例1.1.1与本例类似。例 1.1.2 某公司经销一种产品，现要将三个生产点生产的产品分别运往四个销售点已知三个生产点的每日产量、各销售点的每日销量、以及每吨产品从各生产点到销售点的运价见下表 1.2试问该公司应如何调运产品，可在满足各销售点需要量的前提下，使总运费最少？一般形式 目标函数 ：Max(Min) z = c1x1 + c2x2 + + cnxn约束条件 ： a11x1+a12x2+a 1nxn( =, )b1a21x1+a22x2+ a2nxn( =, )b2 . . am1x1+am2x2 +
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