第四章计算机控制系统分析2lyapunov

3、李雅普诺夫稳定性分析在分析由状态方程描述的控制系统的稳定性中，李雅普诺夫稳定性分析具有重要的作用。这种方法有以下几个优点：第一，有可能在不解出状态方程式解的条件下确定系统的稳定性。第二，能求解线性或非线性，定常或时变系统的稳定性。特别是因为用其他方法求解非线性系统和（或）时变系统状态方程时较困难，所以这种方法就显出较大的优越性。虽然运用李亚普诺夫第 2方法需要有相当的经验和技巧 ,然而当其他方法无效时，这种方法却能解决一些非线性系统的稳定性问题。（ 1）李雅普诺夫函数李亚普诺夫函数是一个正定的标量函数。这个函数及其一次偏导数在域 中是连续的并使它沿轨迹对时间的导数总是为负定（或负半定）。 设状态方程式为设 为李亚普诺夫函数，其中 是状态方程的解定义李亚普诺夫函数的差分运算为假定存在标量函数 ,并在 上连续，且有： ， 对所有 当 时， 也达到无穷 , 对所有在李雅普诺夫第 2方法中，李亚普诺夫函数 和它对差分运算 的符号特征为我们提供了判断平衡状态处稳定性的准则，而不必直接求出方程的解 。 （ 2）李亚普诺夫稳定性定律设离散系统为满足上术条件时，平衡状态 （对所有 k值）是大范围渐近稳定的。其中 是李亚普诺夫函数。（ 3）李亚普诺夫不稳定性定律设离散系统为若存在标量函数 ，在 上连续，若 。若在有限范围内， 不是正半定的，即 ，则系统是不稳定的。当 时，对所有 ， 不是正半定的，则响应是无界的。例 4.8 设离散系统为试判断该系统的稳定性？解：取李亚普诺夫函数为 可见，对所有 ， ， 是正定的 而函数从上式可见，对所有 ， ， 是负定的，故该系统是渐近稳定的。例 4.9 设离散系统为试判断该系统的稳定性？ 解：取李亚普诺夫函数为上式可见， 是不定的，故该系统的稳定性判断无结果。从上式可见， 是不定的，因此，不能应用李雅普诺夫稳定性定理，进行该系统的稳定性判别。现转向应用李雅普诺言夫不稳定性定律进行判断。取李雅普诺夫函数为令 函数为（ 4.31） 从上式可见，对 ， 的所有值， 为负定的 .从 （ 4.32）比较（ 4.31）式与（ 4.32）式，得于是，从（ 4.31）式，得因为 是不定的，故稳定性判断仍无结果。（ 4）线性离散系统的李亚普诺夫稳定性定律但对线性定常离散系统， 的选择有一种简单的方法。现介绍如下。设离散系统为其中 G 为 维常数矩阵， 为 n 维向量，设平衡状 态 。从上面两个例子可见，用李亚普诺夫函数来判断系统稳定性，取决于 和 的正确选择，一般来说，选择 和 是十分困难的。若给定任意正定实对称矩阵 Q， 存在实对称矩阵P， 使满足于是 是李亚普诺夫函数 证明：该定理的证明是基于 Sylvester 定理。该定理表 述为：如果 P 是正定矩阵，则 是正定的，利用上述的李亚普诺夫函数，则进一步 ,可得将状态方程式 代入上式，得例 4.10 已知线性定常离散系统的状态方程为试确定系统在原点的稳定性。选取 ，依照 式 ,李雅普诺夫稳定方程为（ 4.37）从上述 Sylvester定理可见：若 是负定的，则 Q 必须是正定的。反之，若 Q是正定的，则 是负定的。这样平衡状态 是渐近稳定的。如果求得的是 P正定的，于是在原点 x=0 是大范围渐近稳定的。从方程（ 4.37），可写成下述 3个方程并可得显然的依照赛尔维斯特准则，矩阵是正定的。所以在原点 x=0的平衡状态，系统是大范围渐近稳定的。（ 5）采用李雅普诺夫稳定性方法进行最优状态反馈矩阵设计李雅普诺夫稳定性理论，可以用来设计最优状态反馈系统。设状态反馈离散系统结构图，如图 4.9所示图 4.9 状态反馈离散系统结构图-K系统的设计目标是：使任意状态，从任意初始位置 转移到平衡状态 ，并使某种意义上的量为最优时的反馈矩阵 K。系统的状态方程可表示为（ 4.38）其中控制作用 可表示为（ 4.39）假设该系统在 时是 渐近稳定 的。若给定一个实对称正定矩阵 Q， 存在着一个实对称矩阵 P， 并满足（ 4.40）则 ,李维普诺夫函数为以及因为 作为某一种最优指标，可选最优控制作用 ，在某一 k时刻，使下列性能指标极小，即（ 4.43）因为 表示 的离散变化率，因此可以用（4.43）式表示 的性能指标极小化，即在物理意义上为最优控制。例如， 可表示为 沿用轨迹的能量或距离的变化率。将状态方程式代入上式，得 使性能指标 为最优化，即，得