第四章计算机控制系统分析1稳定性分析

第四章 计算机控制系统分析4.1 稳定性分析任何系统 在 扰动作用下，都会偏离原来的平衡工作状态。所谓稳定性是指当扰动作用消失以后，系统恢复到原平衡状态的性能。若系统能恢复平衡状态，就称系统是稳定的，否则为不稳定的。系统的稳定性是系统固有特性，它与扰动的形式无关。因 (4.1)用 代入 这样，复变量 Z的模值 R及相角 与复变量 S的实部与虚部的关系是(4.2)（ 4.2）式就是 S平面与 Z平面的基本对应关系。 1. S平面与 Z平面的相互关系具体映射关系为：（ 1） S平面虚轴映射为 Z平面单位圆（ 为 0 ， )S左半平面映射在 Z平面单位圆内（为 负， ）S右半平面映射在 Z平面单位圆外（为 正， ）几何位置虚轴 =0 任意值左半平面 0 任意值几何位置单位圆周 =1 任意值单位圆内 1 任意值表 4.1 S平面与 Z平面关系(2）角频率与 Z平面相角关系角频率 与 Z平面相角的关系为 ,当 S平面的点沿虚轴由 变化到 时， Z平面的相角也从 变化到 .Z平面相角从 0变化到 （即旋转一周） ,相当 S平面 变化一个 。因此在 S平面虚轴上 从 变化到 时， Z平面上相角将转无穷多圈。 表 4.2 角频率 与 Z平面相角的关系 0 0 （ 3） S平面上的主带与旁带，重复映射在整个 Z平面上S平面上可划分成许多宽度为 的平行带子，其中 的带子（ 从 ）称为主带，其余均称为旁带。由于 Z平面的相角每隔一个 转一转，结果主带映射为整个 Z平面，而其余每一个旁带也都重叠映射在整个 Z平面上，见表 4.3、图 4.1、 4.2。表 4.3 主带与旁带映射在 Z平面上几何位置 几何位置主 带 整个 Z平面旁 带 整个 Z平面 图 4.2 旁带映射图 4.1 主带映射例 4.1 如图 4.3所示，在 S平面上有 3个点，分别为 ，若 ，求 Z平面的映射 。图 4.3 例 4.1的映射关系解： （ 4） S平面上实轴的平行线（即 等频率线 ），映射到 Z平面是从原点出发的射线； S平面上虚轴的平行线（即 等衰减系数线 ），映射到 Z平面是同心圆。见表 4.3，图 4.4，图4.5。 表 4.4 平行线的映射 几何位置 几何位置 实轴平行线常数 射线 0 + 常数虚轴平行线常数 同心圆 图 4.4 实轴并行线的映射图 4.5 虚轴并行线的映射 （ 5） S平面上等阻尼比线的映射设 S平面上有一对共轭复极点，它的二阶振荡系统特征方程 的根。(4.3)（ 4.3）式中， 为阻尼比， 为无阻尼自然振荡频率。图 4.6 等阻尼比较及其映射 式（ 4.4）表示，阻尼比 相同的特征根轨迹是从原点出发的射线。在该射线上，特征根的图 4.6（ a） 表示了特征根与 和阻尼振荡频率 之间的几何关系。从图中可见：(4.4)实部可用其虚部 来表示，即将上式映射至 Z平面得由上两式可见，当 （即阻尼比 ）为常值时，映射至 Z平面，其模值随 指数衰减，其相角随 线性增长，构成一条 对数螺旋线 ，见图 4.6（ b）。（ 6） S左半平面主带的映射。当 S平面的点沿主带左半平面的周边走 1圈时，其映射关系可用图 4.7表示。表 4-5 主带左半平面的映射 主带内正虚轴 上半圆周 1 平行负实轴 单位圆内的负实轴 1 0 平行负实轴 单位圆内的负实轴 0 1 主带内负虚轴 0 0 下半圆周 1路径 几何位置 几何位置 负实轴 0 0 单位圆内 正实轴 1 0 0表 主带左半平面的映射 主带内正虚轴 上半圆周 平行负实轴 单位圆内的负实轴 平行负实轴 单位圆内的负实轴 主带内负虚轴 下半圆周路径 几何位置 几何位置 负实轴 单位圆内 正实轴 图 4.7 S平面主带左半平面的映射通过图 4.7的说明，可以清楚地看到， S左半平面的主带是如何具体地映射到 Z平面单位圆内的。同理， S左半平面的旁带也可以同样方式重叠映射到 Z平面单位圆内。（ 7） S右半平面主带的映射主带右半平面的数学表达式为根据与前述相同的分析方法，可得出 S右半平面主带区在 Z平面上映射为单位圆的外部区域，如图 4.8所示。图 4.8 S平面主带右半平面的映射根据与前述相同的分析方法，可得出 S右半平面主带区在Z平面上映射为单位圆的外部区域，如图 4.8所示。2离散系统的稳定性根据 S平和 Z平面的映射关系，离散系统稳定的充要条件是系统的特征全根部位于 Z平面的单位圆内，只要有一个根在单位圆外，系统就不稳定。若系统的根位于单位圆上，系统处于稳定边界，亦称为系统不稳定。证明： 令离散系统的闭环脉冲传递函数为(4.5)若系统输入为 函数， ，系统的输出为(4.6)若该脉冲传递函数为 个单极点 ，则(4.7)反变换后 (4.8)要使系统稳定，当 时 , 衰减为零，(4.9) ，故 ，即特征根的模应小于 1，即位于单位圆内。上述结论，对 Y(z) 中 有重根时也成立 。为了解系统的稳定性，就需要求出它的全部特征根，但这对高阶系统是很困难的。下面介绍 Z平面的稳定性判断其他方法。4.2 离散控制系统的稳定性分析 本节首先讨论线性定常离散系统的稳定性分析，主要介绍z域中的朱雷（ Jury） 和劳斯稳定判据。进一步讨论李雅普诺夫稳定性分析。1 Z域中闭环系统的稳定性分析（ 1）朱雷（ Jury） 稳定判据在应用朱雷稳定判据时，首先根据 闭环 特征方程式的 的多项式的系数构造一个表格。为此，将式改写为(4.10)朱雷稳定性判别表的规范格式，如表 4.6所示。行123456表 4.6 朱雷稳定性判别表的规范格式在表 4.6中，第一、第二行的元素是由 多项式的各项系数组成的。第一行是按 的升幂次序排列；第二行是按 的降幂次序排列。 第三行到第 行的元素由下述行列式给出，即 （ 4.11）在表 4.6中，偶数行的各元素是它的前面奇数行的元素按相反次序排列而成。朱雷稳定判据是：当由 (4.6)式所示的系统的特征方程式满足下述条件时，那么该系统是稳定的，即(1） （ 2） （ 3） （ 4） 例 4.2 已知系统的特征方程式为试构成稳定判别表并写出稳定性条件解： 参照表 4.6，并考虑到 和 计算上的方便性，对表 4.6的格式略作修改后，可构成一个 4阶系统的稳定性判别表，如表 4.7所示。表 4.7 例 4.2 4阶系统的稳定判别表行 12345 在表 4.7中，每一行的左边给出了计算 和 的行列式，右边写出了 和 的值。该系统稳定的条件是（ 1） （ 2） （ 3） 偶数（ 4） 解： 首先列出 z多项式的系数为例 4.3 已知系统的特征方程式为试判别系统的稳定性。显然，第 1个条件， 是满足的。现检查第 2个条件，因为上式表明，至少有 1个根在 处，因此该系统最多是临界稳定的。现检查第 3个条件， 因为n=3=奇数 . 显然，第 3个条件是满足的。 现检查第 4个条件，由行列式 计算得 和 ，因此 ，所以第 4个条件也是满足的。由上述分析可见，该特征方程的根，有 1个处在单位圆上 ，其余两个根处在单位圆内，故该系统是临界稳定的。例 4.4 已知系统的开环脉冲传递函数为试用朱雷稳定判据，求闭环离散控制系统为稳定时的增益 K值的范围。解： 闭环脉冲传递函数为系统的特征方程式为因为这是 1个 2阶系统，所以稳定判据的条件是（ 1）（ 2）（ 3） 偶数因为，所以满足第 1个条件，可得或 满足第 2个条件，可得即 满足第 3个条件，可得即 同时满足上述 3个条件，可得增益 K的范围为必须指出，离散控制系统与连续系统不同，在离散控制系统里，采样周期是系统的一个重要参数，它的大小影响上述特征方程 中 z的各阶次的系数，可见对闭环系统的稳定性有明显的影响。现举例说明如下：例 4.5 已知某离散系统的 开环 传递函数为现讨论采样周期 T对系统稳定性的影响。解： 考虑零阶保持环节后，系统开环组合 Z传递函数为闭环系统的特征方程式为为了使系统稳定，要求特征根在单位圆内，即得， 取 ，则 ；取 ，则 ；取 ，则 。可见，当采样周期减小时，使系统稳定， 的范围将增大。结论： 采样系统的稳定性比连续系统差 ，如对开环传递函数 的连续系统，在 时均是稳定的。而在采样系统中， 必须限制在一定范围内。 采样周期 T也是影响稳定性的参数， T减小，稳定性增强（ 2）双线性变换的劳斯稳定判据分析离散控制系统稳定性的另一个方法是双线性变换的劳斯稳定判据。这种方法的优点是比较简单、直接。但相对朱雷判据来说，计算量比较大。在应用双线性变换的劳斯判据时，首先需要从 z平面变换到另一个 W 复平面中，所以称为双线性变换。现在定义双线性变换式为（ 4.12）由（ 4.12）式，可得（ 4.13） 从下面的分析中，可以得到证明，在 平面中的单位圆映象为 平面中的左半平面。 因为，在 平面中的单位圆内，可表示为将 W 分解为实部 和虚部 两部分。即（ 4.14）或（ 4.15）由 (4.15)式，得（ 4.16）即 （ 4.17）（ 4.17）式表明：在 z平面中的单位圆的内部 ，相当于 W