第十二章相关与回归分析

1第十二章 相关与回归分析四、名词解释1消减误差比例变量间的相关程度，可以用不知 Y 与 X 有关系时预测 Y 的误差 ，减去知道 Y 与 X0E有关系时预测 Y 的误差 ，再将其化为比例来度量。将削减误差比例记为 PRE。1E2 确定性关系当一个变量值确定后，另一个变量值夜完全确定了。确定性关系往往表现成函数形式。3非确定性关系在非确定性关系中，给定了一个变量值，另一个变量值还可以在一定范围内变化。4因果关系变量之间的关系满足三个条件，才能断定是因果关系。1）连个变量有共变关系，即一个变量的变化会伴随着另一个变量的变化；2）两个变量之间的关系不是由其他因素形成的，即因变量的变化是由自变量的变化引起的；3）两个变量的产生和变化有明确的时间顺序，即一个在前，另一个在后，前者称为自变量，后者称为因变量。5单相关和复相关单相关只涉及到两个变量，所以又称为二元相关。三个或三个以上的变量之间的相关关系则称为复相关，又称多元相关。6正相关与负相关正相关与负相关：正相关是指一个变量的值增加时，另一变量的值也增加；负相关是指一个变量的值增加时，另一变量的值却减少。7散点图散点图：将相关表所示的各个有对应关系的数据在直角坐标系上画出来，以直观地观察X 与 Y 的相互关系，即得相关图，又称散点图。8皮尔逊相关系数 r皮尔逊相关系数是协方差与两个随机变量 X、Y 的标准差乘积的比率。9同序对在观察 X 序列时，如果看到 ，在 Y 中看到的是 ，则称这一配对是同ijij序对。10异序对在观察 X 序列时，如果看到 ，在 Y 中看到的是 ，则称这一配对是异ij ij序对。11同分对如果在 X 序列中，我们观察到 （此时 Y 序列中无 ） ，则这个配对仅是 XijX=ij=方向而非 Y 方向的同分对；如果在 Y 序列中，我们观察到 （此时 X 序列中无） ，则这个配对仅是 Y 方向而非 X 方向的同分对；我们观察到 ，也观察到ij= ij，则称这个配对为 X 与 Y 同分对。六、计算题21对某市市民按老中青进行喜欢民族音乐情况的调查，样本容量为 200 人，调查结果示于下表，试把该频数列联表：转化为相对频数的联合分布列联表转化为相对频数的条件分布列联表；指出对于民族音乐的态度与被调查者的年岁有无关系，并说明理由。 年岁（X）对于民族音乐的态度（Y） 老 中 青 喜 欢 不喜欢38 38 3015 33 462已知十名学生身高和体重资料如下表， （1）根据下述资料算出身高和体重的皮尔逊相关系数和斯皮尔曼相关系数；（2）根据下述资料求出两变量之间的回归方程（设身高为自变量，体重为因变量） 。身高（cm） 171 167 177 154 169体重（kg） 53 56 64 49 55身高（cm） 175 163 152 172 162体重（kg） 66 52 47 58 50【皮尔逊相关系数：0.889，斯皮尔曼相关系数：0.94，回归方程：Y=-54.48+0.66X】3假定有不同文化程度的 3545 岁育龄妇女 100 人的生育情况如下表，求文化程度与平均生育数的相关系数 r。序号 一 二 三 四 五育龄妇女人数 20 20 20 20 20文化程度（年）平均生育数04.7463.3193.08122.41161.944某市有 12 所大专院校，现组织一个评审委员会对各校校园及学生体质进行评价，结果如下，试求环境质量与学生体质的关系的斯皮尔曼相关系数和肯得尔等级相关系数。环境名次 3 9 7 5 12 8 10 2 11 4 1 6体质名次 5 9 6 7 12 8 11 1 10 3 2 4【斯皮尔曼相关系数：0.94，肯德尔等级相关系数：0.83】5以下是婚姻美满与文化程度的抽样调查的结果，请计算婚姻美满与文化程度之Gamma 系数和肯德尔相关系数 c。文化程度 大学 中学 小学3婚姻美满美 满 9 16 5一 般 8 30 18不美满 3 4 7【 c=0.18】6以下为两位评判员对 10 名参赛人名次的打分。试用斯皮尔曼等级相关系数来描述两评判员打分的接近程度。参赛人 A B C D E F G H I J评判员 1评判员 21122433455866778991010【斯皮尔曼相关系数：0.95】7某原始资料为：X 65 73 91 88 76 53 96 67 82 85Y 5 7 13 13.5 7 4.5 15 6.7 10 11要求：（1）求回归方程；（2）这是正相关还是负相关；（3）求估计标准误差；（4）用积差法求相关系数。 【Y=-11.48+0.27X】 【正相关】 【相关系数r=0.95】8两变量 X、Y 之间的关系如下表，X 2 4 6 8 10 12Y 14 10 9 7 5 4（1）求回归方程； （2）求相关系数。 【Y=-0.957X+14.867】【r=0.98】9试就下表所示资料，计算关于身高和体重的皮尔逊相关系数。N0 身高（厘米） 体重（千克）12345671601611651651671701725156596663706948910174176180738065【r=0.77】10青年歌手大奖赛评委会对 10 名决赛选手的演唱水平（X）和综合素质（Y）进行打分，评价结果如下表（表中已先将选手按演唱水平作了次序排列）所示，试计算选手的演唱水平和综合素质间的肯德尔等级相关系数及斯皮尔曼等级相关系数。选手名 A B C D E F G H I J 演唱水平（X）综合素质（Y）1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3 1 5 2 7 4 10 8 6 9 【肯德尔系数：0.56，斯皮尔曼系数：0.76】11青年歌手大奖赛，假设五位评委对 10 名决赛选手的演唱水平进行排序，他们的有关评价结果列于下表，试通过计算肯德尔和谐系数，检验专家意见的一致性和相关程度。10 名决赛选手五位评委 A B C D E F G H I JABCDE1 2 3 4 5 6 7 8 9 103 2 1 4 5 8 9 7 10 61 3 2 4 8 7 6 5 9 104 2 1 5 3 10 8 6 7 95 2 1 9 3 8 4 6 10 7【0.76】12某地区失业率与通货膨胀率之间的资料如下表所示，试求：（1）拟合指数回归方程 ；（ 2）失业率与通货膨胀率之间的相关系数。cYxab失业率（%）1.0 1.6 2.0 2.5 3.1 3.6 4.0 4.5 5.1 5.6 6.0 6.5通胀率（%）1.6 1.5 1.1 1.3 0.6 0.9 0.8 0.8 0.7 0.6 0.6 0.6【 】 【相关系数xey1803.7.50.76】13试就下表所示资料，求算员工工作满足感高与归属感之 Gamma 系数，并解释Gamma 系数具有削减误差比例 PRE 性质。工作满足感与归属感工作满足感（X） 归属感（Y） 低（1） 中（2） 高（3）YF低（1）中（2）高（3）8 4 36 5 14 4 5151213Fx 18 13 9 40【G=0.092】14已知相关系数 r0.6，估计标准误差 8，样本容量为 62。求： XYS1）剩余变差值；2）剩余变差占总变差的百分比；3）求总变差值。15在相关和回归分析中，已知下列资料：16， 25， 19，a30。2XS2Y2XYS要求：1）计算相关系数 r，说明相关程度； 2）求出直线回归方程。16在相关和回归分析中，已知下列有关资料： 5， 10，n20，r 0.9，XSY2000。试计算：2)(Y1）回归系数 b；2）回归变差和剩余变差；3）估计标准误差 。XYS17根据下述假设资料求回归方程。X 1 2 3 4 5 6 7Y 23.0 23.4 24.1 25.2 26.1 26.9 27.318某 10 户家庭样本具有下列收入（元）和食品支出（元/周）数据：收入（X） 20 30 33 40 15 13 26 38 25 43支出（Y） 7 9 8 11 5 4 8 10 9 10要求：1）写出最小平方法计算的回归直线方程；2）在 95.46把握下，当 X45 时，写出 Y 的预测区间。19根据下述假设资料，试用积差法求相关系数。6输出 X（亿元） 12 10 6 16 8 9 10输出 Y（亿元） 12 8 6 11 10 8 1120对 40 个企业的横截面样本数据进行一元回归分析，因变量与其平均数的离差平方和为 6000，而回归直线拟合的剩余变差为 2000，求：1）变量间的相关指数 R；2）该方程的估计标准误差。七、问答题1简述积差系数的特性。2简述回归分析和相关分析之间的密切联系。7部分计算参考：（见计算题六）2. 已知十名学生身高和体重资料如下表， （1）根据下述资料算出身高和体重的皮尔逊相关系数和斯皮尔曼相关系数；（2）根据下述资料求出两变量之间的回归方程（设身高为自变量，体重为因变量） 。皮尔逊相关系数与回归方程编号 身高（cm）x体重（kg）y xy1 171 53 29241 2809 90632 167 56 27889 3136 93523 177 64 31329 4096 113284 154 49 23716 2401 75465 169 55 28561 3025 92956 175 66 30625 4356 115507 163 52 26569 2704 84768 152 47 23104 2209 71449 172 58 29584 3364 997610 162 50 26244 2500 8100合计 1662 550 276862 30600 918302222nxyr 0.89()(y)22b0.659()yxa=4.7n+-5.9编号 身高（cm） 体重（kg）1 171 532 167 563 177 644 154 495 169 556 175 667 163 528 152 479 172 5810 162 502x2y8斯皮尔曼相关系数编号 身高（cm）次序 体重（kg）次序 d1 171 4 53 6-2 42 167 6 56 4 2 43 177 1 64 2 -1 14 154 9 49 9 0 05 169 5 55 5 0 06 175 2 66 1 1 17 163 7 52 7 0 08 152 10 47 100 09 172 3 58 30 010 162 8 50 80 0合计 102s6dr1-0.94n()4. 某市有 12 所大专院校，现组织一个评审委员会对各校校园及学生体质进行评价，结果如下，试求环境质量与学生体质的关系的斯皮尔曼相关系数和肯得尔等级相关系数。环境名次 3 9 7 5 12 8 10 2 11 4 1 6体质名次 5 9 6 7 12 8 11 1 10 3 2 4斯皮尔曼等级相关系数环境名次 体质名次d3 5 -2 49 9 0 07 6 1 15 7 -2 412 12 0 08 8 0 010 11 -1 12 1 1 111 10 1 14 3 1 11 2 -1 12d296 4 2 4合计 182sdr1-0.9n()肯德尔等级相关系数A B C D E F G H I J K L环境名次（x）3 9 7 5 12 8 10 2 11 4 1 6体质名次(y)5 9 6 7 12 8 11 1 10 3 2 41） A： 同序对 AC AB AD AE AF AG AH AI AK 9 异序对 AJ AL 22） B： 同序对 BC BD BG BH BI BJ BK BL BE BF 10 3） C： 同序对 CE CF CG CH CI CJ CK CL 8 异序对 CD 14 D： 同序对 DE DF DG DH DI DJ DK 7 异序对 DL 15） E： 同序对 EG EH EI EJ EK EL EF 7 6） F： 同序对 FG FH FI FJ FK FL 67） G： 同序对 GH GJ GK GL 4 异序对 GI 18） H： 同序对 HI HJ HK HL 49） I： 同序对 IJ IK IL 3 10）J： 同序对 JK JL 211）K： 同序对 KL 1合计：同序对 异序对sn61dn5sda0.831()25. 以下是婚姻美满与文化程度的抽样调查的结果，请计算婚姻美满与文化程度Gamma 系数和肯德尔相关系数 c。文化程度婚姻美满 大学 中学 小学美 满 9 16 510一 般 8 30 18不美满 3 4 7=9（30+18+4+7）+16（18+7）+8(4+7)+307=1229sn=5(30+8+3+4)+18(3+4)+16(8+3)+303=617d0.18sdc2n1(m)/6以下试两位评判员对 10 名参赛人名次的打分。试用斯皮尔曼等级相关系数来描述两评判员打分的接近程度。参赛人 A B C D E F G H I J评判员 1评判员 21122433455866778991010参赛人 评审员 1 评审员 2 dA 1 1 0 0B 2 2 0 0C 4 3 1 1D 3 4 -1 1E 5 5 0 0F 8 6 2 4G 6 7 -1 1H 7 8 -1 1I 9 9 0 0J 10 10 0 0合计 82s6dr1-0.5n()7某原始资料为：X 65 73 91 88 76 53 96 67 82 85Y 5 7 13 13.5 7 4.5 15 6.7 10 11要求：（1）求回归方程；（2）这是正相关还是负相关；【正相关】（3）求估计标准误差；（4）用积差法求相关系数。X Y xy22x2y1165 5 4225 25 32573 7 5329 49 51191 13 8281 169 118388 13.5 7744 182.25 118876 7 5776 49 53253 4.5 2809 20.25 238.596 15 9216 225 144067 6.7 4489 44.89 448.982 10 6724 100 82085 11 7225 121 935776 92.7 61818 985.39 7621.4222222nxyr 0.95()(y)b0.67yxa=1.4n+-.717根据下述假设资料求回归方程。X 1 2 3 4 5 6 7Y 23.0 23.4 24.1 25.2 26.1 26.9 27.3编号 x y xy1 1 23.0 1 529 232 2 23.4 4 547.56 46.83 3 24.1 9 580.81 72.34 4 25.2 16 635.04 100.85 5 26.1 25 681.21 130.56 6 26.9 36 723.61 161.47 7 27.3 49