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第十六章 统计第 1讲 随机抽样和样本估计总体考纲要求 考纲研读1.随机抽样(1)理解随机抽样 的必要性和重要性(2)会用简单随机抽样方法从总体中抽取 样本；了解分层抽样和系统抽样方法2总体估计(1)了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直 方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点(2)理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差(3)能从样本数据中提取基本的数字特征 (如平均数、标准差 )，并作出合理的解释(4)会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基 本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想(5)会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题 .用样本估计总体是统计学的重要思想从总体中如何抽取样本，以及如何研究样本数据是本节需要掌握的主要内容根据总体的特点可采取合适的抽样方式，然后从列表，画图途径来体现样本数据特征，而样本的数字特征则是其客观体现，从而进一步去估计总体特征 .1总体、个体、样本把所考察对象的某一个数值指标的全体构成的集合看成总体，构成总体的每一个元素为个体，从总体中随机抽取若干个个体构成的集合叫做总体的一个样本2随机抽样均等的抽样时保证每一个个体都可能被抽到，每一个个体被抽到的机会是 _，满足这样的条件的抽样是随机抽样3简单随机抽样相等抽签法设一个总体含有 N 个个体，从中逐个不放回地抽取 n 个个体作为样本 (nN)，如果每次抽取时总体内的各 个个体被抽到的机会都 _，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样最常用的简单随机抽样方法有两种 _ 和 _随机数表法4系统抽样(1)当总体元素个数很 大时，可将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体得到所需要的样本，这种抽样方式叫做系统抽样(2)步骤： 编号采用随机的方式将总体中的个体编号，编号的方式可酌情处理；分段 确定起始个体编号在第 1 段用 _确定起始的个体编号 S；简单随机抽样 按照事先确定的规则抽取样本通常是将 S 加上间隔 k，得到第 2 个个体编号 S k，再将 (S k)加上 k，得到第 3 个个体编号S 2k，这样继续下去，获得容量为 n 的样本其样本编号依次是：S， S k， S 2k， ， S (n 1)k.5分层抽样明显差异当总体由 _的几部分 组成时，按某种特征在抽样时将总体中的各个个体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层中独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样的方法叫做分层抽样6.频率分布直方图(1)求极差：极差是一组 数据的最大值与最小值的差(2)决定组距和组数：当样本容量不超过 100 时，常分成 512 组组距 _.(3)将数据分组：通常对组内数值所在区间取左闭右开区间最后一组取闭区间也可以将样本数据多取一位小数分组(4)列频率分布表：登记频数，计算频率，列出频率分布表将样本数据分成若干个小组，每个小组内的样本个数称作频数，频数与样本容量的比值叫做这一小组的 _频率反映这组数据在样本所占比例的大小频率极差组数(5)绘制频率分布直方图：把横轴分成若干段，每一段对应一个组距，然后以线段为底作一矩形，它的高等于该组的 频率组距 ，这样得到一系列的矩形，每个矩形的面积恰好是该组上的频率这些矩形就构成了频率分布直方图7频率分布折线图和总体密度曲线(1)频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的 _， 就得到频率分布折线图中点(2)总体密度曲线：随着 _的增加，作图时所分的组数增加， _减小，相应的频率折线图会接近于一条 光滑的曲线，即总体密度曲线样本容量组距8茎叶图在样本数据较少、较为集中，且位数不多时，用茎叶图表示数据的效果较好，它较好的保留了原始数据信息，方便记录与表示茎是中间的一列数，叶是从茎的旁边生长出来的数9样本数字特征(1)众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数最中间中位数(2)中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在 _位置的一个数据 (或最中间两个数据的平均数 )叫做这组数据的 _(4)方差： s2 _.(5)标准差：s _.C都相等，且为 D都相等，且为1从 2 004 名学生中选取 50 名组成参观团，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从 2 004 人中剔除 4 人，剩下的 2 000)C人再按系统抽样的方法进行则每人入选的概率 (A不全相等 B均不相等251002140甲 乙 丙 丁平均环数 x 8.6 8.9 8.9 8.22方差 s 3.5 3.5 2.1 5.62 (2011 年广东广州调研 )甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：是 ( )CA甲 B乙 C丙 D丁从这四个人中选择一人参加奥运会射击项目比赛，最佳人选3 (2011 年广东广雅中学测试 )在广雅中学 “ 十佳学生 ” 评选的演讲比赛中，如图 15 1 1 是七位评委为某学生打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一 个最低分后，所剩数据的众数和中位数分别为 ( )图 15 1 1A 85,85 B 84,86 C 84,85 D 85,86C4 (2011 年上海 )课题组进行城市空气质量调查，按地域把 24个城市分成甲、乙、丙三组，对应城市数分别为 4,12,8.若用分层抽样抽取 6 个城市，则丙组中应抽取的城市数为 _.25某个容量为 100 的样本的频率分布直方图如图 15 1 2，则在区间 4,5)上的数据的频数为 _.30图 15 1 2考点 1 随机抽样及其应用例 1： 现要完成下列 3项抽样调查 ： 从 10 盒酸奶中抽取 3盒进行食品卫生检查 科技报告厅有 32 排，每排有 40 个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，需要请 32 名听众进行座谈 东方中学共有 160 名教职工，其中一般教师 120 名，行政人员 16 名，后勤人员 24 名为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为 20 的样本较为合理的抽样方法是 ( )A 简单随机抽样， 系统抽样， 分层抽样B 简单随机抽样， 分层抽样， 系统抽样C 系统抽样， 简单随机抽样， 分层抽样D 分层抽样， 系统抽样， 简单随机抽样解析： 此题主要考察的是三种抽样方法的适用情况对 总体个数较少，采用简单随机抽样，对 个体数相对较多，采用系统抽样，对 个体相互差异明显，采用分层抽样，故选 A.答案： A类别 共同点 不同点 相互联系 适用范围简单随机抽样都是等概率抽样从总体中逐个抽取 总体中个体比较少系统抽样将总体均匀分成若干部分；按事先确定的规则在各部分抽取在起始部分采用简单随机抽样总体中个体比较多分层抽样将总体分成若干层，按个体个数的比例抽取在各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样总体中个体有明显差异三种抽样方法的联系与区别：【 互动探究 】1 某小区有 800 个家庭，其中高收入家庭 200 户，中等收入家庭 480 户，低收入家庭 120 户，为了了解有关家用轿车购买力的某个指标，要从中抽取一个容量为 100 户的样本； 从 10 名同学中抽取 3 个参加座谈会 .简单随机抽样方法； .系统抽样)B方法； .分层抽样方法问题和方法配对正确的是 (A B C D 2一个单位有职工 800 人，其中具有高级职称的 160 人，具有中级职称的 320 人，具有初级职称的 200 人，其余人员 120 人为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量)D为 40 的样本则从上述各层中依次抽取的人数分别是 (A 12,24,15,9 B 9,12,12,7C 8,15,12,5 D 8,16,10,63用系统抽样法要从 160 名学生中抽取容量为 20 的样本，将 160 名学生从 1 至 160 编号按编号顺序平均分成 20 组 (1 8号， 9 16 号， 153 160 号 )，若第 16 组应抽出的号码为 126，则第一组中用抽签方法确定的号码是 _.6考点 2 频率分布直方图例 2： “根据 中华人民共和国道路交通安全法 规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在 20 80 mg/100 ml(不含 80)之间，属于酒后驾车，血液酒精浓度在 80 mg/100 ml(含 80)以上时，属醉酒驾车 ”2012年 8月 15日晚 8时开始某市交警一队在该市一交通岗前设点对过往的车辆进行抽查，经过两个小时共查出酒后驾车者 60名，图 15 1 3(1)是用酒精测试仪对这 60名酒后驾车者血液中酒精浓度进行检测后依所得结果画出的频率分布直方图(1)求这 60名酒后驾车者中属醉酒驾车的人数； 图 15 1 3(1)中每组包括左端点，不包括右端点 ；(2)统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，图 15 1 3(2)的程序框图是对这 60名酒后驾车者血液的酒精浓度做进一步的统计，求出图 15 1 3(2)输出的 S值，并说明 S的统计意义 图 15 1 3(2)中数据 mi与 fi分别表示图甲中各组的组中值及频率 ；(3)本次行动中，吴、李两位先生都被酒精测试仪测得酒精浓度在 70 mg/100 ml(含 70)以上，但他俩坚称没喝那么多，是测试仪不准，交警大队陈队长决定在被酒精测试仪测得酒精浓度在 70 mg/100 ml(含 70)以上的酒后驾车者中随机抽出 2人抽血检验，求吴、李两位先生至少有 1人被抽中的概率 . 图 15 1 3解析： (1)依题意知醉酒驾车者即血液酒精浓度在80 mg/100 ml(含 80)以上者，由图 15 1 3(1)知，共有0.05 60 3(人 )(2)由图 15 1 3(2)知，输出的 S 0 m1f1 m2f2 m7f7 25 0.2535 0.15 45 0.2 55 0.15 65 0.1 75 0.185 0.05 47(mg/100 ml)S的统计意义为 60名酒后驾车者血液的酒精浓度的平均值(3)酒精浓度在 70 mg/100 ml(含 70)以上人数为：(0.10 0.05) 60 9(人 )设除吴、李两位先生外其他 7人分别为 a， b， c， d， e， f， g，则从 9人中抽出 2人的一切可能的结果组成的基本事件如下：(吴，李 )， (吴， a)， (吴， b)， (吴， c)， (吴， d)， (吴， e)， (吴，f)， (吴， g)， (李， a)， (李， b)， (李， c)， (李， d)， (李， e)， (李， f)， (李， g)， (a， b)， (a， c)， (a， d)， (a， e)， (a， f)， (a， g)， (b， c)， (b， d)， (b， e)， (b， f)， (b， g)， (c， d)， (c， e)， (c， f)， (c， g)，(d， e)， (d， f)， (d， g)， (e， f)， (e， g)， (f， g)共 36种 用 M表示吴、李两位先生至少有 1人被抽中这一事件，则 M所含的基本事件数为 15，(1)频率分布直方图的绘制按照前面的要点预览的步骤进行值得注意的是，在频率分布直方图中，纵轴表示“ 频率组距 ”，数据落在各小组内的频率用小矩形的面积表示，各小矩形的面积总和等于 1.(2)由频率分布直方图估计样本的数字特征时： 众数为频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标， 中位数为平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标； 平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和【 互动探究 】4 (2011 年广东佛山质检 )为提高广东中小学生的健康素质和体能水平，广东省教育厅要求广东各级各类中小学每年都要在体育教学中实施 “体能素质测试 ”，测试总成绩满分为 100 分根据广东省标准，体能素质测试成绩在 85,100之间为优秀；在 75,85)之间为良好；在 65,75)之间为合格；在 (0,60)之间，体能素质为不合格现从佛山市某校高一年级的 900