结构优化设计概述及数学模型

结构优化设计概述及数学模型摘要：土木建筑工程、水泥水电工程、交通能源工程等工程项目的建设离不开规划设计，而结构设计是其中的重要组成部分。结构设计是创造结构方案的过程，结构优化设计是把力学概念和优化技术有机地结合起来，根据设计要求，使参加与计算的量部分以变量出现，形成全部可能的结构设计方案域，利用数学手段在域中找到满足预订要求的，不仅可行而且最好的设计方案。1 最优化设计的基本概念最优化就是追求最好的结果或最优目标，从所有可能方案中选择的最合理的一种方案。在进行工程设计、物资运输或资源分配等工作中，应用最优化技术，可以帮助我们选择出最优方案，或做出最优决策。最优化设计是从可能设计中选择最合理的设计，以达到最优目标。搜寻最优设计的方法就是最优化设计法，这种方法的数学理论就是最优设计理论。2 结构优化设计概述优化的概念普遍存在于人们的社会生产实践活动中，从做一件事情到完成一项设计，或实施一个工程，人们都遵循着“优化”这一思想和原则。在工程设计中，使设计效果达到最佳，或使设计最优化是设计师一直追求的目标，并在长期的设计实践中产生了不同的优化策略和方法。从数学上讲所谓优化常指函数的极大值或者极小值，对于结构优化而言，是指在满足约束条件情况下，按一定的评价指标寻求最佳的设计方案，评价指标可以是结构的重量、造价等。结构优化方法大致可以分为传统优化设计方法和基于数学分析的优化设计方法两类。传统优化设计方法主要是根据设计要求，凭经验甚至直观判断，通过对若干种设计方法进行比较，选出最好的设计方案，然后再对其进行强度、刚度、稳定性等方面的计算分析与校核，以验证设计方案的可行性，所以，这种结构选优方法可以说是经验优化设计方法。经验优化设计方法缺乏对设计对象的全面理论分析和严谨的优化准则，因此这种优化方法具有局限性，选出的设计方案只是若干中设计方案中的最优者或较优者。另外，虽然在计算分析与校核过程中，对设计参数进行反复修改与调整，但修改与调整的依据是理论与经验的结合，因而对于选出的设计方案而言，它仅仅是一个较好的可行设计。与传统优化设计方法不同，基于数学分析的结构优化设计方法是建立在数学优化算法、结构分析和计算机技术上的优化设计方法。这种优化设计方法把追求的设计要求和设计目标，如结构的重量、体积、造价、应力、变形、频率等，以数学公式的形式将其定量化。这种方法需要通过开发专门的结构优化设计软件来实现结构的优化设计，它具有明确的理论基础和优化准则。这其中也包括经验，经验主要反映在两个方面，一是包含在优化设计软件中，即软件开发者将优化设计经验置入软件中；而是软件使用者将其优化设计经验体现在软件使用过程中。结构优化设计属于CAE技术，它将理力学论、数学优化算法、计算机技术进行有机地结合，为工程设计人员提供了一种实现结构优化设计的手段，以便于从众多的可行性设计方案中找出尽可能完善或最好的设计方案。优化设计的本质是求极值问题，它包含数学优化算法。数学优化算法属于应用数学的范畴，所以结构优化设计的发展与优化数学算法的发展是分不开的。结构优化设计使用有限元方法进行结构分析。在此基础上，结构优化方法不仅要给出结构在工作状态下的刚度和强度暑假，而且还能给出准确的改进设计 的方法，甚至给出优化概念下的可行设计方案。因此，采用结构优化技术，可以提高设计水平、减少原材料消耗、缩短产品设计周期、增强产品的市场竞争力。所以，结构优化设计具有很强的理论研究价值和良好的应用前景。3 结构优化的相关技术结构优化设计的本质是求极值问题，它是以力学理论和数学规划理论为基础，以计算机技术为工具，对设计变量进行寻优的一种先进设计方法。所以，结构优化设计的发展与结构分析方法、数学优化方法、计算机技术的发展是分不开的。归结起来，其中的主要关键技术有以下几个方面。3.1 优化数学模型建立正确的优化数学模型是结构优化设计的关键步骤，只有基于正确的优化数学模型才有可能得到正确的优化结果。例如，在优化模型中，等式约束个数必须小于设计变量个数，这时才能得到最优解。否则，如果等式约束格式等于设计变量个数，就只存在唯一的解，它构不成优化问题；如果等式约束个数大于设计变量个数，这时所建立优化模型是矛盾的，因为模型中存在一个超静定方程组。3.2 灵敏度计算方法及精度灵敏度计算可以采用不用的方法，而采用不同的灵敏度计算方法，所需要的灵敏度计算水环境爱你差别是很大的，并且得到的灵敏度精度也不相同。灵敏度精度高，可以给出正确得到搜索方向，会加速收敛速度，从而使结构分析次数减少，提高优化效率；否则会减小收敛速度，使结构分析次数增加，降低优化效率。总之，灵敏度计算方法及其精度直接关系到优化迭代过程中结构重分析次数的多少，所以，这是结构优化设计的关键技术之一。3.3 优化数学算法和优化迭代控制对于建立的优化数学模型，虽然可用的优化算法有多种，但是采用不同的优化算法所得到的优化效果和所花费的求解时间会有差别，所以，快速、有效的数学优化算法也是结构优化设计的一项关键技术。灵位，结构优化过程是一个反复迭代过程，每次迭代都需要花费一定的时间。就目前的台式计算机而言，对于一个十几工程问题，有时完成一次优化迭代所需的时间可能较长，几个小时或更长时间都是可能的。优化迭代次数的多少与所用的优化算法、灵敏度精度、收敛误差等因素有关，在建立优化数学模型的方法及优化算法确定以后，收敛误差控制对优化迭代次数有很大影响。3.4 结构分析方法绝大多数的结构优化设计问题难以采用解析法求解，而是采用数值求解的方法。数值解的寻优实际上是一个优化迭代过程，而每次优化迭代都是需要进行结构分析。对于实际工程问题，特别是动力问题，结构分析所需要的计算工作量是相当大的，因此，寻求高效的结构分析方法是很重要的，尤其是对大型的离散设计变量优化问题。否则，每步优化迭代都会占用很多机时，使优化方法本身变得低效率、高成本。目前在结构优化设计中，使用最多的结构分析方法是有限元法，因此，除了要求结构分析方法的求解效率高外，能够哦满足优化设计需要的网格自动剖分技术也是结构优化设计的关键技术之一。基于有限元分析的结构优化，大体可以分为以下几个主要步骤：（1） 根据设计变量建立参数化有限元计算模型；（2） 定义设计变量、目标函数、约束条件和收敛准则；（3） 执行有限元计算，求目标函数和相应量的灵敏度等；（4） 形成并求解优化数学模型，获得新的设计变量。以上各步合在一起称为优化迭代，每次迭代可以获得一组新设计变量。然后进行收敛检查，若满足收敛准则，优化结束；否则，再根据新设计变量建立有限元模型，进行下一次优化。4 结构优化设计的基本过程在结构优化设计中，人们需啊哟确定在给定的条件下的结构响应量，以及求响应量对设计变量的灵敏度。求相应量就是常说的结构分析，求得相应量可以判断设计是否满足设计要求，并为进一步欧化设计提供初始条件；求得灵敏度可以进一步优化设计。有限元法是一种能有效进行结构分析和灵敏度求解的数值计算方法，当前的大多数结构优化设计软件都离不开有限元法，所以，这种优化方法可以成为基于有限元法的优化设计方法。在形成优化设计的数学模型以后，可以采用一定的优化算法求解数学模型，以获得更优的设计变量。然后，判断所求的解是否是最优解，如果不是最优解，可以再进一步的优化，以获得更优的解；这样循环往复，直到求得最优解。对于基于有限元法的结构哦优化设计，其基本的求解过程如下：第1步 根据基本参数，建立初始有限元计算模型。第2步 定义设计变量、目标函数、约束条件和收敛准则。第3步 如果是根据初始变量建立的有限元模型，则直接跳到第5步；否则，执行第4步。第4步 根据新计算得到的设计变量值修改有限元模型。第5步 执行有限元计算，并记录所需的应变量。第6步 对设计变量进行循环，求灵敏度。第7步 形成优化数学模型。第8步 求解优化数学模型，得到新设计变量。有多种求解优化数学模型的方法，有些方法已经编制成了专门的优化软件包，可以直接使用。第9步 判断是否收敛。若收敛，优化结束；否则去第4步。在优化结束以后，还应该对选定的设计变量作一次有限元分析，以验证其是否满足设计要求。5 优化设计的数学模型5.1设计变量一个设计方案可以用一组基本参数来表示。这些基本参数可以是构件的长度、截面尺寸、某些关键点的坐标等几何参数，也可以是重量、惯性矩等物理量，还可以是变形、应力、频率等表示工作性能的其他量。在结构优化中，需要用优化方法进行优化调整的设计参数称为设计变量。对于一个具体的优化设计问题，一般并不不要求对所有的参数都进行优化调整。5.2 约束条件一个可行设计必须是满足设计要求的设计。设计要求就是设计必须满足的限制条件，这些限制条件称作约束条件，简称约束。一个实际设计需要考虑的因素很多，形式也多种多样，这里将约束条件分为性能约束和几何约束两类来加以说明。5.2.1 性能约束在工程结构优化中常用的性能约束条件有以下几个。应力约束：在规定的荷载条件下，结构的应力不能大于许用应力。位移约束：在规定的荷载条件下，结构的变形不能大约许用变形。动态特性约束：为了避免结构发生共振等动态特性方面的要求。5.2.2 几何约束条件几何约束条件一般指对设计变量的直接或间接限制。几何约束条件可以是不等式形式，也可以是等式形式。从数学表达式看，约束条件还可以分为等式约束和不等式约束两种类型。另外，当约束条件能表示为显示形式，称为显示约束，反之称为隐式约束。5.2.3 目标函数在所有的可行设计中，每个设计都能够满足设计要求，但是，相比之下它们有优劣之分。判别一个设计的优劣有不同的评价标准。当评价标准选定以后，如果能把评价表尊用设计变量表示成数学表达式，就可以用数学优化的方法来优化这个函数，以得到更好或“最好”的设计。在优化设计中，把判别设计方案优劣的数学表达式称为目标函数。5.2.4 结构优化设计的数学模型优化设计的数学模型就是把实际的优化问题用数学的方法将其描述出来，称为优化的数学模型，其一般形式为求设计变量 12.nxx使目标函数 mia()f或且满足约束条件 ()0,12,jklgxjhplq式中，n设计变量的个数；m 为性能约束条件的个数；p为几何约束条件的个数；q为设计变量之间的约束条件个数。在实际优化问题中，对目标函数一般有两种要求形式，即使目标函数极小化，或使目标函数极大化。由于求解目标函数的极小化与求解极大化等价，所以，以后各章的优化问题的数学表达一律采用使目标函数极小化的形式。6 结构优化设计数学模型地下埋管结构优化设计地下埋管广泛地应用于市政、交通、水利、冶金以及能源等部门，钢筋混凝土管在地下结排水工程中占据重要地位。我同地下埋管工程的建设也具有悠久的历史，随着经济的发展我国大部分地区工业、农业和生活用水出现紧张趋势，水资源短缺已成为制约当地经济发展的重要冈素，因此许多大规模、远距离的管道供水工程也正在酝酿成设计施工之中。埋管按敷设方式大致可分为沟埋式、上埋式、隧道式三类。沟埋式是指在天然地面或老填土上开挖较深的沟槽，然后将管道放至沟底，再回填土料并分层加以夯实。上埋式是指在开阔平埋的地面上直接铺设管道，然后再上面覆土夯实的情况，它又称为地面堆土埋管。6.1 设计变量地下埋管结构的优化设计一般是在埋管内径、内水压力和地面荷载等已确定的条件下，对埋管的管壁厚度和环向钢筋量进行优化计算，从而确定最经济安全的管壁厚度和环向配筋率。因此，一般取埋管管壁厚度x 1，内层环向钢筋配筋率x 2，外层环向钢筋率x 3为设计变量。6.2 目标函数对于钢筋混凝土结构来说，钢筋和混凝土两种材料在资源上和价格上有较大的差距，如果使重量最轻，得出的优化设计势必是截面很小、钢筋很密的结构，这显示在造价上是不经济的，施工上也不方便。因此，一般选用结构造价C 作为目标函数。在地下埋管的优化设计中，为简化目标函数只计入了混凝土和环向配筋的费用，至于其他因素如箍筋、架立筋、构造筋、模板、施工及铺设费用等，因为在整个优化设计过程中，其实际的变化是很微小的，所以目标函数可不予考虑。 2c1 21131()()()()sXFCRxCRaxax式中： 为混凝土单价，元/m 3； 为钢筋单价，元/t； 为钢筋容重，t/m 3；a 为混凝土c s s保护层厚度，m；R为混凝土管内半径，m。6.3 约束条件6.3.1 几何约束。根据结构布置、施工和使用要求，对设计变量所加的限制为 min1ax2i3aT其中： 、 为管壁允许最大、最小厚度，对于低压钢筋混凝土管道可取minTax，d为管内直径。min0.12T6.3.2 应力约束。考虑在最不利荷载组合条件下，地下埋管三个控制截面（管顶A、管侧B、管底C）上各控制点的环向应力，均限制在许可应力范围之内。即 ttc其中： 为控制点的实际环向应力； 、 为混凝土容许拉、压应力，混凝土抗拉强度t一般约为极限抗压强度的1/10 左右。对于地下钢筋混凝土压力水管来说，在正常使用状态下，不允许出现缝隙，钢筋与混凝土之间始终保持共同变形，钢筋的应力水平不高，远远低于钢筋的抗拉极限强度，因此在应力约束条件中无需再加入钢筋应力的强度约束。6.3.3 变形约束。钢筋混凝土管属于刚性管，当其横截面形状改变量不超过0.1%管径时，一般并不会出现裂缝。为了限制裂缝开展则需满足=0.