论文：基于最近发展区理论的高中数学学与教

1基于最近发展区理论的高中数学学与教摘要数学课堂教学中如何才能使学生容易理解和接受所学知识，同时又让学生不感到吃力，这是数学教育历来都学要面对的问题。怀着解决此问题的愿望，我们从最近发展区的理论发展出发，通过对数学知识学习过程中最近发展区理论的应用、教学重难点的阶梯式处理、例习题设计中的变式教学以及最近发展区理论在数学能力培养中的作用等几个方面的研究，探讨了基于最近发展区理论的数学学习和教学这一课题。通过研究我们认为：在数学的学和教的过程中，应用最近发展区理论巧妙设计学习方案和教学过程，能使学习者的兴趣得到提升，潜能得到开发；并能按照学习者的认知水平的提高，而循序渐进地学习新知。关键词：最近发展区，数学教育，数学能力，教学难点。前言1、课题的现实背景及意义数学课堂教学中如何才能使学生容易理解和接受所学知识，同时又让学生不感到吃力，这是数学教育历来都学要面对的问题。对此，不同的教材，不同的理论作了不同的回答。在过去几十年的时间里，我国的数学教材一般按定义、公理、定理和推论的形式演绎方法展开的，它使人产生一种幻觉，即数学家几乎理所当然也从定理到定理，他们能克服任何困难。数学发展的历史却与此形成了鲜明的对比，它告诉我们一个学科的发展是由汇集不同方面的成果点滴积累而成的，一个定理、一个公式的定型往往要经过几十年甚至几百年数代人的努力。在这个过程中，数学概念的形成、命题的猜想、定理的证明以及数学理论最终完成是丰富多彩的、生动活泼的，并非是一个从公理、定义到定理、推论的冷冰冰的逻辑推理过程。传统的数学教学，正是由于在教材编排上突出数学理论的逻辑性，使得教学方法突出数学知识的理解和记忆、解题能力的培养，从而忽视了数学知识的来龙去脉，即数学知识如何产生，有什么应用？。也许我们有必要让学生了解知识的发生过程，进一步让他们从心理上得到解放，知识的获得原本并不可怕。正如张奠宙先生所说的：一个好的教师不会在讲台上照书上讲一遍，而是要讲原始的思想，分析解决问题的念头，给出证明的思路。这一工作恰好和书上的演绎途径相反。道理的确不错，实践却有难度，它要求教师有渊博的数学和数学史知识积累，丰厚的教育心理学素养。数学教育改革已经进行了十几年，各种理论不断引进，各种方法接连翻新，课堂教学形式有不少变化，也取得了很大进步。然而学生的学习负担并未因此而减轻。正是基于这样的背景，在教学实践中我们有意识地引入了现代学习和教学理论，特别是维果茨基的“最近发展区”理论，来指导我们的教学实践，包括教案2设计（重难点处理，教学情景设计，例习题设计等） ，学生学习的指导和能力培养方案的设计。经过多年的实践，我们积累了一定的实践经验，有的已经形成了成果（如：教学难点的阶梯式处理） ，但我们还有很多工作要做，我们希望能形成一整套基于“最近发展区”理论和相关的现代学习理论的教学处理方式，教案和教学片断，本研究正是这样的一种尝试。这样的的教学形式对于学生的理解，接受知识应有较大的帮助。并使学生能较轻松地接受知识，从而培养他们的学习兴趣，使他们的自学能力得到提高。这是我们这个课题的意义所在。2、国内外关于同类课题的研究综述虽然维果茨基的最近发展区理论早在二十世纪三十年代就已提出，但直到六、七十年代才得到传播，对它进行深入的研究和应用也不多见。进入九十年代随着国外新的教育、心理理论的引进，维果茨基的最近发展区理论开始在国内得到关注。最近几年，国内外对这个理论的研究主要集中在这些方面：理论上的探讨和应用的研究。在理论方面主要阐释最近发展区的意义以及它对教学的涵义。张春兴教授认为教学的最佳效果产生于最近发展区，并进一步指出，针对学生的实际水平和要达到的知识水平之间的差别，进行针对性的辅导是教学的不法二门。他还认为在实际应用最近发展区理论时要考虑三个问题：（1）最近发展区指可能的发展水平而非实际的发展水平，那么可能发展区用什么来界定？（2）不同学科的最近发展区如何界定？（3）学生实际水平存在个别差异，如何认定他的最近发展区，从而进行适当的辅导？正如他评价维果茨基的理论时所说的那样“对上面这些问题维果茨基的理论中并没有提供确切答案” 。而实际上张先生作为心理学家，也只是为我们提供了一个理论指导，身为教师者，我们只能根据自己的教学经验，根据学科的性质，并根据各个学生的能力、经验和性格等各方面的了解，灵活运用最近发展区理论进行教学，才能取得满意的效果。实际应用方面的研究主要集中在如何应用最近发展区理论发展学生思维以及在教学中如何为学生创设最近发展区。3、研究的内容及预期目标我们计划中的研究框架是这样的：“最近发展区”简单地说就是学生已有的知识水平和要达到的知识水平之间的差距，在这种情形下教师的帮助我们在这里称为“阶梯式处理” （维果茨基称为 支架作用 ）对学生的学习而言是非常重要的。我们的基本观点是教学的最佳效果产生在可能的最近发展区，我们研究的主要内容就是教学中如何设置阶最近发展区理论教学设计中的应用 知识学习中的应用 能力培养中的应用教学重难点的阶梯式处理 例、习题设计3梯，使学生学习轻松，理解容易，掌握牢固。具体的研究将分三个方面，即教学过程、学生的知识学习和能力培养中如何应用“最近发展区”理论。1、教学过程中创设“最近发展区”教学过程的起点是学生的现有水平，终点是学生潜在发展水平，要完成从起点到终点的转化，必须注意分析学生现有的实际水平和潜在水平及其它们之间的差距，从而找到使学生容易跨上去的台阶。而进一步要注意的是最近发展区的层次性，即当依次学习完成后原来的潜在水平变成了学生的实际水平，于是又有新的潜在发展水平，以至无穷。在这里我们将作进一步的细分，分别研究如何利用最近发展区理论对教学重难点、教学情境（包括新课引入）和例、习题等方面作出科学的设计。(1)教学重难点的阶梯式处理学习理论指出：在学习过程中新知识的输入、同化和操作取决于原有的认知结构，因而原有的认知结构对新知识的学习具有制约作用。一般而言，当新、旧知识之间跨度较小，相互容纳时，学习就能顺利进行。反之，当新知识和学生的原认知结构脱节时就必然形成学习的难点。阶梯设置（阶梯式处理的主要方式是设置阶梯）的目的是为了方便学习者理解，激发学习兴趣。故在设置时要考虑到学习者的知识起点，照顾其“数学现实” ，即设置的阶梯应是学生容易迈上去的，应由易到难，由底到高，这样才能起到事半功倍的效果。在解题或教学过程中遇到困难的问题，从特殊开始是一种比较有效的方法。这就给我们一种有益的启示，对于有些难点也可以从特殊到一般设置阶梯。有时在设置阶梯时还要使用图象，使问题直观生动。(2)如何应用最近发展区理论设计教学情境（包括新课引入）情境设计是指中小学生在教师的指导下，从熟悉或感兴趣的数学情境中，通过主动探索，提出问题，研究问题和解决问题的过程。为了设计学生感兴趣的情境，教师要认真研究学生的现实数学知识水平，从最近发展区中找寻最好情境题材，使情境设计真正发挥应有的作用。(3) 如何应用最近发展区理论设计例题和习题比较难的例题，学生往往难以理解，这就有必要考虑作怎样的铺垫，使学生比较好懂，这个过程就是应用最近发展区理论设置阶梯的过程。我们可以在讲例题之前先介绍几个与本例题有关的小题，这些小题目由浅入深，层层递进，上承学生的知识现实，下接我们要讲的例题，这样的处理往往能达到比较满意的效果。2、知识学习中的“最近发展区”学生的学习是一个从认知不平衡到平衡的过程，当学生习得了新知识后心理就会获得满足，认知会暂时处于平衡状态，当平衡状态被新的情景所打破时，学生又会具有获得新知识的动机，此时他们的学习将是主动的，也是有效的。教学中教师如何利用学生的最近发展区创设不平衡，激起学生的兴趣是我们将要进一步研究的。3、能力培养中开发“最近发展区”根据加涅的学习分类原理，智慧技能的掌握可分层进行，即联想与连锁、辨别、概念、规则和高级规则。这为我们创设学生能力发展的最近发展区提供了有力的理论指导。如果我们在教学中依据智慧技能的发展过程对学生的思维水平的“最近发展区” 进行合理的开发，则将会对学生的学习和教师的教学起到积极的促进作用。另一方面在教学过程中，当学生感到“跳一跳可以摘到桃子”时他4们对学习才会充满兴趣和乐趣，因而我们说数学教学是一个再创造过程。数学创造能力的培养要以“问题”特别是以数学开放题为载体。在这块内容中我们还将研究维果茨基的最近发展区理论和创造性能力的培养之间的关系。作为上面三个方面的综合，我们将形成基于维果茨基的最近发展区理论的教学案例。4、研究的操作措施及做法(包括研究的方法)首先，我们要进一步把好教学实践这一关，基于维果茨基最近发展区理论的教学活动的开展关系到本研究能否顺利地进行，在教学中进一步总结经验是我们下一步的工作之一。其次要继续学习心理学、教育心理学理论，通过本课题的研究，争取使课题组成员的理论水平有一个较大的提高。三要搜集相关的研究成果，了解与本课题相关的研究的最新进展，及时把有用的信息作为我们参考材料。我们在本课题的研究过程中采用的主要方法是经验总结法，从具体的教学实践中总结规律性的东西，当然我们的教学实践是在最近发展区理论和现代学习论指导下的实践。除此之外我们还结合文献资料法，学习现有的理论成果和实践操作方法。1 最近发展区、自我发展区和潜在发展区最近发展区（Zone of Proximal Development）这一概念是维果茨基（L S Vygotsky）针对传统智力测验的缺点提出改进建议时形成的概念，是指介于儿童实际已达到的( 智力) 水平（现有水平）与经别人给予协助后所可能达到的水平（潜在水平）之间的差异，这个差异即为该儿童的最近发展区 1（维果茨基 思维与语言 1978） 。在教学中，由一个更有能力的人来帮助学习者从现有水平进步到潜在水平的这个过程称为脚手架或支架(J S Brunner 1985)。教师的作用就是帮助学生搭建这样的脚手架，因而教学的最佳效果产生在最近发展区（张春兴 1998） 。教学中的这个客观存在不只由维果茨基发现。中国古代的先哲在谈到学习方法时就不自觉地触及过这个问题。孟子曾以水为喻，说“流水之为物也，不盈科不行” （孟子 尽心上 ） ，就是说学习要象流水一样，水在流到洼坎，一定是先填满后再向前流去，学习也应该扎扎实实的走好每一步，要“循序渐进” ，否则，知识漏洞积累太多，就学不下去，新知识是建立在对旧知识的掌握基础上的。朱熹也同样强调这一点，如“未明于前，勿求于后” （朱子语类 卷十一 读书法下） ，又如“君子教人有序，先传以小者近者，后传以大者远者” （四书集注 ） ，等等都在不同程度上触及到这一事实。到了二十世纪下半叶，在中国课堂教学中得到广泛运用的“铺垫” ，后由顾泠沅博士归纳总结，推广了概念变式，提出了过程式变式，进一步建立了变式教学理论 2（顾泠沅，变式教学促进有效的数学学习的中国方式，载于华人如何学习数学 ） 。在本质上也揭示了这个规律。有趣的是这两个理论具有东西方两种不同的文化背景，这暗示着这个事实是人类学习中的共性规律。5有的研究者进一步深化了最近发展区概念，提出学习者的最近发展区具有层次性，即：数学教学应从学生思维的现有实际水平开始，通过教学达到潜在水平，这时潜在水平成为学习者新的实际水平，以此为基础，通过再施教达到新的潜在水平，如此循环往复，不断深化学生的思维层次 3、4 。同时对于教学中如何设置阶梯或称支架，研究者们提出了具体的操作方法 3、5 。然而在教学过程中，应用这个理论有时有一定的难度，这主要表现在这个理论在应用上的复杂性。1.1、教学过程中最近发展区应用的复杂性最近发展区说起来容易，但在实际操作中却异常复杂。首先，这个理论在应用过程中有一个不可否认的优点，就是让教师明确了教学应该在哪里展开，即在学生的最近发展区实施教学，才能取得最佳效果，但事物都有两面性，正是这个优点也成了它的不足。由于支架的设计是一小步、一小步递进的，这当然十分符合学生的认知规律，学生也有一些思考，但这样做的结果是教学过程中教师的作用得到过分的强调。从阶梯的设置，到教学进程的控制，教师的作用无疑是十分重要的。太强调教师（或教）的作用，就会忽视学习者学习能力的培养。例如：已知数列 na的首项 1和递推公式 qpan1（ 、 是常数，且1p） ，求该数列的通项 。这个问题往往是这样处理的，第一步，给出一个具体的例子如： 321， 321n， （1）证明： n+ 3是等比数列， （2）求数列的通项 na。第二步， a， na，求数列的通项 na。第三步是归纳：一般地数列 满足 qpn1（ 、 是常数） ，则 r（其中 是常数）是等比数列。并进一步提问，如何得到常数 r？第四步，回到第一步，引导学习者用待定系数法求 r。即设 )(31arnn，展开后得：ran231，此式应由 21na得到，因此 32r，所以 r31。最后第五步，对 qpn1用待定系数法，得到 1pqan是等比数列，并进而求出na。上面的这个设计，应该说很好地运用的最近发展区理论，学生也是容易接受的。但也有一个不足，那就是学生的思路一直跟着老师走，独立思考的时间不多。这正是最近发展区理论在应用中的挑战之一。其次，同样的两个概念之间的区域，对不同的学习者最近发展区是不一样的。对有的人而言，这个区域可以说是一条小小的沟渠，一脚就跨过去，或者根本就不存在这个区域，认为这两个概念从前者到后者的发展是十分自然的，而对另一些人而言也许是巨大的鸿沟，甚至永远跨不过去。如从“数列”到“数列的极限”6，在学习“数列”概念之后，有的学生很容易理解数列极限的概念，即使是最严格的定义（用 N语言来叙述） ，并能直接用此定义来严格证明象 0limnq)1(q这样的极限。而另一些学生只能从直观上理解，他们能理解“若 时，0an，则称 a数列 n的极限”这样的描述。还有的则只能从形式上理解，如当问他们：“当 时， ?1”答：0，又问：“那么 01lin，对不对？为什么？”他们的答案则是“因为 n永远达不到 0，因此不能是等号” 。这意味着这些学生不理解极限的意义。另一方面，对某个知识而言，一个学习者的最近发展区到底有多少宽，也是很难确定的。多数情况下学生的发展区不是很宽的，但有的则宽得难以想象。如从“连续函数”到“连续映射” ，从表面上看，连续函数概念在中学教材就以一种描述性（不是用 语言的严格定义）的定义出现，而“连续映射”一般要到拓扑学才学，中间相隔好几年的课程。因此一个学习者在学习这两个概念时，似乎不是一个“最近发展区”可以讲得清楚的。但函数是一种特殊的映射，连续函数是一种特殊的连续映射，后者是前一概念的推广。当我们以恰当的例子给学生介绍这个概念时，优秀的学生马上就能理解连续映射的本质。我们用的其中一个例子是：一个球内接一个正四面体，从球心 O（也是正四面体的中心）引一射线分别与正四面体表面交于 P、 Q，那么就建立了从正四面体表面（集合 A）到球面（集合 B）之间的一个一一映射，这个映射就是一个连续映射。因为当正四面体表面上任意一个点列 nx无限趋向于一给定点 0x时，它的像 ny也无限趋向于 0x的像 0y。而这正是连续函数概念的推广。由此可以看出最近发展区的复杂性，这种复杂性在学生水平参差不齐的班级里表现得尤为明显。当一个班级的学生同时学习某个知识内容时，教师设计的脚手架只能满足一部分学生的需要，对优秀学生而言，他们不需要这阶梯，而后进的学生来说这个支架还是太高了，仍超过他们的认识水平。这增加了在教学中应用这个理论的难度。那么，如何使这两个问题得到改进呢？我们从最近发展区入手，作进一步探讨。1.2、自我发展区和潜在发展区最近发展区这个概念中有两点特别引起我们的注意，一是学习者实际已达到的水平（现有水平） ，二是经别人给予协助后所可能达到的水平（潜在水平） 。然而，实际上在这两个水平之间还隐含着第三种水平，即学习者通过自身努力（自学）可以达到的学习水平，我们把它称为自学水平。这个自学水平和现有水平及潜在水平之间也是有距离的，特别是学习能力强的学生更是如此。我们把介于学习者现有水平和通过自身努力可以达到的水平之间的差异称为自我发展区；而介7于学习者通过自身努力（自学）可以达到的水平与潜在水平之间的差距称为潜在发展区。教学不应笼统地讲在学生的最近发展区展开，而是在最近发展区的后一部分即潜在发展区进行更好。在学生的自我发展区，教师的作用应以给学生提供学习建议、促进学生自学能力提高为主，当学生通过自学不能再提高其认识水平时，说明他们已达到自我发展的极限，接下来才是他们的潜在发展区，在这个阶段学生往往表现出一种想知道接下来的内容，但却不知道如何进一步取得进展的一种焦虑表情。这时才是教师进一步指导、协助学生进行学习或设计学习支架的最佳时候。孔子说：“不愤不启，不悱不发” （论语述而第七）正是这个道理。1.2.1 自我发展区和潜在发展区的层次性正如最近发展区具有层次性一样，自我发展区和潜在发展区也具有层次性。在第一个层次，学习者通过学习达到自学水平，进一步在教师的帮助下，达到了潜在水平，这时学习者的认知水平上了一个台阶，达到第二层次。这时学生原有的潜在水平也成了新的现有水平，接着学习者再次自学达到新的自学水平，并进而在老师的帮助下，进入第三层次的水平。依次类推，如图 1 所示。1.2.2 自我发展区突出了学习者的学习自主性未来学校必须把教育的对象变成自己教育自己的主体，受教育的人必须成为教育他自己的人，别人的教育必须成为这个人自己的教育（学会学习：教育世界的今天和明天 ） 。自从“学会学习”这个概念提出以来，在教学过程中，如何组织学生学习，并进而使学生学会学习，已得到越来越多的教育工作者的关注。教学过程是一种由教师的教和学生的学构成的双边性的特殊认识过程，教和学是相互依存的，没有教就没有学，没有学也就无所谓教。教师不仅要研究教学过程和教学方法，还应该研究学生学习过程和学习方法；不仅要帮助学生“学会” ，而且要指导他们“会学” 。古人云：“授之以鱼，只供一饭之需，授之以渔，则终身受用无穷” 。教导学生学会学习，正是“授之以渔” 。教育家叶圣陶明确指出：“教”都是为了达到用不着“教” 。怎么叫用不着“教”？“学生入了门了，上了路了，他们能在繁复的事事物物间自己探索，独立实践，解决问题了” 。陶行知先生也认为， “先生的责任不在教，而在教学，教学生学” 。在学习者的自我发展区让学生先行自学，对于他们自学能力的提高具有积极的意义。把最近发展区细分为自我发展区和潜在发展区两个区域的优点是明显的，最大的好处是突出了学习者的学习自主性，为培养学生的学习能力，让学生学会学习打开了空间。 1.3、自我发展区和潜在发展区教学中的应用8我们来看经过改进的最近发展区理论在实践中有怎样更好的应用。回顾一下刚才的“由递推公式求通项”的例子。我们在第一部分已经指出上面应用最近发展区理论设计的教学过程有一点欠缺，即教师“教”的多，学生学习的少。为了在日常的教学过程中潜移默化地培养学生的自学能力，教师要鼓励学生在其自我发展区自学。我们把第一部分中的设计稍作更改。第一步：已知数列 na和 b，其中 321a， 321na， 1b， 12nb，分别求两个数列的通项nb和的通项。这样设计的目的是让学生自己探索，从中发现规律。这类问题可以从特殊的开始，遇到难题从特殊开始本身就是一种重要的方法。把两个数列的前几项写出来分别是： 32、 8、 6、 30、以及 1、3、7、15、。学生得到这两个数列后再让他们观察其中蕴涵的规律。事实上，这两个数列的项分别加上 31和 1 之后都是等比数列，即 1、3、9、27、.和 2、4、8、16、.。至此教师进一步提问：具有形如 qpan型递推式的数列 na加上一个常数以后是否一定是一个等比数列？接下来直接跳到第一部分设计的第四步，再从特殊开始用待定系数法求此常数。在此基础上教师再引导学生在一般情况下回答上面的问题，求出 )(1rprann中的 。经过这样的改进，学生的自学与思考得到保障。在一次次的学习经历中，学习者的学习能力漫漫会得到提高。教学中应用此理论进行处理的实例实在不少，如极限概念、asinx+bcosx = 2basin(x+)如何得到？y=sinx 与 y=Asin(x+)的图象间的关系等等，在此不再赘述。把最近发展区划分为自我发展区和潜在发展区，并在学生的自我发展区加强学生的自学能力的培养，教师只在学生的潜在发展区进行脚手架设计，这样能充分发挥学生学习的主动性、培养学生的学习能力，这是使学生终生受益的教学安排，也是新的时代对数学教学提出的新要求。经过这样的处理，第一部分中提出的两个问题中的前一问题得到相对满意的解决，而后一问题仍悬而未决。事实上，这个问题在学生程度参差不齐的大班课堂上，解决的难度也许很大。只有在按学习程度编班的小班教学中才有可能解决，特别是个别教学也许是解决这一问题的最佳方法，这就超出了本文所讨论的范围，需专门撰文研究。92 数学知识学习过程中最近发展区理论的应用影响数学学习的因素很多，如：需要、动机、兴趣、毅力、情绪等非智力因素，还有观察力、记忆力、思维力、想象力、注意力等智力因素。 这里我们仅就数学学习中应遵循的“循序渐进”原则做一些探讨。原因在于它和最近发展区理论有着天然的联系。从教育学角度来说，循序渐进原则是指教学要按照学科的逻辑系统和学生认识发展的顺序进行，使学生系统地掌握基础知识、基本技能，形成严密的逻辑思维能力。我国早在学记中就有“学不躐等” 和“不陵节而施”的说法，意思是教学要按教材的逻辑系统进行，不能越级而进。美国心理学家布鲁纳提出的“知识结构论” ，苏联教育家赞可夫提出的教学与发展相互作用的理论，都是强调学生要掌握特定的知识体系。教学的循序渐进原则是科学知识本身的特点决定的。任何科学知识，都具有严密的逻辑系统。因此教和学的过程中都得遵循这一原则。教学如果违背了这一系统，学生只能获得零散的知识，这对未来的工作和进一步深造都将造成很大的困难。同时，学生在学习过程中一般是沿着从已知到未知，从简单到复杂，从生疏到熟练的顺序进行的，所以循序渐进原则也是学生认识规律的反映。数学是一门系统性、逻辑性强的科学知识，完全掌握它更需要循序渐进，浮想联翩，八方联系。不能越级学习，正是在这个意义上，我们要正确，有效地利用最近发展区理论，循序渐进地为学生安排学习进度。2.1、知识间的学习顺序与渐进程度的把握循序渐进，首先要考察相关知识的历史发展顺序和逻辑顺序，并结合学习的认识状况，选择恰当、合理的学习顺序。研究表明个体对数学知识的认知过程和人类获得数学知识的过程是一致的，因此，学生的认识顺序应和知识的历史发展顺序近乎相同。如实数系的历史发展的大致顺序为 ,而现今教材选用的教学顺序为,它和数系的历史发展相近，只是先引进负数，后引进无理数。因为对于学生而言，相反意义的量更为贴近其生活，易于理解，而无理数就更多地起源于思辨，学生难以体会其学习的必要性，也难以准确把握其有关概念。又如人们对于函数概念的认识，就先后经历了“运动变化定义”、“解析式定义”、“图象定义”、“依赖性定义”、“对应关系定义”等过程而逐步达到对函数的准确理解，其中著名数学家欧拉在自己的数学研究生涯中，不断调整自己对函数的理解，曾先后给出了 3 种不同的定义。同样，数学思想方法也是人类长期数学活动经验感悟的结果，而一个数学分支的产生、发展与完善更是经历了一个漫长的历史过程。如微积分，应该说在阿基米德时期，就已经初步具备极限思想，并能用以解决一些简单的积分问题，产10生了微积分的萌芽，但直到 17 世纪，牛顿-莱布尼兹公式的发现，才标志着这一数学分支的建立，其后经欧拉、柯西、魏尔斯特拉斯等数代人的努力，直至 19世纪，微积分这一数学分支才得以完善。这些都表明，人类对于知识的理解不是一步到位的，而是螺旋上升、逐步提高的。特别是在人类发展的初期，社会发展的缓慢导致数学学科发展的外在动力的缺失，人类数学活动经验的相对贫乏和数学抽象水平的相对低下，数学学科的发展进程缓慢，一些现今看来极为简单的数学知识、极为普遍的数学思想，却经历了人类漫长的探索过程，如函数思想直至 17 世纪以后才为人们所广泛认识。个体对数学知识的认识过程恰似人类认识的一个缩影。而中学阶段，学生的数学活动经验还较缺乏，数学抽象思维水平还相对低下，他们对数学知识的认识恰如人类对数学的早期认识。因而，学生对某些重要的数学思想、数学知识的认识过程，更应是一个螺旋上升、逐步提高的过程，教学中，应给予学生充分的时间和空间，让学生逐步完成对相关知识的自我建构。以上分析提醒我们：学习过程中应恰当地设置相关知识渐进的度，合理地从学习者的最近发展区出发设计知识梯度。既要反对缺少渐进过程，企图一步到位的倾向，又要防止渐进的梯度太小，造成类似知识的低水平重复，学习材料缺乏新颖性和挑战性，从而一方面难以激发学生学习的学习兴趣，另一方面导致学生学习效率的低下。下面我们以“函数的导数”这一概念为例探讨如何利用最近发展区理论设计学习者的知识进度。2.2、数学知识学习过程中最近发展区理论的应用实例之一由于函数 )(xf在 0处的导数概念的定义用到了函数的极限，特别是)(lim0fx的极限，为了学习 )(lim0xf，要先学 )(lixf，进一步必须预先学习数列的极限。因此，学习导数概念就从数列的极限开始，按照数列极限，函数的极限，导数的逻辑顺序循序渐进地学习。在学习了导数概念后，为了加深对此概念的理解，有必要对导数的性质，如“函数在某点可导则在该点必连续”进行深入的学习研讨，为此在预备知识中要有函数连续性的知识。在此基础上，根据历史上导数概念产生的历史，可以从函数的最大、最小值问题，曲线的切线问题，瞬时速度问题（还有一个是曲线的弧长和曲边形的面积问题）入手，通过这些不同问题解决过程中所得到的统一形式，即 xffx)(lim00，由此概括归纳出函数 )(f在点 0x处的导数的概念。设函数 y=f(x)在点 x=x0及其附近有定义，当自变量 x 在 x0处有改变量x（x 可正可负），则函数 y 相应地有改变量y=f(x 0x)f(x 0)，这两个11改变量的比 xffxy)(00叫做函数 y=f(x)在 x0到 x0x 之间的平均变化率.如果当x0 时， xy有极限，我们就说函数 y=f(x)在点 x0处可导，这个极限叫做 f(x)在点 x0处的导数（即瞬时变化率，简称变化率），记作 f(x 0)或，即 f(x 0)= xffx)(lim00函数 f(x)在点 x0处的导数就是函数平均变化率当自变量的改变量趋向于零时的极限如果极限不存在，我们就说函数 f(x)在点 x0处不可导.以上我们对“在数学知识学习过程中如何应用最近发展区理论”简单做了介绍，在接下来的论述中我们重点讨论最近发展区理论在教学中的应用，我们将分两节主要从教学重难点的阶梯式处理以及例、习题设计中最近发展区理论的应用两个方面进行深入分析。123 教学难点的阶梯式处理3.1 问题的提出先来看一个例子：已知 f(2x+1)=x22x，求：函数 y=f(x)的表达式。象这类“已知复合函数 f g(x)和 g(x)的表达式，求 f(x)”的习题，在高中数学教学中是十分常见的。这类题的一般处理方法是：令 t =2x1，则 x= 21t，代入原式即得f(x)的表达式。这种解法对于初学者来说是难以理解的，学生会问“t =2x1 这一代换是如何想到的？”他们并不满足于“这是固定的解题方法，是人们通过成百次的尝试而找到的”这样的回答，学生需要的是一个能让他们容易理解的说明。象这样的难点在数学教学中还很多，如：极限概念、满足递推式 an= pan1 +q和 a1 的数列的通式如何求？asinx+bcosx = 2basin(x+)如何得到？y=sinx与 y=Asin(x+)的图象间的关系等等。如何处理这些难点，使学生易懂、易记，是数学教师在数学教学过程中的重要工作之一。3.2 阶梯式处理为了解决这个难点，我们先做一些铺垫。就如同给学生几级台阶，让他们容易上去一样。先求：f(3)、 f(2)、f( 2)、f(t) 。对学生而言 f(3)是最特殊的，最易求得，学过函数值概念的学生都会，只要在 f(2x+1)=x22x 中令 x=1 即可得 f(3)=1，同样学生也容易得到 f(2)，根据求f(3)的经验，令 2x+1=2，即 x= 2就有 f(2)= 43 。这样的过度学生是容易接受的，于是要他们求 f( 2)，学生就自然想到令 2x+1= 2，从而 x= 21，代入f(2x+1)=x2 2x，即得 f( )=f(2 21+1)=( )22 = 467。有了上面的 f(3)、f(2)、f( )作铺垫，学生非常容易，而且自然地作这样的回答：要求 f(t)，只要使 t =2x+1，从而 x= 21t，代入原式得：f(t)=21tt= 4t2 3t 5。于是求 f(x)就水到渠成了。这就是阶梯式处理，是在学生已有的认知水平和要认知的知识之间设置几个阶梯，使学生容易跨过去，从而理解难点的教学处理方式。133.3 阶梯式处理的理论基础学习理论指出：在学习过程中新知识的输入、同化和操作取决于原有的认知结构，因而原有的认知结构对新知识的学习具有制约作用。一般而言，当新、旧知识之间跨度较小，相互容纳时，学习就能顺利进行。反之，当新知识和学生的原认知结构脱节时就必然形成学习的难点。阶梯正建立在学生已有的认知水平和要学习的新知识之间的桥梁，在上面的例子中，函数值的概念是学生已有的知识，因此学生求 f(3)、f(2)、f( 2)是比较容易的，这是学生的“数学现实” 。数学现实是著名数学教育家弗赖登塔尔( Hans Freudenthal)的三个数学教育原则之一，弗氏认为：每个人都有自己的数学现实，数学教学需要根据学生的数学现实来展开。在上面的例子中，学生的数学现实是已知一个函数求其函数值，因此我们的教学就得从函数值出发。但弗赖登塔尔没有阐述如何在学生已有的知识和要学习的知识之间建立桥梁。而苏联心理学家维果茨基则对此做了论述，维果茨基的最近发展区理论认为：在学生实力所能达到的水平与经过别人给予协助可能达到的水平之间有一段差距，这就是该学生的最近发展区。为了使学习能在这里有效地展开，教师需要在这两者之间为学习者提供一些帮助，教师给予的协助被称之为“支架作用”(scaffolding)(Vygotsky,1978)。维果茨基的最近发展区理论在教学上具有重要的意义，教学的最佳效果产生于学生的最近发展区。当然最近发展区理论只能视为原则，不能作为方法。但它为我们的阶梯式处理方法提供了坚实的理论基础。教学中如何确认学生的原有认知水平和潜在的发展水平，从而采用适当的方法为学生铺设阶梯，是教学工作的重点。就前面的例子而言，f(3)、f(2)、f( 2)就是介于函数值和求 f(x)解析式之间的桥梁，这是第一层次的桥梁。由于这类题目具有多种解法，上面的代换法是一种，还可以用“配凑法” ，并且不同的问题采用这两种方法的难易层度也不一样。如已知 f(x+ x1)=x3+ ，求 f(x)这个题目，就是用“配凑法”解简单，用代换法就比较繁。什么样的题选用什么样的方法，则是更高层次的发展水平，以此而论配凑法和代换法都不过是维果茨基的支架而已。只是它们是更高层次的桥梁而已。 3.4 如何设置阶梯高中数学教学中，对于教学中的具体难点，如何设置阶梯呢？有多少类型的阶梯式处理方式呢？归纳起来大致有这么三种：从特殊到一般、图象直观和分散难点。3.4.1 从特殊到一般阶梯设置的目的是为了方便学习者理解，激发学习兴趣。故在设置时要考虑到学习者的知识起点，照顾其“数学现实” ，即设置的阶梯应是学生容易迈上去14的，应由易到难，由底到高，这样才能起到事半功倍的效果。在解题或教学过程中遇到困难的问题，从特殊开始是一种比较有效的方法。这就给我们一种有益的启示，对于有些难点也可以从特殊到一般。上面的例子正是从特殊到一般的典型，同样的方法显然也适用于asinx+bcosx = 2basin(x+)的求解。首先可以给出：求证：cos + 3sin =2sin( 6)。由于在学习这个这个知识点之前，学生已经学过两角和与差的正弦公式，下面的步骤他们是容易得到的。2sin( 6)=2sin cos +2cos sin = cos + 3sin在此基础上让学生做下面的联习：把 2sinx+ cosx 化为 Asin(x+)的形式。有了前面的基础，易得： sinx+ cosx=sinxcos 4+cosxsin =sin(x+ 4)。进一步把 sinx+cosx 化为 Asin(x+)的形式，根据上一步的结论，有sinx+cosx= 2( sinx+ 2cosx)= sin(x+ )。最后，把 asinx+bcosx 化为 Asin(x+ )的形式。引导学生：asinx+bcosx=t( tasinx+ tbcosx),，为了使此式化为 Asin(x+)的形式，只要使 ta=cos， tb=sin即可，于是就有， 2ta+ b= cos2 +sin2 =1，从而， 22，取 t =2ba得 asinx+bcosx= 2ba( 2asinx+ 2bacosx)= 2basin(x+)。其中 cos= 2，sin = 2，或 tan= 。经过这样的多步阶梯处理，学习者在理解上就容易得多。3.4.2、 图象直观有时在设置阶梯时还要使用图象，使问题直观生动。例如求函数 y=13422xx的最小值及相应的 x 的值。这类问题在高中数学中是一种求函数最值的常见练习，直接做是很困难的。先让学生解下面的问题：已知点 A(1，1)和点 B(2，3)，试在 x 轴上求一点 P，使15PA+ B最小。对此，先求点 A 关于 x 轴的对称点 A(1，1)，则 PA，于是 + = P+ B （如图） ，故只要求直线 B 和 x 轴的交点以及 即可。再让学生求动点 P(x，0)到两点 A(1，1)和 B(2，3)的距离之和。有了以上的两级阶梯，再求原问题求容易了。y= 13422xx= 22)0()()10()(，此式表示动点P(x，0)到定点 A(1，1) 和点 B(2，3)的距离之和，问题就转化为上面第一个问题了。3.4.3、 分散难点难点的形成，不仅表现在新知识和学生的原认知结构脱节时，还可以表现为新概念集中，这时候设置阶梯就需要考虑如何分散难点，逐个解决。“数列的极限”就是这样的难点。首先，从极限概念的形成来看，从阿基米德的穷竭法到柯西给出的严格的定义，其间经历了两千多年，印证了人类在认识极限概念时的困难；其次，从概念的本质属性来看，它刻画了无限过程，是有限与无限的分水岭，包含了形成难点的许多因素：定义本身包含多个新概念， “任意小” 、 “存在”等等；概念内涵悔涩难懂， 的二重性、N 对 的依存性等；再从学生认知水平来看，学生长期接触常量数学习，惯于有限过程 。而极限概念描述了无限过程，而且是用有限的形式定量地给出，学生的认知水平很难适应。为了帮助学生克服这个难点，可以把极限概念的学习分成几个阶段，第一个阶段学习描述性定义。 “对于数列a n，如果存在常数 A，当项数 n 无限增大时数列的项 an 无限趋近于常数 A，就把 A 叫做数列 an的极限” 。这个定义安排在高一数列之后学习，通过对具体数列的观察直接可以归纳，从直观上给学生认识。第二阶段在高二的绝对值不等式之后，让学生明确 an的几何意义，明确Aan0，总能找到一项 aN，使 aN 后面所有的项都有 Aan 成立。最后学习严格的定义。通过对难点的层层分解，学生对极限概念应有一个较深刻的理解。通过以上分析可以看到，基于“最近发展区”理论的教学难点阶梯式处理方A(1,1)B(2,3)A(1,1)O P(x,0)YX16式，能有效地克服学生学习中的困难，使他们易理解、易接受，保证了教学质量。同时让学生尝到了发现的喜悦，激发了学习的兴趣。4 例习题设计中的变式教学变式教学是最具中国教育特点的数学教学理论，是最近发展区理论的开创性发展，是解决所谓的“中国学习者悖论”一把钥匙。有的学者认为变式教学概括了中国数学教学的特征（顾泠沅、黄荣金、Marton Ference 2002） 。课堂教学中如何应用这一理论进行教学设计是值得我们认真思考的,这里我们对“变式教学”作一个简单概述。变式教学是在教学中使学生确切掌握概念的重要方式之一，即在教学中用不同形式的直观材料或事例说明事物的本质属性，或变换同类事物的非本质特征以突出事物的本质特征。目的在于使学生了解哪些是事物的本质特征，哪些是事物的非本质特征，从而对一事物形成科学概念。 （M.Gu.1999）传统意义上的教学变式主要包括两类：一类是属于概念的外延集合的变式，称为概念变式，其中又可以根据其在教学中的作用分为概念的标准变式和非标准变式；另一类是不属于概念的外延集合，但与概念对象有某些共同的非本质属性的变式，称为非概念变式，其中包括用于揭示概念对立面的反例变式。所有这些概念变式和非概念变式，我们统称为概念性变式。概念性变式在教学中的主要作用是使学生获得对概念的多角度理解。 4.1、设计目标我们以“含参数的一元二次不等式”中的一个例题的变式为例来说明高三复习课中的变式教学设计。首先，我们希望通过本例题的设计使问题由浅入深，步步深入达到一定的难度，而又不止让学生在学习时感到有太大的跨度。这也正是最近发展区理论的精髓所在，我们前面说变式教学理论是最近发展区理论的发展也是基于这一原因。其次，通过作为铺垫的变式题设计，使学生已有的知识和新问题之间的“潜在距离”得到调整，以便让教学过程成为探究式的而不是接受使的。4.2、设计理念由顾泠沅博士开创的变式教学理论，经过近三十年的教学实践和理论研究，现在已经是一个比较完善的教学理论了。美国当代著名心理学家布卢姆（B.Bloom 在中国他的知识目标分类学更有名）对顾泠沅先生的成就给予了高度的评价，1986 年，Bloom 到上海讲学时对顾泠沅感慨地说：“你在东方做了10 年，我在西方做了 40 年，所得到的结论几乎一致” 。言归正传，变式的概念在心理学中早已有之，无论译作变式还是变异，其实17都是同一个词译过来的，但心理学中的变式仅指概念变式，即通过对概念的外延的用正例和反例进行变式，使学习者能对所学的概念有充分的辨别，达到掌握概念的目的。顾泠沅的工作是在总结概念变式的基础上提出了“过程式变式” ，主要是用来解决程序性知识的教学。这正是中国变式教学理论的创新之处。众所周知，概念性变式是解决陈述性知识的教学的。过程性变式有几种表现形式，如：“表现为用于铺垫的命题，表现为作为某种策略学习和经验的桥梁，表现在问题解决中的变式” 。我们以“问题解决中的变式”为例来说明其结构。如图 14.3、 “问题解决”变式的一个设计例子引例：解关于 x的不等式 12xa例题 1 ：解关于 的不等式 )( （ 0a）变式：关于 x的不等式 12)(xa （ ）在区间（2，3）上恒成立，求：实数 a的取值范围。例题 2：关于 x的不等式 )8(logax 在区间1，2上恒成立，求：实数的取值范围。4.4、设计理由为了让学生解例题 1时不使程度较差的学习者感到困难，在讲此题之前让学生首先完成 引例 ，由于含参数不等式问题的难点在分类讨论，而分类讨论的困难之处是如何确定分类的标准。这样，这个引例的设计对中下生是恰到好处的。显然，原不等式等价于 02xa。由于 a2与 x无关，因此他的符号决定了不等式的解，于是有：（） （） 0 （） 02a的分类，且做到了不重不漏。在此基础上教师强调分类讨论时要确定分类的标准，讨论过程中要作到不重不漏（板书） 。而对中上的学生来说这个引例是不必要的。接下来就可以让学生解这个引例：原不等式等价于1802)()1(xa(*)当不等式两边同乘以 1时要考虑 1a的符号（与引例呼应） ，于是就有了第一层次的分类标准。 （） 0 （） 0 （） 01a ， 分别得到：（） 2xa （） 01 （） 021xa接下来在解（） 、 （）时要判断 与 2 哪个大？哪个小？这样就要进行第二层次的讨论。但 012aa （ 01） （ a）因此，第二层次的分类讨论就不必再细分了，因为 12a与 2 的大小已清楚。如果无 0a这一条件，则分类将要复杂的多。为了能自然地过渡到例 2 ，我们设计了一个变式题。这个变式题的两种常规解法正是例 2 所用到的，因此这个变式既是例 2 的铺垫也是例 2 的解法的预练，起到了一种桥梁的作用。变式题的两种解法如下：解法一（分离变量）： 3x， 0,1x，于是原不等式等价于 1xa，由 2知： 20 a。解法 2（函数思想）： 2，原不等式等价于0)()(（*）令 )2()1(axf（）当 1a时， 在（2，3）上是增函数，原问题转化为： )3,2(x时， （*）恒成立。只要 0)(af ，此时有 1a。（）当 1a时， )(xf=10 在（2，3）上恒成立。（）当 0时， 在（2，3）上是减函数，只要 13)( af，得： 21a，此时有 1x。19由（） （） （）得： 21a。由于例 2 的解法与这个变式题的解法完全一致，例 2 的解答过程在此省略。通过以上分析可以看到，基于“最近发展区”理论的教学难点阶梯式处理方式，能有效地克服学生学习中的困难，使他们易理解、易接受，保证了教学质量。同时让学生尝到了发现的喜悦，激发了学习的兴趣。5 最近发展区理论在数学能力培养中的作用什么是数学能力，许多数学家和数学教育学家对此给出过不同的答案。克鲁捷茨基在他的权威著作中小学数学能力心理学中从一般能力出发来研究数学能力。他从两个方面来看待数学能力的概念：（1）看作创造性的能力科学的数学活动方面的能力，这种能力能产生对人类有意义的新成果和新成就，对社会作出有价值的贡献。（2）看作一般学习能力学习数学的能力，迅速而顺利地掌握适当的知识和技能的能力。当然他所认为的这两种水平的数学活动是有联系而不是绝对的。 Vahervuo则认为应当区分现有能力和潜在能力，前者是受环境、教育等客观条件的影响想的能力，而后这是本身所具有的能力。 IngraWerdlin在 1958 年出版的（ T alMthemic Abity）一书，他给数学能力所下的定义是：数学能力包括：（1）对数学问题、符号、方法和证明的理解；（2）学习他们，记住并能重视它们；（3）与其他的问题、符号、方法和证明加以组合；（4）使用他们去解决数学问题和相关的类似问题。这一定义包括记忆和创新能力两个方面，以及理解和运用的两个方面。随着时代的发展我们关于数学能力有了新的认识和理解。在我国