计算方法复习习题

第 1 章 误差三、重、难点分析例 1. 近似值 的误差限为（ ）。0.45A 0.5 B. 0.05 C 0.005 D. 0.0005.解 因 ，它为具有 3 位有效数字的近似数，21045.其误差限为 。1230或 ，其误差限为 ,2pm132所以 答案为 B.例 2 已知 4125.x，求 4.x的误差限和相对误差限。解：（绝对）误差限： 05.3.0215x所以（绝对）误差限为 ，也可以取 。3.一般地，我们取误差限为某位数的半个单位，即取 .。相对误差限：rx 02.15.041.235.)( 所以，相对误差限 0r例 3.已知 求近似值 的误差限，准确数字,5926.3*4.3x或有效数字。解 由 误差限为,01.14 x 3102因为 ，所以由定义知 是具有 4 位有效数字的近似值，,3,pmx准确到 位的近似数。310注意：当只给出近似数 时，则 必为四舍五入得到的有效数，则可直接求出x误差限和有效数字。例 4. 已知近似数 求 的误差限和准确数位。,635.0,284.1baba2解 因 ，4102）（ a3102）（ b231065. b所以 准确到 位。,1022210 ,102)()( 34baba准确到 位。210注意：函数运算的误差概念，特别是其中的符号。第 2 章 线性方程组直接解法三、重、难点分析例 1 用列主元消元法的方程组53684221x注意：每次消元时主元的选取是各列中系数最大的。解 第 1 列主元为 3，交换第 1、2 方程位置后消元得，3156842321xx第 2 列主 ，元为交换第 2、3 方程位置后消元得3523168421xx回代解得 ,1123x第 3、4 章 插值与拟合三、重、难点分析例 1 已知 用线性插值计算 ，并估计误差。,)9(,2)4(ff )5(f解 取插值节点 x0= 4,x1= 9，两个插值基函数分别为)(5)(10xl )4(1(01xl故有 5653)9211 yllxL.56)(51f误差为 )(2)9(4!22 ffR例 3 已知的函数表 求在0，2 内的零点近似值。解 因为 yi 关于 x 严格单调减少，用反插值法求 f(x) 零点的近似值比较简单，具体作法如下：先作反函数表 将节点 x0=8,x1=-7.5，x 2=-18 及对应函数值 y0=0,y1=1,y2=2 代入二次拉格朗日插值多项式（2.2），再令 x=0,得45.0 2)5.78)(30)85.7)(.0)8(7.)(2 L于是得 f(x)在0，2内零点 4.21*Lfx值得注意的是，只有所给函数（或函数表）在a,b 上严格单调情况下，才能使用反插值方法，否则可能得出错误结果。例 4 已知数表：x 0 1 2y 8 -7.5 -18x 8 -7.5 -18y 0 1 2x1 2 3y3.8 7.2 10求最小二乘一次式。解 设最小一次式为 ，由系数公式得：xag101)(30ns206is14203ixs201iyf .4820iixyf于是有法方程组 .6130a解法方程组得 .*18*所以最小二乘一次式 xxg1.3)(例 5 求下列矛盾方程组的最小二乘解。2741x解 令 2132xu3u）（212121 )()7()4( xx由 0)62(211xx得法方程组 321解得 7xx所以最小二乘解为 7231x1例 6 已知插值基函数 ，证明 ：当 时，nkxl,0),( nmmkkxl0)(证明：令 ，mf则有 )(!1()()0xnfxlxnkmk因为 ，所以 。,)1(nf则 mkkl0第 5 章 数值积分三、重、难点分析例 1 在区间 上，求以 为节点的内插求积公式。,1,0,132xx解：由系数计算公式得 12 103)( ,4)(,)(dxAdA所以求积公式为 )1(30(4)1(1 ffff例 2 求积公式 的代数精确度为（ ）。230)20 fffdxf 解 由于此公式为 3 个节点的内插求积公式，代数精度至少为 2。令 ，代入内插求积公式得)(xf左边= ，右边 ， 所以 左边=右边4120203xd 431)0(31再令 ，代入内插求积公式得4)(xf左边= ，右边= 所以 左边 右边5220d321344所以此公式具有 3 次代数精度。例 3 用梯形公式和 的复化梯形公式求积分 ，并估计误差。4n10xd解 （1） 梯形公式 因为 ， ，代入梯形公式得1,0ba1)(xf则 75.002210 fdx（2） 复化梯形公式因为 和复化梯形公式得4abh)1(43)21()08110 fffffdx 697.07652因为 ， ， 1)(xf 3)1()xf 2)(max102fM所以 962)(3fnabfR注意：在用复化梯形公式和复化辛卜生公式计算 积分时注意系数的排列。例 4 用辛卜生公式和复化辛卜生公式计算 积分 ，使误差小于10xd310解 （1） 辛卜生公式因为 ， ，代入辛卜生公式得1,0ba1)(xf469.012406(24610 fffxd（2） 复化辛卜生公式因为 4)1()max54(104 xfM解不等式 344102280mabfR）（得 ，用 ，复化辛卜生公式计算得2m41,n )1(2)3()0(110 fffffxd69325. 4fffff例 5 设 为内插求积公式系数),10(niA证明 niiabx043)2(证明：设 ，因为)(f 0,4xR所以 。niibanii xAadx034303)(1第 6 章 常微分方程数值解法三、重、难点分析例 1 用欧拉法，预估校正法求一阶微分方程初值问题，在 （0.1）0.2 近似解)0(yx0解 （1）用 欧拉法计算公式1.h，nnn xyx1.9.)(1 .0计算得 9.0y 820.2（2）用预估校正法计算公式 1,0)(05.10(11)0( nyxynnn计算得 ，9.183.2例 2 已知一阶初值问题 1)0(5y求使欧拉法绝对稳定的步长 h 值。解 由欧拉法公式 nnn yyy)51(1h)(相减得 01)(5eeennn当 时， 时，有14.0欧拉法绝对稳定。例 3 欧拉法的局部截断误差的阶为 。改进欧拉法的局部截断误差的阶为 。三阶龙格-库塔法的局部截断误差的阶为 。四阶龙格-库塔法的局部截断误差的阶为 。第十章 非线性方程求根三、重、难点分析例 1 证明计算 的切线法迭代公式为：)0(a,1,2nxxn并用它求 的近似值（求出 即可）1x解 （1）因计算 等于求 正根， ，a02aaxf2)(xf2)(代入切线法迭代公式得)(211 nnn xxx ,1(2) 设 ，因 )(f ,02f 025.1)(f所以 5.1,*在 上 5.1, 02)(xf)(f由 ，选)(0xf .用上面导出的迭代公式计算得 4167.2)(210xx例 3 用割线法，一般迭代法求 的最小正根（求出 即可）。432x解 （1）用割线法因 ， ，故 ，02)(f 0125.)(f 5.0,*x在 上， ，5., 43x6)(f，3ma,)(min21Mf，182RK16K取 ， ，用割线法迭代公式0x5.1，)24()24( 13311 nnnn xx ,计算得 7.082x（2）用一般迭代法因 ， ，故)0(f 0125.)(f 5.0,*x在 上将 ，同解变形为5.,43x)(2(1x则 1634maxa25.0,5.0, x取 应用迭代公式，)2(413nnxx,1计算得35)8(1472.024x第 8 章 线性方程组的迭代解法三、重、难点分析例 1 已知向量 X=（1，-2，3）,求向量 X 的三种常用范数。解 ，maxiX 14,61221 niinii xx例 2 证明 ,1X证明 因为 11aXxxnipinipi1所以 ,1X例 3 已知矩阵 ，求矩阵 A 的三种常用范数。2A解 ， ，4max31jiji niijja114mx39 )9(43615282812 2AIT例 4 已知方程组 12213xa（1）写出解此方程组的雅可比法迭代公式（2）证明当 时，雅可比迭代法收敛4（3）取 , ，求出 。5aTX)10,5()0 )2(X解 （1）对 ，从第 个方程解出 ，得雅可比法迭代公式为：3,21iiix ,10,)21()()()(3(3)()(2()()( mxaxmmm（2）当 时，A 为严格对角占优矩阵，所以雅可比迭代法收敛。4（3）取 ， 5TX)10,5()0由迭代公式计算得， ， 10)(x28)1(x)1(3x， ， 53)2( 5)( 250)(则 =（ ， ， ）（XT例 5 用高斯塞德尔迭代法解方程组4351021x（1）证明高斯塞德尔迭代法收敛（2）写出高斯塞德尔法迭代公式