记高一数学《三角函数》定义探究课设计“发现之旅”的教研侧记

1高中数学论文探究，是向未知方挺进的旅程记高一三角函数定义探究课设计“发现之旅”的教研侧记【摘要】探究，改变着教师的教学模式；探究，改变着学生的学习方式探究，让师生有了领略探究旅程中“一路风景”的经历；探究，让师生有了向未知方挺进中“共谋发展”的机会那么，如何设计探究活动？需要考量什么因素？高一学生能否探究，怎么探究？又怎样去进行教学设计？本文以一个课时的教学内容设计，剖析探究型教学设计中的动因、前题、核心、主线、预设等等因素的特质认识，以形成对“探究”理性的认知，设计出理想且符合学生认知实际的教学“探究”范本，从而在探究活动设计中，增强教学的“品位”意识，催促学生思维能力的发展【关键词】探究 探究内涵 探究设计新课改给高中数学课堂教学带来的一个巨大变化：充满“自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学” 1等探究“因素”的学习模式的引入于是，学生那犹如坚冰式的、单一的“被动、模仿”的学习方式被打破，教师那犹如法律般的、单一的“独唱、灌输”的传授模式也备受冲击探究，探究活动的“设计” ，给我们的课堂，给我们教师专业素养及内涵的丰富，注入了崭新且无穷的活力一种课堂教学的新理念“高中数学课程应力求通过各种不同形式的自主学习、探究活动，让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识 ”1日渐在教师教学意识中生根、发芽、开花于是，教师对“探究”课的模式有了一定的了解，对探究课的设计有了一定的认识：探究，意味着已有所发现，只是不甚明白；探究，意味着认知从“现有发展区”向“最近发展区”启航，只是没有准确地把握好方向、没有选择好合理的路径探究为何物？谁探究，探究谁？特别是面对高一学生，我们在探究课中如何合理、科学、高效地设计，让探究活动，真正地在探究“未知世界”而不是追求“热闹” 本文就我校教师提供的人教版必修第一章12“任意三角函数”第一课时的三个“教学设计”案例，谈一点笔者的想法：对高一学生的“探究意识”培育，对高一数学课中“探究方式”的设计，对如何实现探究活动“合理化与核心化” ，探寻课堂教学艺术的“设计与实施”的真谛，以期望与同行们交流，不当之处愿与其商榷！ 一、从探究的理性认知，看三角函数“定义”的动因设计有效课堂，是我们共同追求的目标。叶澜教授对“理想课堂”也有过这样的论述：“课堂应该是向未知方挺进的旅程，随时都有可能发现意外的通道和美丽的图景，而不是一切都必须遵守固定线路而没有激情的行程课堂因为有了生成，才有了充满生命的气息 ”无疑，在探究型课堂教学中，我们时刻准备着“生成” ，并有对这种生成性教育资源的合理开发与有效利用的心理准备问题是我们如何准备？都准备点什么？特别是探究设计，应该建立在怎样的基础之上？11 动因探源，把握知识的发生、生成和发展从认知心理与知识结构上讲，高一学生刚从初中步入高中，有着强烈的学好高中数学的“内心需求” ，因而他们探究意识的主动性，会强于高二和高三，但知识结构与认知水平2则没有高二和高三学生那么合理与丰富所以，相应的探究型课题，应该选择在数学概念或法则的“发生与同构”这一过程，它能通过与“前置概念”的类比、质疑、引申，生成“当前”概念的条件或方向，形成探究的氛围，促成新概念的自然生成 12 动因设计，体验学科特质与认知规律的思维要求从行为认知与学科角度看：思考，特别是对问题的“静心思考” ，是数学学科的特质探究动因的设计，应该以“发现问题”为根本，通过合理、自然地发现问题，猜想、探索问题的发展趋势，因势而动地探究问题的本源所以，探究动因的设计，应该建立于“发现问题”的节点之上，获得探究的“激励因子” ，积极思考或质疑问题的本源，并时刻窥探着思维在不同局面中的碰撞，从而获得“意外”新知13 对“三角函数”教学设计的前思考通过研读教材、教参和学科指导意见 ，案例者都可以获得如下“教与学”的纵横深度认知上的共识（一）学生认知水平“现有发展区”与“最近发展区”（1）初中已学“锐角三角函数” ，在“角推广”后，认识有待提升（2）通过半个多学期的高中数学学习，问题的探究意识已经初步建立但数学学习的“兴趣” ，需要在更宽松环境里成长、变浓，从而转化为学习潜能（3）知识的“生长点”单薄，缺乏 “联系”意识（二）教师教学理念“现有发展区”与“最近发展区”（1） “关注过程，探究意识”等理念已初步形成，但尚需提炼，方可达到“心知肚明”的境界（2）集体备课、专业发展等交流平台，已形成机制但如何将其融入课堂教学艺术，尚待科学提炼（3）教案，已经不再定位在“应付检查” ，但仍忽视探究本质认识（三）教材内容初步解读与探究设计定位课题：任意角的三角函数 课文文本内容涉及一个“定义” ，一组“公式”和五道“例题” ，外加一个“探究”和一组“课内”练习内容显得“杂乱、零碎” ，需要一个“核心”统领全局，否则，课堂效率无从谈起 教参恰好给出了这节课的教学设计案例（P 20P 22） ，程序核心：提出问题，进而探究、对比、发现，最后给出了“几点说明”探究定位：定义的发生，认知的化归，以及“单位圆、坐标定义法、函数认识常规源”二、从“三角函数”教学设计，看案例的众生图腾虽说有了上述认知，但教学设计，特别是探究型教学设计，仍因教师的经历、专业素养、学情认知和教育理念等综合因素的差异，仍各有千秋只是我们如何通过对“差异”认知，提升自我！特别是“同课异构” ，为我们展示了对“探究”含义的不同解读节省篇幅，这里仅将“教学过程”设计主体部分陈述如下21 探究型教学设计， “空灵”中说爱也难【案例 1】教师在研读了教材后，结合自己的理解，给出了如下设计：3教学过程：引入问题：请学生回忆：初中所学三角函数是指什么，怎样表示？如图 1 中，角 的相应三角函数怎么写？（单位圆未出现）设计意图：概念类比，认知冲突知识探究：由问题探索，高中数学中任意角的三角函数与初中“所学”有关联吗？显然，当 OP 位于第一象限时，即初中“所学”相同，而位于其它象限时，如何表示呢？三角函数定义：如图 1，角终边与单位圆交于 P（ ） ，则yx,； ； sin)(f cos)(f tan)(f问题探讨： （1）这是一个“什么样”的函数？（理解方向：自变量、对应关系）（2）作为一个“新”函数的面世，你最想知道什么？你准备从何下手？（例 1 方向）（3）请你从函数的基本认识方向，以此函数特点提一个问题，并解决它 （例 2 方向）（4）从三角函数的定义出发，你认为求它们的“函数值” ，需要什么？（例 1、2 小结）运用探究：【例 1】求角 的三角函数值 （关键：理解定义，会作单位圆之“定义图” ）34变式： （设计意图：三角函数线的作用与发现）5cossin22问题探讨：（1）P 13的探究，你自己可以完成吗？试一试，结论有何特点？（回答：P 15练习 4）（2）说说“公式一”的价值，这对三角函数产生什么影响？（3）你对三角函数的“函数值” ，总体有什么认识了？运用探究：【例 2】求 的值，并指出 与 的关系49cos59cos4变式：P 15练习 6使 ）有意义的 在 （ ）)s)slg(in（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限知识小结：（核心：三角函数是一个“什么样”的函数，定义、法则、特点等具体指什么略）22 探究型教学设计， “太实”说爱真累【设计 2】B 教师的教学过程：1问题提出师：初中我们曾学过三角函数，请根据右图 1，写出下列三角函数的表达式：（设POM=） ， ， sincostanxoy P图 1M4思考：角推广后，如图 2，角 的三角函数又怎样表示？你能将两者之间沟通起来吗？比如图形叠加有何感觉（其中圆 O 为单位圆： ）？1r生 1：可以让 OP=1，将两个图合并在一起，如图 3，但由角 与POM 对应关系，它们的三角函数显然不一定相同？生 2：若 OP=1，角 的终边与单位圆始终有交点 P，其坐标为（ ） ，在POM 中，则yx,，那么，我们是否可以直接定义： 呢？yPOMsin sin师：他们发现了问题，也提出了一个大胆的设想，大家看看，也想一想，可行吗？2定义的发生与形成待学生有所思后，两图“合并”形成了图 3生 3：我认为可以，角 的终边在第一象限时，与初中学的一样，至于 P 在终边的什么位置，由相似比知，不影响其“比值”大小，当然选择与单位圆的交点较好， ，1r结果简单即：， ， （ ） ysinxcosxytan0生 4：这是以“角”为自变量的函数，函数值就是点 P 的坐标 ，或它的比值，显然，yx,当角确定时，P 的坐标 也唯一确定，符合函数的定义方式 ,（至此，可让大家阅读 P12例 1 前课文，并思考：高中是怎样定义三角函数的？）3定义理解与运用师：作为一个函数，我们最想知道的基本问题是什么？我们刚才定义的三角函数，相应怎样？生 4：当然是定义域和函数值呀，图 3 中的线段 MP，OM，就是坐标 ， ，它们就代表了yx相应角 的正弦、余弦，看看它们，就看见了三角函数！比如：当 时， ， ， ，但它“看不见”！/32/sin2/cos1tan生 5：他所说的其实就是 P12中例 1，2 的意思：只要给出一个角（自变量的值） ，或角终边上一点的坐标，即可求三角函数的值不过，P 12例 1 中的坐标怎么来得，我不是很清楚？生 6：这个方便，主要是用好|OB|=1，AOB= ，记 B 到 轴上的垂足 N，35x用初中的三角函数关系就可求得生 7：例 2 的解法有点麻烦，能“直接”吗？就像书例 2 旁边的“批注”一样xoy P图 3M图 1PM Oxoy 图25师：从刚才大家的课文阅读与理解交流中，我们知道：三角函数是以“角”为自变量的函数，借助“弧度制” ，它是一个以实数为为自变量的函数通过角的终边与单位圆的交点所得坐标，就能知道它们的函数值，书中 P12的“批注” ，也可以说是定义的推广！4三角函数线师：大家是否注意到“生 4”说： ， 看得见，而2/sin2/cos看不见，这是什么意思？（结合图 3）1tan生 4： 可以用线段 MP，而 可以用线段 OM，不仅大小，而且包含符号只要将si co这里的线段看成有方向就行了，与坐标轴的方向一致为正，相反为负但 不能！tan生 2：结合例 2，把 MP 这种线段移动到轴与单位圆的交点处，如图 4，MP 就能代替，只是这“”不太协调，tan生 5：让线段带方向，可解决“符号”问题，往下画就可以了，只是，对按图 5 画，就可以解决了，与正弦、余弦统一了师：这想法很好，也就是说，三角函数的代数表示即坐标，而几何表示即上面的三条“特殊”的“有向”线段：MP，OM，AQ，即图 5请大家分别画出终边在另外几个象限时的三角函数线，并读出相应函数值的特点是什么？ 5知识运用探究：已知 ，求角 的三角函数值4/9变式：设 ， （如图 1）20试比较 ， ， 的大小sinta设计意图：自然理解“公式一”的作用，掌握定义法求值要点，体验“三角函数线”的运用价值探究：讨论适合不等式 的角 所在象限，反之是否成立，0sint并说明理由 （P 13改编理由：适度降低“心理”难度，让思维更容易流畅）探究：试确定下列三角函数值的符号： ， ， ，1035sin)431cos(39tan319tan4si ，其中)2()2/,思考：你认为确定一个三角函数值的符号，可用哪些方式？6知识小结：（略）23 探究型教学设计，真要说爱需有灵魂xOy P图 4M xOy Q图 5AxOy P图 1M6【设计 3】C 教师的教学过程：1问题提出方向 1：高初中知识“无缝”衔接：角的终边位于第一象限，发展：坐标表示质疑：与交点位置有关吗？其它象限时，不能相等的原因是什么？（无关，还差一个符号）方向 2：实际问题（假日乐园里的摩天轮每一个游客到地面的距离）2定义的发生与形成如图 1，记 OP=1，P（ ） ，则角 的三角函数可表示为：yx,， ， sincostan探究：请依据图 1，思考下列问题（学生口答即可）（1）你认为上述表示的理由是什么？（2）上述结果直观地从图上看得出吗？有何规律？（3）当角 反向，在第四象限时怎样？（2）中表示规律还有吗？（4）你如何给角 推广后，能否依据上面感悟给三角函数下一个定义？（5）从（4）的定义方法中，你认为三角函数的“值”如何求？结论：三角函数是一个“比值”函数，关键看交点坐标三角函数也可用“几何”线段表示，虽说有方向性要求，但能直观“看到”一些特点，例如：特殊值、符号等等阅读 P12例 1 前课文，并思考：高中是怎样定义三角函数的？3三角函数线：由 2 中结论结合图 1 知：， ， （注意有方向）MsinOcos那么 ？原因是什么，如图 2AT 直线你感觉有ta什么效果？其原理是什么？设计意图：高一学生的探究活动，其探究动因设计，应该具有一定的指向性， “过份”的开放设计，会使探究活动的思维活动难以激活，或流于形式地在教师身后“跟风”探究，因探究能力是与学习经历与认知水平“正相关” 探究：（1）当角 在第一象限时，如图 2 过 A（1，0）作 AT 轴， ？xtan当角 在第四象限时，结果怎样？（2）你还能发现什么结论？（3）你认为还要探究什么，请与同桌一起探讨，5 分钟后，告诉大家你探究时，发现的问题和结果预测 1：无法相交，探究终止；或按图 3，但结果与正余弦不统一（追问：需要统一吗，怎样统一？能否就按图 2 进行？）预测 2：（正确型）探究：利用“三角函数线”的直观性，它会告诉我们三角函数是具有什么特点的“函数”吗？咱找“三个代表”来说！生 1：高中三角函数，其实就是初中三角函数“加上一个符号 ”，xoy P图 1Mxoy P图 2M ATxoy P图 3MAT7有时正有时负每一个都有两正两负，借坐标正负可知生 2：这高中三角函数，主要看终边上一点的坐标，与单位圆的交点最简单，还可直接知道一些特殊角的三角函数值或关系如： ， ， ，2/45cossin145tan0si1cos第一象限都为正，且 ； cosi2tan生 3：当终边在第二、三象限时，正切线，必须作反向延长线，才能有交点 T阅读 P1214 例 2，3，4，思考：例题告诉了我们什么，请概括！（即自我反思：这些例题，解决了什么问题，说明定义的什么作用？与三角函数线有关吗？） 4知识理解与运用探究：运用所学的三角函数知识，说一说问题提供了什么信息，你怎样解决下列问题？（1）在 上满足 的 的取值范围 （ 2,021sinx）（A） （B） （C） （D）6, 65,32,6,65（2）在 内，满足 的 的取值范围是 ),0( xtant2（3）已知 MP，OM，AT 分别表示是 600角的正弦线，余弦线，正切线，如右图所示，则一定有 （ ）（A）MP OM AT （B）OM MP AT（C）AT OM MP （D）OM AT MP（4）如果 ，那么 （ ）)4,0(（A） （B）tan1cosin tan1sico（C） （D）ti it设计意图：指示语的用意：培育“审题”的含义即获取信息与加工，问题的解决需要策划围绕“三角函数线”设计问题，除巩固知识外，更强调“数形结合”思想的自然渗透5提炼与探究师：本节课我们在初中“三角函数”的基础上，探究学习高中“三角函数” 具体为指三角函数的定义（代数方面的，关键是点的坐标表示）三角函数线（几何方面的，xoyAPTM8关键是与单位圆联系的特定的“有向线段” ）三角函数“值”的基本问题：求法、符号、关系等，请结合上述学习经验，再探究两个问题问题 1：在在 内，满足 的角 的范围是什么？)2,0(cosin问题 2：若点 P（ ， ）在第一象限，在 内，角 的范围是什么？cosinta2,0问题 3：请根据你对上面问题的探究过程，改编上述两个问题，自行进行探究，并与同学交流探究体会 6小结（即“5” ，具体略）三、从探究流程的实际操作，看探究反思的点点滴滴1探究核心要具有统领功能探究，是要有清晰、合理的“核心” 它统领着整个教学进程，它可明可暗本节课的探究核心是三角函数线但三个案例探究略有差异：【案例 1】定位于：三角函数是“一个”函数 ，探究主要是围绕“函数”的基本内容展开，无疑仍停留在以“知识”为主的层面上 【案例 2】虽也将探究定位于 :三角函数线，但探究过程中教师的“角色”定位不准：学生的主体被教师的行为所 “淹没” 【案例 3】是从引入（特别是方向二）到主体探究，再到“运用探究” ，乃至“ 课堂小结”和延伸课外的探究，都围绕着“探究核心” ，这就是探究核心的统领功能2探究前题是要有所发现探究，不可能“空穴来风” ，即探究的前题是发现问题而“发现”就得遵循认知规律高一学生，凭其认知的“现有发展区”水平，他们难以发现有价值问题。而创设什么情境，如何利于这种发现？其探究的形式是怎样的？教师必须做到“心中有数” 【案例】在引入环节中，它只注意“认知冲突” ，而无视高初中知识的“无缝”衔接：角 终边在第一象限，其“差异”中的问题不是自然“发现” 特别是关于课文“阅读” ，有点“横空出世” 【案例 2】是在探究完成后再“阅读” ，既不经济，也不实在，探究“被”人为作秀