高中数学教学论文：函数新视点：谈三次函数为背景的不等式问题

- 1 -函数新视点：谈三次函数为背景的不等式问题【摘 要】 导数进入高中数学教材，使函数研究的范围也随之扩大特别是以三次函数为背景的不等式问题正成为考试中的新亮点，以构造三次函数解决不等式问题、求三次函数中含参变量的取值范围、以三次函数形式下构筑二次函数问题等为突出，形成考查学生运用所学知识分析问题和解决问题的综合题，因此它应是高考复习的一个重点探索三次函数的性态和解题规律与方法成为必要本文就以下三个方面进行了论述：1、构造三次函数背景，转化问题解决策略；2、运用三次函数的性态，求解含参变量范围；3、利用三次函数背景，构筑二次函数问题综观函数、不等式、数列、解析几何为一体的三次函数问题正成为高考的新热点，这类题考查学生的综合素质，凸现数学潜能【关键词】 三次函数 不等式 构造 单调性 极值点 取值范围导数进入高中数学教材，赋予函数以新的活力，使函数研究的范围也随之扩大由于三次函数的导数为二次函数，它交汇了函数、不等式、方程、数列等众多知识，因此以三次函数为载体的试题层出不穷特别是以三次函数为背景的不等式问题正成为考试中的新亮点，这类问题背景新颖独特，选拔功能强，以构造三次函数解决不等式问题、求三次函数中含参变量的取值范围、以三次函数形式下构筑二次函数问题等为突出，形成考查学生运用所学知识分析问题和解决问题的综合题它较好的体现了课本知识内容与能力要求的关系，具有较好的区分度和选拔功能，因此它应是高考复习的一个重点下面就相关试题进行解析，旨在探索三次函数的性态和解题规律与方法1构造三次函数背景，转化问题解决策略问题解决的策略选择，是学习数学的重要环节，是学生思维能力的重要体现在各类考试中，占据着特殊的地位构造三次函数的背景，利用三次函数的导数大于零或小于零来判断的三次函数的单调性，从而解决问题例 1 解不等式： 0510)(833xx解：设 xf5)，因为 )(2/f，所以 )(xf在 R上单调递增函数原函数等价于 2(f，所以 x1解得： 12x或 例 2 已知数列 na满足 )(3*1Nnann，且 ),0(1ba（）证明 ),0(； （）比较 1与 的大小；（）是否存在正实数 c，使得 2can，对一切 *恒成立？若存在，则求出 c的取值范围，否则说明理由- 2 -解：（）设 xxf231)(，则当 )1,0(时， 023)(/ xf 所以 在 ,0为增函数，由 ba知， 1)(12faf以下可用数学归纳法证明 ),(1nnf（）因为 )1,(na，所以 nnn 310)(2223nna，即 1na（） 303020 nnnnn acaccaca 或3n对 *N恒成立由（2）知 n1所以 n为递增数列所以 nac，对 *恒成立 3minbac2运用三次函数的性态，求解含参变量范围根据二次函数 )0(2bxy图象与性质的图表，类似地得出三次函数)(23adcbxay图象与性质的图表：三次函数 )0(23adcxbafy03 032acb三次函数的导函数 cbxaxf23)(/的判别式 )3(4124acbacb三次函数 )(xfy的简图方程 0f的实根 三实根 两实根 两实根 一实根 一实根不等式 )(x的解集 ),(),(543x),(3x),(),(23x),(3x),(3x不等式 0f的解集 1函数的极值 有极大值 )(xf,极小值 )2(xf 无极值函数的单调性 单调递增区间 ,(21，单调递减区间 ),(21x单调递增对称中心 79,32adbc奇偶性 当 0db且 时, )(xf为奇函数上述图表，例举了三次函数的图象与性质，把函数、求导数、可导函数与其单调性的关系，二- 3 -次函数的性质以及不等式的解法集合在一起以三次函数为背景的问题，考查知识的综合应用能力、分析推理能力，涉及函数思想、方程思想、分类讨论及数形结合等思想方法，把知识点、能力融入新课程改革中去充份理解上述图表，以下问题可以迎刃而解了，如：例 3、如下图，已知 32()(0)fxabcxda，记 24(3)bac，则当 0且0a时， ()fx的图像可能为（考试报 2008.04.08. 2008 年高考模拟试题（一） ） （ ）此题显然 C 为正确答案例 4、设 a为实数，函数 3()fxa（1）求 ()fx的极值；（2）当 为何值方程 0f恰有两个实数根。（2006 年福福州 4 月检测题高中数学总复习导与练 ，学生用书 P20）解：（1）令 /2()3fx得 12,x又因为当 (,1)x时， /()0fx；当 ,x时， /；当 ()时， /()0f，所以 f的极小值为 )fa； f的极大值为 12a（）因为 ()在 ,上单调递减，且当 x时， ()fx又 fx在 1,上单调递减，且当 时， ()f，而 2a，即函数的极大值大于极小值，所以，当极大值等于时，极小值小于此时曲线 ()f与 x 轴恰有两个交点，即方程 0fx恰有两个实根，所以 20,a；当极小值等于时，极大值大于，此时曲线 ()与 x 轴恰有两个交点，所以 2综上，当 和 2a时方程恰好有两个实数根 （如图）例 5、已知函数 ()fxb的图象与函数 2()3gx的图象相切， ()()Fxfgx（1）求实数 b的值以及函数 ()Fx的极值（2）若关于 的方程 k恰有三个不同的实数根，求实数 k的值。（高中数学总复习导与练 ，学生用书 P20）解：（）依题意知，在切点处有 /()fxg，得 1x，所以函数 ()fx的图象与()gx图象的切点为 (1,0)，则 b，于是 32()45f，故/2385Fx，令 /2(850Fx，得 或 ，列表如下： B1 (a=2)DCA1(a= -2)- 4 -x 5(,)35(,1)3(1,)/)F+ 0 0 +(递增 极大值 427递减 极小值 递增由上表可知： ()x在 53处取得极大值 ，在 1x处取得极小值（）根据上表可画出函数 ()Fx的大致图象，如图，由图象可知：当 ()yFx的图象与直线yk有三个不同交点时，关 x 于的方程 k恰有三个不同的实数根此时实数 k的取值范围是4(0,)27例 6 若函数 1)(213( xaxf 在区间)4,1(内为减函数，在区间 ),6内为增函数，求 的范围(2004 全国卷文科)解：令 01(2/axf 得 x或 1a（1）当 即 时，函数 )(f在 ),上为增函数，不合题意，舍去（2）当 即 时，函数 在 上为增函数，在 )1,(a上为减函数；在),(a上为增函数，由题意得 64，故 的范围是 75|例 7 已知 dcxbxf23(在 )0,(上是增函数，在 2,0上是减函数，且方程0)xf有三个根，它们分别为 ,（）求 c的值； （）求证： )1f；（）求 |的取值范围( 2003-2004 年高考数学仿真试题)解：() cbxxf23)(/ ， (xf在 0,上是增函数，在 2,0上是减函数当 0时， )f取到极大值 /， c（） ， )24d， bxf3(2的两根分别为3,21x， )(f函数在 2,0上是减函数， 232x， 3b 71)(41bdb（） ,是方程 xf的三个根，可设 )(2)()xxf ， 22)(23xf ,db .1,dby=k254(,)37531- 5 - |db2)(4)(2168)( 22b 3b 3|例 8 设函数 dcxaxf 4)(2 （a、b、c、dR）图象关于原点对称，且 x=1 时，x取极小值 .3（）求 a、b、c、d 的值；（）当 1,x时，图象上是否存在两点，使得过此两点处的切线互相垂直？试证明你的结论；（）若 ,21时，求证： 34|)(|21xff.（江苏省高三数学适应性考试）解：（）函数 )(xf图象关于原点对称，对任意实数 )()(xff有 ，dcbaxdcba42323 ，即 02dbx恒成立0,dcaff )(,)( ，1x时， )(xf取极小值 30,且 ，解得 1,c（）当 ,时，图象上不存在这样的两点使结论成立假设图象上存在两点 ),(1yA、 ),(2yxB，使得过此两点处的切线互相垂直，则由 )(2xf知两点处的切线斜率分别为 1,221xk，且 12（*）、 ,， 0)(,0, 221221 xx此与（*）相矛盾，故假设不成立.证明（） 1,)(,)(2 fxf 得令 ，或 ;0,1( xfx时时 ，)在f上是减函数，且 32)(,32)1(minma fxff 在1，1 上， ,32|)(| 21xxf于 是 时， 34|)(|)(| 2121 fffxf（2004 重庆理科）设函数 )1(,)(axx（）求导数 /f；并证明 )(f有两个不同的极值点 21,x；（）若不等式 021f成立，求 的取值范围 - 6 -（2004 浙江文科）已知 a为实数， )(4)(2axxf（）求导数 )(/xf；（）当 01/，求 f在 2,上的最大值和最小值；（）若 在 ,和 上单调递增的，求 的取值范围 3利用三次函数背景，构筑二次函数问题例 9 设曲线 cxbaxy231在点 处的切线斜率为 )(xk，且 0)1(，对一切实数 x，不等式 )()2k恒成立 )0(a（）求 1(的值；（）求函数 xk的表达式例 9 就是函数题（二次函数 cbf2)(的图象经过点 )0,1(且 )1(2)xfx对