高中数学：活用平面向量的数量积解题

高中数学：活用平面向量的数量积解题平面向量的数量积解题运算有其独特性：ab= cos （ 0018）(定义式) 或 21yxba（坐标式） ；应用非常广泛，利用它可以很容易地处理有关长度、角度和垂直等许多问题本文借助 2年高考题说明用平面向量的数量积解题的常规技巧，供大家参考一、向量数量积的基本运算例 1：（ 08北京）已知向量a与 b的夹角为 012，且a= b4，那么b（ 2a b）值为 解：由 （2 ）= 2ab=2 ab01cos= 24)1(40例 2：（ 08湖北）设 a=（1，2） ，b=（3，4） ，c=（3，2） ，则（a2 b） c等于（ ）A、 （15，12） B、 C、3 D、11解：由 2 =（5，6）则（ a2 b） c=（5）362=3 故选 C评注：例 1 考查向量数量积运算的定义式，例 2 考查向量数量积运算的坐标式二、求解向量的长度问题例 3：（08 江苏）已知向量a与 b的夹角为 012，且a=1， b=3，则ba5= 解：由 2 1025)(2bab52a 100cos= 49)2(32则ba5=7例 宁 夏 、 海 南 ） 已 知 向 量： （ 084a=（0，1，1） ，b=（4，1，0） ，且,29ba则,0= 解:由题知 ),14(由 29ba 得 2962 02 3或 , 评注：求向量的长度的依据是：2a 设 a= 则),(yx2yx三、求解两向量的夹角问题例 5：（08 陕西）非常向量 和 b满足 a= b，则 a与b的夹角为 解：（法一）由ab得 2又 b= 得 2 ab 2a21而 b ab232aa3设 与 b的夹角为 ，则 ba)(cos23322a 0018 0 即 与 b的夹角为 03(法二)由向量加法的几何意义，作下图，任取一点 O，作aA，bOB，以 A、 B为邻边作平行四边形 CB，使 ，则平行四边形 C为菱形 平 分 ，又 a b， a b = 即 BAO ABC为等边三角形 03C a与 b的夹角为 03Ba与b的夹角为O AC评注：求两非零向量 a与 夹角 的依据： bcos（ 0018）设 a),(1yx， ),(2yx 则 )()(cos221在本例中，解法二是由向量的几何意义，利用平面几何知识，数形结合，形象直观四、判断两向量垂直问题：例 宁 夏 、 海 南 ） 已 知： （ 086平面向量 a=（1，3） ，b=（4，2） ，且 a b与 垂直，则 等于（ ）解：由 与 a垂直得（ b） 0即 20a103122）（， ab102341）（）（代入上式得 评注：判断两向量垂直的依据：若 a与 b为非零向量，则 a b0非零向量 ),(1yx， ),(2yx 则 02 五、与三角形有关问题例 为、山 东 ） 已 知： （ cb087aABC的三个内角 A、B、C 的对边，向量m)1,3(，n)si,(o，若m n，则角 A 大小为 解： 0 即 0sic3 0cosA tan 3例 8：（08 湖南）在 BC中， 10,2,BCA，则A等于（ ） 23D 3 3223 、 解：在 BC中，由余弦定理得： 410cos 222 ）（则A23CABcos