高考数学指导：导数的综合应用

1高考数学指导：导数的综合应用导数既是高中数学的新增内容，又是高考的新热点，导数知识的综合运用涉及到函数、方程、不等式、物体运动的瞬时速度和应用性问题.本文从以下八个方面研究导数的应用,供大家参考.(一) 求与曲线的切线斜率有关的问题曲线 )(xfy在点 )(,0xf处的切线斜率为 )(0xfk，切线方程为.(00f例 1 (03 年高考题) 设 ,)(,2cbxaxfa曲线 )(xfy在点)(,0xfP处切线的倾斜角的取值范围为 ,40则点 P 到曲线fy对称轴距离的取值范围为（ ）.(A) a1,0 (B) a21,0 (C) ab2,0 (D) ab21,0分析：本题应把曲线的切线斜率、二次函数的性质及不等式的性质结合起来思考.解： ,2)(baxf曲线 )(xfy在点 )(,0xfP处的切线斜率是 .20bax 又曲线 )(fy在点 ,0处切线的倾斜角的取值范围为 ,4因此斜率的取值范围是 1,即 ,12bax,0a而abx20.1又曲线 )(xfy对称轴方程为 ,2点 P 到曲线 )(fy对称轴距离为 ,200ab其范围是 a1,0, 故选(B).例 2 (03 年高考题)已知抛物线 .: 221 xyCxyC和 如果2直线 l同时是 21C和 的切线，称 l是 21C和 的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段.(1) a取什么值时, 21和 有且仅有一条公切线? 写出此公切线的方程；(2)若 21C和 有两条公切线,证明相应的两条公切线段互相平分.分析:先分别假设两抛物线上的切点，写出相应切线方程，再由它们是同一个方程，得出对应项系数相等进行思考.解:(1)函数 ,22xyxy的 导 数 曲线 1C在点 )2,(11xP的切线方程 ),()( 1112x即 .)(2x 函数 xyay的 导 数 曲线 2在点 ),2aQ的切线方程：),(2)(22xx即 .a 若直线 l是过 QP和 的公切线，则和都是 l的方程， 所以 .,12ax消去 .012:12 axx得 方 程若判别式 ，时 解 得即 2,0)(41a此时点 P 与 Q重合. 时即 当 212C和 有且仅有一条公切线 ,由得公切线方程为.4xy(2)略.(二)求运动物体的瞬时速度物体的运动方程为 ),(tS则物体的瞬时速度为 ).(tSv例 3 向高为 8m,上口直径为 8m 的倒圆锥形容器内注水,其速度为每分种 4m ,求当水深为 5m 时,水面上升的速度.分析：由注水体积与容器内的水的体积相等，建立水深与时间的3函数关系，再用导数方法思考相应时刻水深的变化率.解:设 t 分钟后水深为 y m,此时水面半径为 yr5.0m, ,)5.0(3142t.4831,4823tt当 .48,ty时 5621ty.答:水面上升的速度为每分钟 米.例 4 两船同时从同一码头出发,甲船以每时 30 公里的速度向北行驶,乙船以每时 40 公里的速度向东行驶,求两船相离的速度.分析：本题由物体运动距离与时间的关系，思考物体在各时刻的运动状态.解:依题意有,两船的距离 d 与时间 t 的函数关系为: )(td ttt50)4(3022,其中 .t两船相离的速度为每时 50公里.(三) 求函数单调区间函数 ),(baxf在 内可导,若 ),0()或xf则 )(xf在 ,ba内为增函数(或减函数 ).即: xf单增 (减) 区间为 )0ba的解集为);,ba )(xf在 ,单增(减 ) )(xf,在 )(内恒成立.例 5 (02 年高考题) 已知函数 x23在 x=1 处有极小值 1，试确定 a ,b 的值，并求出 )(xf的单调区间 .分析：由函数值和极值确定 a、b，再根据导函数值的符号确定函数单调区间.解：由已知,可得 1231)(f， ,263)(2baxxf0263)1(baf.由得 ,ba.故 f3)(. 4123)(xxf.令 ,13,0)(.3,0 xxff 解 得令或解 得在 )(,1()3,(f上和 为单增；在 )(,(f上 为单减.例 6 (03 年高考题)设 ,0a求函数 ),0(ln)xaxf 的单调区间.分析 :本题是含参数函数的单调区间问题 ,要对参数进行分类讨论 .解： ).0(12)( xaxf ,042,0, 2afa时当.)()( xx(1)当 1 时，对所有 ，有 ,0)(,)42(2xfax即此时 )(xf在 ),0内单调递增.(2)当 a 时，对所有 1x，有 ,)(,)(22 xfx即此时 )(xf在 1,内单调递增,在 ),(内单调递增.又 在 处连续，故 xf在 0内单调递增.(3)当 0a时，令 )(，即 ,0)42(2axx解得 .12,12axx或)(f在 ),内单增,在 ),(内单增.令 0x，即 ,04(22xax得 .1212axa故 )(f在 )1,1a内单调递减 .(四)求函数的最值求可导函数 )(xf的极值的步骤为：求导数 );(xf求方程50)(xf的根;检验 )(xf在方程根左右的符号，若左正右负，则在这个根处取极大值；若左负右正，则 )(xf在这个根处取极小值；若左右符号相同，则 )(xf在这个根处没有极值.若 )(xf在 ba,上连续，在 ,ba内可导，求 )(xf在 ba,上的最值的步骤为：求 ),(f在 内的极值；将 的各个极值与 )(f、)(bf比较，其中最大的为最大值，最小的为最小值.例 7 (00 年上海高考题)已知函数 .,12)(xaxf (1)当21a时，求函数 (xf的最小值;(2)若对任意 0)(,1f恒成立,试求实数 a 的取值范围.分析：本题由导函数值的符号确定函数的单调性,再求其最值.解：(1) ,021)(,12xfxa时当 ，在 1)(xf上单增，最小值为 .7)1(f(2)对 0)(,xfx恒成立 02ax恒成立a2恒成立.设 ,12u,则 a 大于 u 的最大值,又,0xu,1,在 是减函数，当 1x时 u 取得最大值.3.例 8 求函数 xxf54)(23在 2,1上的最大值和最小值.分析：先用分段函数表示，思考连续函数在闭区间上的极值及在端点处的值，即可得出最值.解: 2,1)(在xf上连续， 2,1)(在xf必存在最大值和最小值.6 2,0)54(1)2xxf 2,0)1(53)(xxf函数 f在 x=0 处不可导，且解 0f得 .3,2 .)2(,75)3(,)1(,)0(,1)( fff函数 x在 x=0 处取得最小值 0；在 x= 1处取得最大值 10.(五)求参数的范围此类问题考虑参数与变量分离的方法解决.例 9 (00 年高考题)设函数 axxf12,其中 0.(1)解不等式1xf；(2)求 a的取值范围，使函数 f在区间 上是单调函数.分析：要使函数单调则 )(xf在 ,0上恒正或恒负.解：(1) 略. (2) .1)(2axf当 0x时, ;1122xx当 0时， .012x.,2x又 a0,当且仅当 a时, ,1)(2axf ,上恒小于 0.故 ,0)(,1在时 xf上是单减函数.例 10 (02 年上海高考题)已知函数 .5,2)(2xaxf (1)当 1a时，求函数 (xf的最大值和最小值；(2)求实数 a 的取值范围，使 )(xfy在 5,上是单调函数.解: (1) ,5,2)(2xxf .2)(xf令 ,0)(xf则.1x比较 17)(,37ff得 的最大值 37，最小值 1.(2)要使 )(xy在 ,5上单调，当且仅当02)(axf 或即 5,xa或 总成立 . .5a或7(六) 求函数解析式此类问题往往先用待定系数法设出函数的解析式,再用函数性质思考.例 11 (95 年上海高考题)设 )(xfy是二次函数，方程 0)(xf有两个相等的实根，且 .2)(xf求 的表达式.分析:由待定系数法设出二次函数的解析式,用导函数比较系数和判别式为零来解.解：设 ,)(2cbxaxf则 ,2)(baxf又 .2)(xf .,1ba.f又方程 0有两个相等实根, .1,04c故 .1)(2xf例 12 已知 )(xfy是一个一元三次函数, )(xfy在和3x处分别取得极值 .62和 求此函数的解析式.分析:由函数值和导函数值列出方程组思考解决.解:设 ,)(23dcxbaxf则 ,23)(cbxaxf 依题意有：97 067 ,632)3(cf .)(cf 解的方程组,得 4,10,27dba即 .4271)(3xxf(七) 证明不等式这是导数问题的新题型, 函数、方程、不等式相互关联,解题时往往构造函数，考虑函数的性质.例 13 (01 年高考题) 已知 nmi,是正整数，且 .1nmi8(1)证明 : ;inimA(2)证明: .)1()(mn分析：本题不等式（2）等价于 ll，即 )1ln(m )1ln(，构造函数 )2(,1l)(xxf 思考其单调性即可.证明:(1)略.(2)考查函数 ),2(,1ln)(xxf 则 .)1ln()(2 xxf 由2x知 , ,3ll,10,0在ff 上单减.又 nm)1n()()1ln()l(m故 .)(m例 14 若 ),0)(baxaxf 在 txs和 取得极值 ),(ts求证： .0bts分析：由 s, t 是 )(xf的两实根，考查 0)(xf的根的分布.证明： ,23axf .3)(2abf )(xtsx时和 取得极值， ts、是方程 )(xf得两根，由根与系数关系知 ts、 均大于 0.又 ,0)(af)()abf,0,0)(abfxf在区间 ),(,及 内分别有一根. .,btasts(八) 解应用问题解决数学应用问题，先构造目标函数，再根据导数和不等式知识确定函数的极值或最值.例 15 一种变压器的铁心的截面为正十字型，为保证所需的磁通量，要求十字型应具有 54cm 2的面积，问应如何设计正十字型的宽 x 和长 y，才能使其外接圆的周长最短，这样可使绕在铁心上的铜9线最省.解:设 ,2hxy由条件知 ,542xh).54(12x设外接圆半径为 R, ,2(42hxy记 2Rf ).0(,4522xx则 )16)43xf令 ，得)(f此时 2最小，即 R 最小，从而周长最小，此时 xcm, y51xhcm.例 16 (01