高考数学第九章平面解析几何第11课时直线与圆锥曲线的综合应用更多资料关注微博高中学习资料库1

1第九章 平面解析几何第 11课时 直线与圆锥曲线的综合应用1. (选修 11P44习题 4改编)以双曲线 1 的中心为顶点，且以该双曲线的右焦x24 y25点为焦点的拋物线方程是_答案：y 212x解析：双曲线 1 的中心为 O(0，0)，该双曲线的右焦点为 F(3，0)，则拋物线x24 y25的顶点为(0，0)，焦点为(3，0)，所以 p6，所以拋物线方程是 y212x.2. 以双曲线3x 2y 212 的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆的方程是_答案： 1x24 y216解析：双曲线方程可化为 1，焦点为(0，4)，顶点为(0，2 ) 椭圆y212 x24 3的焦点在 y轴上，且 a4，c2 ，此时 b2， 椭圆方程为 1.3x24 y2163. 若抛物线 y22px 的焦点与椭圆 1 的右焦点重合，则 p_x26 y22答案：4解析：椭圆 1 的右焦点(2，0)是抛物线 y22px 的焦点，所以 2，p4.x26 y22 p24. 已知双曲线 x2 1 的左顶点为 A1，右焦点为 F2，P 为双曲线右支上一点，则y23 的最小值为_PA1 PF2 答案：2解析：设点 P(x，y)，其中 x1.依题意得 A1(1，0)，F 2(2，0)，由双曲线方程得y23(x 21). (1x，y)(2x，y)(x1)(x2)PA1 PF2 y 2x 2y 2x2x 23(x 21)x24x 2x54 ，其中 x1.因此，(x18)2 8116当 x1 时， 取得最小值2.PA1 PF2 5. 已知椭圆 C： y 21 的两焦点为 F1，F 2，点 P(x0，y 0)满足 y 1，则x22 20PF1PF 2的取值范围为_答案：2，2 2解析：当 P在原点处时，PF 1PF 2取得最小值 2；当 P在椭圆上时，PF 1PF 2取得最大值 2 ，故 PF1PF 2的取值范围为2，2 2 21. 圆锥曲线的统一定义平面内到一个定点 F和到一条定直线 l(F不在 l上)的距离的比等于常数 e的轨迹当 01时，它表示双曲线；当 e1 时，它表示抛物线2. 曲线的方程与方程的曲线在直角坐标系中，如果某曲线 C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个2二元方程 f(x，y)0 的实数解建立了如下的关系：(1) 曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2) 以这个方程的解为坐标的点都在曲线 C上，那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线(图形)3. 平面解析几何研究的两个主要问题(1) 根据已知条件，求出表示曲线的方程；(2) 通过曲线的方程研究曲线的性质4. 求曲线方程的一般方法(五步法)求曲线(图形)的方程，一般有下面几个步骤：(1) 建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点 M的坐标；(2) 写出适合条件 p的点 M的集合 PM|p(M)；(3) 用坐标表示条件 p(M)，列出方程 f(x，y)0；(4) 化方程 f(x，y)0 为最简形式；(5) 说明已化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上.题型 1 最值问题例 1 如图，椭圆 C： 1(ab0)的离心率为 ，其左焦点到点 P(2，1)的距x2a2 y2b2 12离为 .不过原点 O的直线 l与 C相交于 A，B 两点，且线段 AB被直线 OP平分10(1) 求椭圆 C的方程；(2) 求ABP 面积取最大值时直线 l的方程解：(1) 设椭圆左焦点为 F(c，0)，则由题意得 得（ 2 c） 2 1 10，ca 12， ) c 1，a 2.)所以椭圆方程为 1.x24 y23(2) 设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，线段 AB的中点为 M.当直线 AB与 x轴垂直时，直线 AB的方程为 x0，与不过原点的条件不符，舍去故可设直线 AB的方程为 ykxm(m0)，由 消去 y，整理得(34k 2)x28kmx4m 2120，y kx m，3x2 4y2 12)则 64k 2m24(34k 2)(4m212)0，x1 x2 8km3 4k2，x1x2 4m2 123 4k2， )所以线段 AB的中点为 M .(4km3 4k2， 3m3 4k2)因为 M在直线 OP：y x上，所以 ，得 m0(舍去)或 k .12 3m3 4k2 2km3 4k2 32此时方程为 3x23mxm 230，则 3(12m 2)0， 所以 ABx1 x2 m，x1x2 m2 33 .)3|x1x 2| ，设点 P到直线 AB的距离为 d，则 d 1 k2396 12 m2 |8 2m|32 22.设ABP 的面积为 S，则 S ABd .其中2|m 4|13 12 36 （ m 4） 2 12 m2m(2 ，0)(0，2 )令 u(m)(12m 2)(m4) 2，m2 ，2 ，u(m)3 3 3 34(m4)(m 22m6)4(m4)(m1 )(m1 )所以当且仅当 m17 7时， u(m)取到最大值故当且仅当 m1 时，S 取到最大值综上，所求直线 l的方7 7程为 3x2y2 20.7变 式 训 练如图，在平面直角坐标系 xOy中，椭圆的中心在原点 O，右焦点 F在 x轴上，椭圆与y轴交于 A、B 两点，其右准线 l与 x轴交于 T点，直线 BF交椭圆于 C点，P 为椭圆上弧AC上的一点(1) 求证：A、C、T 三点共线；(2) 如果 3 ，四边形 APCB的面积最大值为 ，求此时椭圆的方程和 P点坐BF FC 6 23标(1) 证明：设椭圆方程为 1(ab0) ，则 A(0，b)，B(0，b)，T .x2a2 y2b2 (a2c， 0)AT： 1 ，BF： 1 ，解得交点 C( ， )，代入得xa2c yb xc y b 2a2ca2 c2 b3a2 c2 1，满足式，则 C点在椭圆上，即 A、C、T(2a2ca2 c2)2 a2( b3a2 c2)2 b2 4a2c2（ a2 c2） 2（ a2 c2） 2三点共线(2) 解：过 C作 CEx 轴，垂足为 E，则OBFECF. 3 ，CE b，EF c，则 C ，代入 得 1， BF FC 13 13 (4c3， b3) (43c)2 a2(b3)2 b2a22c 2，b 2c 2.设 P(x0，y 0)，则 x02y 2c 2.此时 C ，AC c，S 20 (4c3， c3) 23 5ABC 2c c2，12 4c3 43直线 AC的方程为 x2y2c0，P 到直线 AC的距离为 d |x0 2y0 2c|5，x0 2y0 2c5SAPC dAC c c.只须求 x02y 0的最大值，12 12 x0 2y0 2c5 23 5 x0 2y0 2c3(解法 1) (x02y 0)2x 4y 22x 0y0x 4y 2(x y )3(x 2y )20 20 20 20 20 20 20 206c 2， x 02y 0 c.当且仅当 x0y 0 c时，(x 0 2y0)max c.663 6(解法 2)令 x02y 0t，代入 x 2y 2c 2得(t2y 0)22y 2c 20，即20 20 2046y 4ty 0t 22c 20.(4t) 224(t 22c 2)0，得 t c.当 t c，代入原方程20 6 6解得 x0y 0 c.63 四边形的面积最大值为 c2 c2 c2 ， 6 23 43 6 23 6 23c21，a 22，b 21，此时椭圆方程为 y 21.P 点坐标为 .x22 (63， 63)题型 2 定值问题例 2 如图，椭圆 C0： 1(ab0，a、b 为常数)，动圆x2a2 y2b2C1：x 2y 2t ，b0)，则 1，p2，所以抛物线方程为p2y24x.(2) 抛物线 C的准线方程为 x1，设 M(1，y 1)，N(1，y 2)，其中 y1y24，直线 MO的方程：yy 1x，将 yy 1x与 y24x 联立解得 A点坐标 .同理可得 B点坐标 ，则直线 AB的方程为： ，整理得(y 1y 2)y4x40，故直线 ABy 4y1 4y2 4y1恒过定点(1，0)4. 已知椭圆 E： y 21(a1)的上顶点为 M(0，1)，两条过 M的动弦 MA、MB 满足x2a2MAMB.(1) 当坐标原点到椭圆 E的准线距离最短时，求椭圆 E的方程；(2) 若 RtMAB 面积的最大值为 ，求 a；278(3) 对于给定的实数 a(a1)，动直线 AB是否经过一定点？如果经过，求出定点坐标(用 a表示)；反之，说明理由解：(1) 由题，a 2c 21，d c 2，当 c1 时取等号，此时a2c c2 1c 1ca2112，故椭圆 E的方程为 y 21.x22(2) 不妨设直线 MA的斜率 k0，直线 MA方程为 ykx1，由 y kx 1， x2a2 y21 1， ) 代入整理得(a 2k21)x 22a 2kx0，解得 xA ，2a2ka2k2 1故 A ，(2a2ka2k2 1， 1 a2k2a2k2 1)由 MAMB 知直线 MB的斜率为 ，1k可得 B( ， )，2a2ka2 k2 k2 a2a2 k2则 MA ，1 k22a2ka2k2 1MB .1 1k22a2ka2 k2 k2 12a2a2 k212则 SMAB MAMB12 (1k 2)12 4a4k（ a2k2 1） （ a2 k2） (k1k) 2a4a2(k2 1k2) （ a4 1） .(k1k) 2a4a2(k 1k)2 （ a4 2a2 1）令 k t(t2)，1k则 SMAB .2a4ta2t2 （ a2 1） 2 2a4a2t （ a2 1） 2t 2a42a（ a2 1） a3a2 1当 t 时取“” ， t 2，得 a 1.而(S MAB )max ，故a2 1a a2 1a 2 a3a2 1 278a3 或 a (舍)综上 a3.329716(3) 由对称性，若存在定点，则必在 y轴上当 k1 时，A ，直线 AB过定点 Q .下面证明 A、Q、B 三点(2a2a2 1， 1 a2a2 1) (0， 1 a2a2 1)共线： k AQ1 a2k21 a2k2 1 a21 a2 2a2k1 a2k2（ 1 a2k2） （ 1 a2） （ 1 a2） （ 1 a2k2） 2a2k（ 1 a2） ，k2 1k（ 1 a2）kBQk2 a2a2 k2 1 a21 a22a2kk2 a2（ k2 a2） （ 1 a2） （ 1 a2） （ a2 k2）2a2k（ 1 a2） .k2 1k（ 1 a2）由 kAQk BQ知 A、Q、B 三点共线，即直线 AB过定点 Q .(0，1 a2a2 1)5. 设 A1、A 2与 B分别是椭圆 E： 1(ab0)的左、右顶点与上顶点，直线x2a2 y2b2A2B与圆 C：x 2y 21 相切(1) 求证： 1；1a2 1b2(2) P是椭圆 E上异于 A1、A 2的一点，若直线 PA1、PA 2的斜率之积为 ，求椭圆 E的13方程；13(3) 直线 l与椭圆 E交于 M、N 两点，且 0，试判断直线 l与圆 C的位置关系，OM ON 并说明理由(1) 证明：已知椭圆 E： 1(ab0)，x2a2 y2b2A1、A 2与 B分别为椭圆 E的左、右顶点与上顶点，所以 A1(a，0)，A 2(a，0)，B(0，b)，直线 A2B的方程是 1.xa yb因为 A2B与圆 C：x 2y 21 相切，所以 1，11a2 1b2即 1.1a2 1b2(2) 解：设 P(x0，y 0)，则直线 PA1、PA 2的斜率之积为 kPA1kPA2 y0x0 a y0x0 a ， 1，而 1，所以 b2 a2.结合 1，得13 13 1a2 1b2a24，b 2 .所以椭圆 E的方程为 1.43 x24 3y24(3) 解：设点 M(x1，y 1)，N(x 2，y 2) 若直线 l的斜率存在，设直线 l为 ykxm，由 ykxm 代入 1，得x2a2 y2b2 1.化简得(b 2a 2k2)x22a 2kmxa 2m2a 2b20(0) x1x2x2a2 （ kx m） 2b2，y 1y2(kx 1m)(kx 2m)k 2x1x2km(x 1x 2)m 2 kma2m2 a2b2b2 a2k2 a2k2m2 a2b2k2b2 a2k2 m2 .因为 0，所以 x1x2y 1y20.代入得(a 2b 2)(2a2kmb2 a2k2) b2m2 a2b2k2b2 a2k2 OM ON m2a 2b2(1k 2)0.结合(1)的 1，得 m21k 2.圆心到直线 l的距离为1a2 1b2d 1，所以直线 l与圆 C相切|m|1 k2 若直线 l的斜率不存在，设直线 l为 xn.代入 1，得 yb . x2a2 y2b2 1 n2a2|n|b ，1 n2a2 a 2n2b 2(a2n 2)解得 n1，所以直线 l与圆 C相切6. 已知曲线 C上动点 P(x，y)到定点 F1( ，0)与定直线 l1x 的距离之比为常3433数 .32(1) 求曲线 C的轨迹方程；(2) 以曲线 C的左顶点 T为圆心作圆 T：(x2) 2y 2r 2(r0)，设圆 T与曲线 C交于点 M与点 N，求 的最小值，并求此时圆 T的方程TM TN 解：(1) 过点 P作直线的垂线，垂足为 D.14 ， ，|PF1|PM| 32 （ x 3） 2 y2|x 433| 32所以该曲线的方程为 y 21.x24(2) 点 M与点 N关于 x轴对称，设 M(x1，y 1)，N(x 1，y 1)，不妨设 y10.由于点 M在椭圆 C上，所以 y 1 .由已知 T(2，0)，则 (x 12，y 1)， (x 12，y 1)，21 TM TN (x 12，y 1)(x1 2，y 1)(x 12) 2y (x 12)TM TN 212 x 4x 13 .由于20. x2 4y，y kx 1)所以 x1x 24k，x 1x24，由 x24y，得 y x2，所以 y x, 所以，直线 AM的斜率为 kAM x1, 14 12 12所以，直线 AM的方程为 yy 1 x1(xx 1)，又 x 4y 1, 12 21所以，直线 AM的方程为 x1x2(yy 1) ，同理，直线 BM的方程为 x2x2(yy 2) ，并据 x1x 2得点 M的横坐标 x ， x1 x22即 A、M、B 三点的横坐标成等差数列(2) 解：由易得 y1，所以点 M的坐标为(2k，1)(k0). 所以 kMF ， 则直线 MF的方程为 y x1，2 2k 1k 1k设 C(x3，y 3)，D(x 4，y 4) 15由 消去 y，得 x2 x40，显然 160, x2 4y，y 1kx 1) 4k 16k2所以 x3x 4 ，x 3x44，4k又|AB| （ x1 x2） 2 （ y1 y2） 2 （ 1 k2） （ x1 x2） 2 4(k 21)，（ 1 k2） （ x1 x2） 2 4x1x2|CD| （ x3 x4） 2 （ y3 y4） 2（ 1 1k2） （ x3 x4） 2 4 ，(1 1k2)（ x3 x4） 2 4x3x4 (1k2 1)因为 kMFkAB1，所以 ABCD ，所以 SACBD |AB|CD|8 8 32, 12 (1k2 1)(k2 1) (k2 1k2 2)当且仅当 k1 时，四边形 ACBD面积取到最小值 32.2. 已知椭圆 C： 1(ab0)的离心率 e ，一条准线方程为 xx2a2 y2b2 63 362(1) 求椭圆 C的方程；(2) 设 G、H 为椭圆 C上的两个动点，O 为坐标原点，且 OGOH. 当直线 OG的倾斜角为 60时，求GOH 的面积； 是否存在以原点 O为圆心的定圆，使得该定圆始终与直线 GH相切？若存在，请求出该定圆方程；若不存在，请说明理由解：( 1) 因为 ， ，a 2b 2c 2, ca 63 a2c 362解得 a3，b ，所以椭圆方程为 1.3x29 y23(2) 由 解得 y 3x，x29 y23 1， ) x2 910，y2 2710， )由 得 y 33x，x29 y23 1， ) x2 92，y2 32， )所以 OG ，OH ，所以 SGOH .3105 6 3155 假设存在满足条件的定圆，设圆的半径为 R，则 OGOHRGH，因为 OG2OH 2GH 2，故 ， 1OG2 1OH2 1R2当 OG与 OH的斜率均存在时，不妨设直线 OG方程为 ykx, 由 得 所以 OG2 ， y kx，x29 y23 1， ) 9 9k21 3k2同理可得 OH2 ，(将 OG2中的 k换成 可得) 9k2 93 k2 1k ，R ， 1OG2 1OH2 49 1R2 32当 OG与 OH的斜率有一个不存在时，可得 ， 1OG2 1OH2 49 1R216故满足条件的定圆方程为：x 2y 2 .943. 已知椭圆 C的方程为 1(ab0)，双曲线 1 的两条渐近线为x2a2 y2b2 x2a2 y2b2l1、l 2，过椭圆 C的右焦点 F作直线 l，使 ll 1.又 l与 l2交于 P点，设 l与椭圆 C的两个交点由上至下依次为 A、B(如图)(1) 当 l1与 l2夹角为 60，双曲线的焦距为 4时，求椭圆 C的方程；(2) 当 ，求 的最大值FA AP 解：(1) 双曲线的渐近线为 y x，ba两渐近线夹角为 60，又 1，baPOx30，即 tan30 .ba 33a b.3又 a2b 24，a 23，b 21.故椭圆 C的方程为 y 21.x23(2) 由已知 l：y (xc)，与 y x解得 P .ab ba (a2c， abc)由 ，得 A .FA AP (c a2c1 ， abc1 )将 A点坐标代入椭圆方程，得(c 2a 2)2 2a4(1) 2a2c2.(e 2) 2 2e 2(1) 2. 2 332 .e4 e2e2 2 （ 2 e2） 22 e2 2 的最大值为 1.24. 在平面直角坐标系 xOy中，已知点 A(1，1)，P 是动点，且POA 的三边所在直线的斜率满足 kOPk OAk PA.(1) 求点 P的轨迹 C的方程；(2) 若 Q是轨迹 C上异于点 P的一个点，且 ，直线 OP与 QA交于点 M，问：PQ OA 是否存在点 P，使得PQA 和PAM 的面积满足 SPQA 2S PAM ？若存在，求出点 P的坐标；若不