层次分析法的基本原理和步骤

3-1 层次分析法的基本 原理和步骤 3-2 模糊层次分析方法 AHP model and its application 2/56 * 一、递阶层次结构建立 1.1、递阶层次结构及组成 二、构造比较判断矩阵 四、层次总排序 前言 1、背景知识 2、基本思想与建模步骤 1.2、四个注意点 2.1、两两比较法 2.2、 比较判断矩阵 的四个说明 3.1、单准则下的排序 三、单准则下的排序 及一致性检验 3.2、一致性的检验 4.1、层次总排序的步骤 4.2、总排序一致性检验 五、判断矩阵的调整 六、群组决策 6.1、 比较判断矩阵 综合法 6.2、权重向量综合排序法 3/56 * 人们在各项日常活动中，常常会面对一些决策问 题。比如，大学毕业生对职业的选择，他们会从专业 对口、发展潜力、单位的名气、地点、收入等各方面 加以考虑，比较，判断，然后进行决策。假如有 m个 单位可供选择，你会选择哪一个？ 随着人们面对的决策问题越来越复杂，例如，科 研成果的评价、综合国力（地区综合实力）比较、各 工业部门对国民经济贡献的比较、企业评估、人才选 拔等问题。项目决策者与决策的模型及方法之间的交 互作用变得越来越强烈和越来越重要。许多问题由于 结构复杂且缺乏必要的数据，很难用数学模型来解决 。 1、背景知识 4/56 * 由美国运筹学家 T.L.saaty教授在 70年代中期提出 的 层次分析法 （ Analytic Hierarchy Process）简称 AHP ，是指将决策问题的有关元素分解成 目标、准 则、方案 等层次，在此基础上进行定性分析和定量 分析的一种决策方法 . 这一方法的特点，是在对复杂 决策问题的本质、影响因素及其内在关系等进行深 入分析之后，构建一个 层次结构模型 ，然后利用较 少的定量信息，把决策的思维过程数学化，从而为 求解多准则或无结构特性的复杂决策问题提供一种 简便的决策方法。 5/56 * 层次分析法的发展过程可追溯到上个世纪的 70年代初 期， 1971年，美国匹兹堡大学数学教授在为美国国防 部研究 “应急计划 ”中，充分注意到了当前社会的特点 及很多决策科学方法的弱点。他开始寻求一种能综合 进行定量与定性的决策方法，这种方法不仅能够保证 模型的系统性、合理性，又能让决策人员充分运用其 有价值的经验与判断能力。 Saaty教授在 1972年发表用 其有价值的经验与判断能力。 Saaty教授在 1972年发表 了 “用于排序和计划的特征根分配模型 ”。之后， Saaty 教授又发表了一系列关于 AHP应用方面的文章。 1977 年获得了美国管理研究院的最佳应用研究成果奖。同 年， Saaty教授在第一届国际数学建模会议上发表了 “ 无结构决策问题的建模 层次分析理论 ”,从此 ,AHP 方法开始受到人们的关注，得到深入的研究和应用。 6/56 * AHP的应用范围十分广泛，涉及面主要有以下 几个方面： 经济与计划 ; 能源政策与资源分配 ; 政治问题及冲突 ; 人力资源管理 ; 预测 ; 项目评价 ; 教育发展 ; 环境工程 ; 医疗卫生 ; 企业管理与生产经营决策 ; 会计 ; 军事指挥，武器评价 . 以上种种只是给出一些总体范围，在每个范畴内， 又有许多不同的应用。 7/56 * 2、基本思想与建模步骤 层次分析法的基本思路与人们对复杂的决策问题的 思维判断过程大体一样的。当一个决策者在对问题进 行分析时，首先要将分析对象的因素建立起彼此相关 因素的层次递阶系统结构，这种层次递阶结构可以清 晰地反映出诸相关因素（目标、准则、对象）的彼此 关系，使得决策者能够把复杂的问题顺理成章。然后 进行逐一比较、判断，从中选出最优的方案。 运用层次分析法建模，大体上分成四个步骤 : 建立递阶层次结构； 构造比较判别矩阵； 在单准则下的排序及一致性检验； 总的排序选优。 8/56 * 层次分析法首先把决策问题层次化。所谓层次 化根据问题的性质以及要达到的目标，把问题分解 为不同的组成因素，并按各因素之间的隶属关系和 关联程度分组，形成一个不相交的层次。 引例 大学毕业生对职业的选择。假设有四个单位可 供他们选择，他们会从专业对口、发展潜力、单位 的名气、地点、收入等多方面进行反复的考虑、比 较，从中选出自己最满意的职业。按照这种思路， 我们可以得到这样的分析图（见图 3-1）。 1.1、递阶层次结构及组成 9/56 * 满意的职业 专 业 对 口 发 展 潜 力 单 位 名 气 地 点 收 入 单位 1 单位 2 单位 3 单位 4 图 3-1 最佳职业的递阶层次结构 10/56 * 在 AHP方法中，首先要建立决策问题的递阶层次 结构的模型，通过调查分析弄清决策问题的范围 和目标，问题包含的因素，各因素之间的相互关 系。然后将各个因素按照他们的性质聚集成组， 并把它们的共同特征看成是系统中高一层次的一 些因素。如此构成一个以目标、若干准则层及方 案层所组成的递阶层次结构。 在图 3-1中上一层次的元素对相邻的下一层次的全 部或部分元素起支配作用，从而形成一个自上而 下的逐层支配关系。具有这种性质的结构称为 递 阶层次结构 。典型的 递阶层次结构 见下面图 3-2。 11/56 * 层次分析法先将层次分为若干层次。最高一层称 为 目标层 ，这一层中只有一个元素，就是该问题要达 到目标或理想的结果；中间层为 准则层 ，层中的元素 为实现目标所采用的措施、政策、准则等。准则层中 可以不止一层，可以根据问题规模的大小和复杂程度 ，分为 准则层、子准则层 ；最低一层为 方案层 ，这一 层包括了实现目标可供选择的方案。 在递阶层次结构中，各层均由若干因素构成。当 某个层次包含因素较多时，可将该层次进一步划分成 若干子层次。通常应使各层次中的各因素支配的元素 一般不超过 9个，这是因为支配元素过多会给两两比 较带来困难。 12/56 * 决策目标 准则 1 准则 2 准则 3 准则 m 子准则 1 子准则 2 子准则 n 方案 1 方案 2 方案 3 方案 t 图 3-2 典型递阶层次结构 目标层 准则层 方案层 13/56 * 整个结构不受层次限制； 一个好的递阶层次结构对解决问题极为重要，因 此在建立递阶层次结构时，应注意到： 从上到下顺序地存在支配关系，用直线段表示 上一层次因素与下一层次因素之间的关系，同一 层次及不相邻元素之间不存在支配关系； 最高层只有一个元素，每个元素所支配元素一 般不超过 9个。元素过多可进一步分层； 对某些具有子层次结构可引入虚元素，使之成 为典型递阶层次结构。 1.2、四个注意点 14/56 * 递阶层次结构是最简单的层次结构形式。在实际问题 中我们常常会遇到更复杂的层次结构。如层次内部因 素之间存在相互影响类型的内部依存层次结构（例如 以行驶性能为目标对各种型号汽车作评价时，准则层 有刹车、转向、加速、运行等，这些准则之间就是相 关的。）；下层反过来对上层有支配作用，形成循环 ，从而无法区分上下层类型的反馈层次结构（例如可 以用教学、科研等多项指标评价几位教师，也可以反 过来对于每一个教师比较他的教学、科研等哪一方面 表现最为突出，从而在指标层和对象层之间形成循环 ）。在这里我们只讨论递阶层次结构，其余的模型读 者可参阅其他文献。 15/56 * 在建立递阶层次结构后，上下层元素间的隶属关系 就被确定了。假设以上一层次元素 C为准则，所支 配的下一层次的关系为 u1,u2, un，我们的目的是要 按它们对于准则 C相对重要性赋予 u1,u2, un相应的 权重。对于有些问题可以直接给出权重，如学生的 考试成绩、某工程的投资额 。但在大多数社会 经济活动中 ,尤其是较复杂的问题中，元素的权重无 法直接获得，这就需要通过适当的方法导出它们的 权重。 AHP所用导出权重的方法就是两两比较方法 。 2.1、两两比较法 16/56 * 两两比较法具体方法是 ： 当以上一层次某个因素 C作 为比较准则时，可用一个比较标度 aij来表达下一层次 中第 i个因素与第 j个因素的相对重要性（或偏好优劣 ）的认识。 aij的取值一般取正整数 19 （称为标度） 及其倒数。由 aij构成的矩阵称为比较判断矩阵 A=(aij) 。关于 aij取值的规则见表 3-1。 表 3-1 元素 aij取值的规则 元素 标 度 规 则 aij 1 以上一 层 某个因素 为 准 则 ，本 层 次因素 i与因素 j相比 ，具有同 样 重要。 3 以上一 层 某个因素 为 准 则 ，本 层 次因素 i与因素 j相比 ，i比 j稍微重要。 5 以上一 层 某个因素 为 准 则 ,本 层 次因素 i与因素 j相比 ，i比 j明 显 重要。 7 以上一 层 某个因素 为 准 则 ,本 层 次因素 i与因素 j相比 ，i比 j强 烈重要。 9 以上一 层 某个因素 为 准 则 ，本 层 次因素 i与因素 j相比 ，i比 j极端重要。 17/56 * 比较判断矩阵的特点 ： aij取值也可以取上述各数的中值 2， 4， 6， 8及其倒数， 即若因素 i与因素 j比较得 aij，则因素 j与因素 i比较得 1/aij 。 具有上述三个特点的 n阶矩阵称为 正互反矩阵。 18/56 * 在引 例的 图 3-1中 , 以满意 的职业为准则 (C), 支配 着 5个因素 : 对专业对口 (u1)、发展潜力 (u2)、单位 名气 (u3)、地点 (u4)、收入 (u5)五个因素作出成对比 较，得到比较判断矩阵 仔细分析比较判断矩阵 A可以发现，既然 u1与 u2之比为 1:(1/3), u1与 u3之比为 1:3, 那么 u2与 u3之比应该为 1:9, 而不是 1:5， 这样才能说明问题是合理的。也就是中 的 所有的的元素 aij必须具有传递性，即 aij满足等式 ： aijajk=aik， i,j,k=1,2, n。 19/56 * 定义 3.1.1 设 n阶矩阵 A=(aij)为正互反矩阵 , 若对于一 切 i,j,k,都有 aijajk=aik, i,j,k=1,2, n,称 A为 一致矩阵 . 由比较判断矩阵 A知，在对 n个因素比较中，我们只 要作 n(n-1)/2次成对比较即可。但要求这 n(n-1)/2次 断矩阵 A一定满足一致性。比较全部一致，太苛刻 在实际工作中，我们并不要求比较判断矩阵 A一定 要满足一致性 . 关于比较判断矩阵，有以下四个问题需要我们进一 步说明： 2.2、 比较判断矩阵 的四个说明 20/56 * 为什么要用两两比较？ 涉及到社会、经济、人文等因素的决策问题的主 要困难在于，这些因素通常不易定量地测量。人们往 往凭自己的经验和知识进行判断。当因素较多时给出 的结果是不全面和不准确的。如果只是定性结果，又 常常不被人们接受。如果采用把所有的因素放在一起 两两比较，得到一种相对的标度，既能适应各种属性 测度，又能充分利用专家经验和判断，提高准确度。 其二，在比较判断矩阵建立上，教授采用了 19 比 例标度，这是因为人们在估计成对事物的差别时， 用五种判断级别就能很好地表示，即相等、较强、 强、很强、极强表示差别程度。如果再细分，可在 相邻两级中再插入一级，正好 9级，用 9个数字来表 达就够用了。 为什么要用 19 比例标度？ 21/56 * 一般地在一个准则下被比较的对象不超过 9个 , 是 因为心理学家认为，进行成对比较因素太多将超出人 的判断能力。最多大致在 72范围，如果以 9个为限， 用 19 比例标度表示它们之间的差别正合适。 为什么要限制比较个数不超过 9? 为什么要比较 n(n-1)/2次 ? 最后，在把 n个因素与某个因素进行比较时 ,有人认为 只需要进行 n-1次就可以了。这种做法的弊病在于， 任何一个判断的失误都可能导致不合理的排序，对于 难以定量的系统更应该尽量避免判断失误。进行 n(n-1)/2次成对比较，可以提供更多的信息量，从不 同角度进行比较，以得到一个合理的排序。 22/56 * 例 1 某一个顾客选购电视机时，对市场正在出售的四 种电视机考虑了八项准则作为评估依据，建立层次分 析模型如图 3-3所示，对之构造比较判断矩阵。 选购电视机 品 牌 耗 电 量 厂 家 信 誉 售 后 服 务 清 晰 度 外 形 价 格 尺 寸 A B C D 23/56 * 解： 构造比较判别矩阵如表 3-2。 表 3-2 满意电视机的比较判别表满意的 电视机 品 牌 外 形 价 格 尺 寸 耗电 量 厂家 信誉 清晰 度 售后 服务 品牌 1 5 3 5 1/3 1/5 1/3 1/4 外形 1/5 1 1/3 5 1/5 1 1/5 1/7 价格 1/3 1/3 1 6 3 4 6 5 尺寸 1/5 1/5 1/6 1 1/3 1/4 1/7 1/8 耗电量 3 5 1/3 3 1 2 3 2 厂家信誉 5 1 1/4 4 1/2 1 1/5 1 清晰度 3 5 1/6 7 1/3 5 1 2 售后服务 4 7 1/5 8 1/2 1 1/2 1 24/56 * 例 2 设某港务局要改善一条河道的过河运输条件，为 此需要确定是否建立桥梁或隧道以代替现有的轮渡。 分析： 在此问题中，过河的方式的决策取决于过河 方式的效益与代价（即成本）的之比通常我们用费 效比（即效益 /代价）作为选择方案的标准。为此 我们分别给出下面两个层次结构，它们分别考虑了 影响过河的效益与代价的因素，这些因素可分为三 类：经济的、社会的和环境的。 25/56 * 过河的效益 A 经济效益 B1 社会效益 B2 环境效益 B3 节 省 时 间 C1 建 筑 就 业 C5 民 间 商 业 C3 当 地 商 业 C4 收 入 C2 安 全 可 靠 C6 交 往 沟 通 C7 自 豪 感 C8 舒 适 C9 进 出 方 便 C10 美 化 C11 桥梁 D1 隧道 D2 渡船 D3 26/56 * 过河的代价 a 经济代价 b1 社会代价 b2 环境代价 b3 资 金 投 入 c1 冲 击 渡 船 业 c3 操 作 维 护 c2 冲击 地方 生活 方式 c4 交 通 拥 挤 c5 居 民 搬 迁 c6 汽 车 排 放 物 c7 对 水 的 污 染 c8 对 生 态 破 坏 c9 桥梁 d1 隧道 d2 渡船 d3 27/56 * 注意， 上面两个模型中的判断依据都是由决策者 自行设计的（这就需要用到设计者的专业知识）。 决策的制定将取决于根据两个层次结构确定的方案 的效益权重与代价权重之比。 例如 :我们构造过河的效益比较判别矩阵如下： 1 7 5B3 1/71 1/5 B2 1/5 5 1B1 B3 B2 B1过河的效益 28/56 * 3.1、单准则下的排序 层次分析法的信息基础是比较判断矩阵。由于每 个准则都支配下一层若干个因素，这样对于每一个准 则及它所支配的因素都可以得到一个比较判断矩阵。 因此根据比较判断矩阵如何求出各因素 u1,u2, un , 对 于准则的相对排序权重的过程称为 单准则下的排序 。 计算权重 w1,w2, wn的方法有许多种，其中特征 根方法是 AHP中比较成熟并得到广泛应用的方法，它 对于 AHP的发展在理论上和实践上都有重要意义。 特征根方法的理论依据是正矩阵的 Perron定理 ，它保证了所得到的排序向量的正值性和唯一性。 特征根方法的理论依据 29/56 * 定理 3.1.1 (Perron定理 ): 设 n阶方阵 AO, lmax为 A的模最大特征根，则 lmax必为正特征根 ,且对应特征向量为正向量； 对于 A的任何其它特征值，恒有 |l|0.1, CR2=0.2130.1, CR3=0.1170.1, CR6=0.1700.1, 因此第 1， 2， 3， 6个比较判断矩阵 的一致性没有通过，需要对比较判断矩阵进行修改。 而第 4， 5， 7， 8个比较判断矩阵通过一致性检验。 46/56 * 计算同一层次中所有元素对于最高层 (总目标 )的 相对重要性标度 (又称排序权重向量 )称为 层次总排序 。为了把这个问题搞清楚，来看一个事实。 设有五块石头 A1,A2,A3,A4,A5分成两组。第一组由 A1,A2组成，第二组由 A3 ,A4,A5组成。这两组石头可看 成一块石头分裂成石块 A1,A2,A3,A4,A5 。 把系统划分 成三个层次 , 如图 3-4所示 重量 第一组 第二组 A3 A4 A5A1 A2 图 3-4 分裂成石块的巨砾 47/56 * 已知最高层对第二层的排序向量为 而第三层对第二层单准则的排序为 则第三层五个元素相对总重量的排 序权值向量为 48/56 * 4.1、层次总排序的步骤 计算同一层次所有因素对最高层相对重要性的排序 权向量，这一过程是自上而下逐层进行； 层次总排序的步骤为： ； 设已计算出第 k-1层上有 nk-1个元素相对总目标的排 序权向量为： 第 k层有 nk个元素 ,它们对于上一层次 (第 k-1层 )的某 个因素 ui 的单准则排序权向量为 (对于与 k-1层第 i个元素无支配关系的对应 uij取值为 0); 第 k层 nk个元素相对总目标的排序权向量为 49/56 * 4.2、总排序一致性检验 人们在对各层元素作比较时，尽管每一层中所用的比 较尺度基本一致，但各层之间仍可能有所差异，而这 种差异将随着层次总排序的逐渐计算而累加起来，因 此需要从模型的总体上来检验这种差异尺度的累积是 否显著，检验的过程称为层次总排序的 一致性检验 。假设第 k-1层第 j个因素为比较准则，第 k层的一致性检 验指标为 则第 k层各因素两两比较的层次单排序一致性指标为 平均随机一致性指标为 50/56 * 可认为评价模型在 k层水平上整个达 到局部满意一致性 . 层次分析法的基本步骤为以下四步： (总排序 )即计算各方案对总系统目标排序权向量。 建立系统的递阶层次结构； 构造两两比较判断矩阵； 计算下一个层次对上一层的某个准则的排序权向量 ; 下面举例来说明层次分析法的基本步骤。 51/56 * 例 5 某工厂在扩大企业自主权后，有一笔留成利润， 要由厂领导和职代会来决定如何使用，可供选择的方 案有： P1 发奖金； P2 扩建集体福利事业； P3 办职工业余技校； P4 建图书馆、俱乐部； P5 引进新设备。这些方案都各具有其合理的因素 ，因此如何对这些方案进行综合评价，并由此进行方 案排序及优选是厂领导和职代会面临的实际问题。 分析： 上述问题属于方案排序与优选问题，且各待选 方案的具体内容已经确定，故可采用 AHP法来解决。 解： 建立方案评价的递阶层次结构模型。 该模型最高一层为总目标 A：合理使用企业利润。 52/56 * 第二层设计为方案评价的准则层 ,它包含有三个准则： 最低层为方案层，它包含从 P1 P5五种方案 . 其递阶层次结 构如图 3-5： B1：进一步调动职工劳动积极性； B2：提高企业技术水平； B3：改善职工物质与文化生活。 合理使用企业利润 A B1 B2 B3 P1 P2 P3 P4 P5 图 3-5 合理分配利润的递阶层次结构 53/56 * 构造比较判断矩阵 分别给出第三层对第二层的 三个比较判别矩阵： 54/56 * 层次单排序及其一致性检验 对于上述各比较判断矩阵，用 Matlab数学软件求出其最 大的特征值及其对应的特征向量，将特征向量经归一化 后，即可得到相应的层次单排序的相对重要性权重向量 ，以及一致性指标 CI和一致性比例 CR，见表 3-5。 表 3-5 合理使用企业利润的计算结果 矩阵 层次单排序的权重向量 lmax CI RI CR A-B (0.1047,0.6370,0.2583)T 3.0385 0.0193 0.58 0.0332 B1-P (0.4956,0.2319,0.0848,0.1374,0.0503)T 5.0792 0.0198 1.12 0.0177 B2-P (0.0553,0.5650,0.1175,0.2622)T 4.1170 0.0389 0.9 0.0433 B3-P (0.375,0.375,0.125,0.125)T 4 0 0.9 0 由此可见，所有四个层次单排序的 CR的值均小于 0.1，符合满意一致性要求。 55/56 * 层次总排序 已知第二层 (B层 )相对于总目标 A的排序向量为 而第三层 (P层 )以第二层第 i个因素 Bi为准则时的排 序向量分别为： 56/56 * 则第三层 (P层 )相对于总目标的排序向量为 57/56 * 层次总排序的一致性检验 总排序一致性通过。 58/56 * 结论： 某工厂合理使用企业留成利润这一总目标，所考虑的 五种方案排序的相对优先排序为： P3(开办职工业务技校 )，权重为 0.4011； P5(引进新技术设备 )，权重为 0.1723； P2 (扩建集体福利事业 )，权重为 0.1564； P1(发奖金 )，权重为 0.1488； P4(建图书馆，俱乐部 )，权重为 0.1215. 厂领导和职代会可根据上述分析结果，决定各种 方案的实施先后次序，或决定分配使用企业留成 利润的比例。 Matlab程序（详见 P195197，从略） 59/56 * 经验调整法 ：让专家对判断矩阵的某些元素进行重 新调整，这类方法存在着一定的主观随意性，缺乏理 论科学依据； 当一个比较判断矩阵过于偏离一致性时，其可靠程度 就值得怀疑了，这时就必须对判断矩阵进行调整。在 实际应用中，需要对判断矩阵进行多次调整，才能够 通过一致性检验。目前，关于修正判断矩阵的方法有 多种，大致分成三类 : 用一定的方法 , 构造一个完全一致的判断矩阵 , 通过 甲醛方法提取原始判断矩阵与完全一致矩阵的信息 ,以 达到调整的目的。此类方法具有一定的盲目性； 利用矩阵元素的变化与一致性之间的关系，确定影 响一致性的关键元素并进行调整。此类方法对原始判 断矩阵的元素改变较少，保留了较多的原始信息。 60/56 * 下面介绍一种属于第三类的判断矩阵调整方法，称 之为 AHP判断矩阵一致性调整的前瞻算法。 具体算 法如下： 构造矩阵 。 是判断矩阵 A中的元素 aij用 aikakj ( 称为元素 aij的第 k种间接判断 )替换，而 aji用 1/aikakj替 换后得到的矩阵，即 ，其中 由于 askakt可能大于 9， 1/askakt可能小于 1/9 ，这与判断 矩阵的定义不相符合，需要进行微调，作微调如下： 61/56 * 计算以 及 Dij x表示对 x进行四舍五入取整。 以后所有的矩阵 都是经过微调得到的矩阵，由于 是成对的微调，故有 。 是矩阵 A中的元素 aij进行第 k种调整后一致性比 率变小的数值，表征着 aij进行第 k种调整对矩阵一致 性的改善程度。 62/56 * n-2种可能改善程度 . 说明第 k种调整无助于甚至有碍于改善判断矩阵的一 致性，因此在算法实现中令它为零。 共有 设 N=1,2, ,n,计算 Dij是判断矩阵 A中的元素 aij的 n-2个可能改善程度的最 大值，又称 Dij为元素 aij的不一致程度。若 Dij=0，说明 aij的所有调整方向都无助于改善判断矩阵的一致性。 63/56 * 计算 Tij 。 Tij是 aij对矩阵一致性的最大可能改善程度 Dij所 对应的调整策略序号。称 aij的第 Tij种调整方法为 aij 的最优调整方向，若 Dij =0 ，说明 aij的所有调整方 向都无助于改善判断矩阵的一致性，令 Tij =0 ，构 造矩阵 T=(Tij )nn，则 T是对称矩阵。 选 D为 (D ij )nn中最大元素，确定该元素所在的行与 列，找到判断矩阵相对应的元素就是最矛盾（不一 致）元素。对它按上述方法进行调整，直到得到通 过一致性检验。 64/56 * 解 例 5 求 的排序向量，并检验一致性。 使用 MATLAB计算，得排序向量为： 一致性比例 没有通过一致性检验， 需要进行调整。调整过程如下： 65/56 * 66/56 * 67/56 * D13=0.1361是的最大元素，相应判断矩阵元素 a13 是矛盾元素，需要调整。由于对应调整方向是 T13=2, 调整方案是：将 a13用 a12a23替换，即 a13=a12a23=71/8 =7/8，并取 a13=1/1/(7/8)=1. 得到新的判断矩阵 由此得到排序向量 通过了一致性检验。 可以证明，上述的算法是收敛的。 68/56 * 我们知道， AHP方法不仅可以进行定量分析，也可以 进行定性分析，它可以把决策过程中的定量与定性因 素有机地结合起来，用一种统一的方法进行处理。 AHP法改变了最优化技术中只能对定量问题进行处理 的局限。不仅如此，它的方法简单、直观，容易掌握 ，是一种很好的决策方法。但应该看到， AHP方法也 有着应用上的局限，主要有以下三个方面： AHP方法的应用主要是针对那种方案大体确定的决 策问题，即只能从原方案中选优，不能生成新的方案 ; AHP方法比较粗糙，不适应于精度要求很高的决策 问题，对于这类问题，若将 AHP和别的方法结合起来 使用，会得到令人满意的结果； 由于 AHP方法的使用受人的主观因素影响较 大，得到的决策结果不易为众人接受。 69/56 * 针对上述存在的问题 ,我们可以采用 AHP方法与群组 决策相结合的方法 , 尽量使得决策结果得到众人的认可 。 在运用 AHP方法进行决策分析时，评判者往往不是 一个人，而是由若干个专家组成的小组。尤其是在对重 大问题的决策分析时，评判者有时甚至是一个庞大的专 家团，这就会遇到群组判断问题。专家群组的判断是否 符合客观实际，将对定权产生直接的影响。 若干个专家参加决策，各个专家都可以给出一个比 较判断矩阵，如何根据这众多的比较判断矩阵进行最终 决策，我们给出两类处理方法 :一类是将各个专家的比 较判断矩阵综合成一个判断矩阵，然后求出这个矩阵的 排序向量 ,称此法为 比较判断矩阵综合法 ；另一类是先 求出各个专家的排序向量，然后再将它们综合成群组排 序向量。称此法为 权重向量综合法 。 70/56 * 6.1、 比较判断矩阵 综合法 加权几何平均法 设由 s个专家的的评判矩阵为 ， 构造综合判断矩阵 , 其中 其中 lk是第 k个专家的权重。然后再选用单准则下权 重向量的算法，求出综合判断矩阵的排序向量。 由数理统计的知识，我们对矩阵 A进行分析， 计算总体标准差 当总体标准差 sije， 这组群组判断可采用 。 这里 e是 事先给定的值 ， 通常取 e 0.5,1。 71/56 * 加权算术平均法 设由 s个专家的的评判矩阵为 ， 构造综合判断矩阵 , 其中 其中 lk是第 k个专家的权重。然后再选用单准则下权 重向量的算法，求出综合判断矩阵的排序向量。 应当注意的是 ：无论采用加权几何平均法还是采 用加权算术平均法后的综合判断矩阵都已失去正 互反性了。 72/56 * 6.2、权重向量综合排序法 加权几何平均法 设第 k个专家给出的排序向量为 对 s个排序向量进行加权几何平均，得到排序向量： 73/56 * 由数理统计的知识，我们对所求的 W进行分析。 即计算 由此建立一个新的总体判断矩阵 计算总体标准差 表示第 k个专家给出的判断矩阵的第 i行第 j列的元素 . 74/56 * 计算个体的标准差 : 当总体标准差 这组群组判断可采用 .当 时，可认为第 k个 专家的评判通过，个体 否则将信息反馈给有关专家，供修改时参考。 75/56 * 加权算术平均综合排序向量法 设由 s个专家的的评判矩阵，得到 s个排序向量： 对 s个排序向量进行加权算术平均 ,得到排序向量： 按照上述的分析，计算各个标准差，将信息反馈 给有关专家供参考。 76/56 * 例 1 某个企业科技实力评价系统 设计企业科技实力评价的层次结构模型 设计企业科技实力评价指标体系 , 应遵循下面 7个原则 : 整体性原则 . 指标体系应涵盖权衡企业科技实力的 基本内容，诸如硬科学和软科学水平、科技现状、科 技成果及其产业化程度等 . 简要性原则 . 指标体系要层次分明，简明扼要；每 个指标要内涵清晰，相对独立 . 导向性原则 .