2019届高三上学期数学理科期中试卷附答案

2019届高三上学期数学理科期中试卷附答案2018年秋季学期期中考试高三数学(理)试卷（考试时间120分钟 满分150分）命题人： 审题人：注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的考号、姓名、考场、座位号、班级在答题卡上填写清楚。2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。在试卷上作答无效。第卷一选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1设集合Ux|xb0)的左、右焦点，点P(1，32)在椭圆E上，且|PF1|PF2|4(1)求椭圆E的方程；(2)过F1的直线l1，l2分别交椭圆E于A，C和B，D，且l1l2，问是否存在常数，使得1|AC|，1|BD|成等差数列？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由21（本题满分12分）已知函数f(x)sin xxcos x(x0)(1)求函数f(x)在区间0，2上的最大值；(2)若对任意x(0，)，不等式f(x)ax3恒成立，求实数a的取值范围请考生在22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分作答时请写清题号22（本题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为2cos ，0，2(1)求C的参数方程；(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y3x2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标23（本题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数f(x)|3x2|(1)解不等式|x1|f(x)；(2)已知mn1(m，n0)，若|xa|f(x)1m1n(a0)恒成立，求实数a的取值范围 2016级高三(上)期中考试数学(答案)(理)一题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 A C B A B B A D D D D C二题号 13 14 15 16答案 1 21 100三17解(1)因为sin2AsinAsinB6sin2B0，sinB0，所以sinAsinB2sinAsinB60，得sinAsinB2或sinAsinB3(舍去)由正弦定理得absinAsinB2.(2)由余弦定理得cosCa2b2c22ab34.将ab2，即a2b代入，得5b2c23b2，得c2b.由余弦定理cosBa2c2b22ac，得cosB(2b)2(2b)2b222b2b528，则sinB1cos2B148.18解：(1)记事件A为“从该快速车道上所有车辆中任取1个，该车辆需矫正速度”因为378.4，289.4，由样本条形图可知，所求的概率为P(A)P(X2)P(X89.4)11004100120.(2)记事件B为“从样本中任取2辆车，这2辆车均需矫正速度”由题设可知样本容量为100，又需矫正速度的个数为5辆车，故所求概率为P(B)C25C21001495.(3)需矫正速度的个数服从二项分布，即B2，120，P(0)C02120019202361400，P(1)C1212011920119200，P(2)C221202192001400，因此的分布列为 0 1 2P 361400192001400数学期望E()2120110.19(1)证明：如图3，连接AC交BD于O点，连接EO，四边形ABCD是菱形， ，E为PC中点， ， 平面ABCD， 平面ABCD， 平面BED，平面 平面ABCD （6分）（）解：四边形ABCD是菱形， ， 平面ABCD， ， ，如图4，建立空间直角坐标系 ， （8分）y轴平面BED，平面BED的法向量为 设F为AB中点，连接CF，菱形ABCD的边长为 ，则 ， 平面PAB，平面PAB的法向量为 ， ，平面PBA与平面EBD所成二面角（锐角）的余弦值为 （12分）20解 (1)|PF1|PF2|4，2a4，a2.椭圆E：x24y2b21.将P(1，32)代入可得b23，椭圆E的方程为x24y231.(2)当AC的斜率为零或斜率不存在时，1|AC|1|BD|1314712；当AC的斜率k存在且k0时，AC的方程为yk(x1)，代入椭圆方程x24y231，并化简得(34k2)x28k2x4k2120.设A(x1，y1)，C(x2，y2)，则x1x28k234k2，x1x24k21234k2.|AC|1k2|x1x2|(1k2)(x1x2)24x1x212(1k2)34k2.直线BD的斜率为1k，|BD|121(1k)234(1k)212(1k2)3k24.1|AC|1|BD|34k212(1k2)3k2412(1k2)712.综上，21|AC|1|BD|712，724.故存在常数724，使得1|AC|，1|BD|成等差数列21解：(1)f(x)xsin x，0x0，x2时f(x)0f(x)在0，上是增函数，在，2上是减函数f(x)maxf()(2)f(x)ax3sin xxcos xax3h(0)0，g(x)0，g(x)在(0，)上单调递增，g(x)g(0)0(不合题意)当3a1，即a13时， h(x)0，h(x)在(0，)上单调递减，h(x)h(0)0，g(x)0，g(x)在(0，)上单调递减，g(x)g(0)0(符合题意)当13a1，即13a0，h()13a0g(x)0，g(x)在(0，x0)上单调递增，存在g(x)g(0)0(不符合题意)，综上，a的取值范围为13，.22解 (1)C的普通方程为(x1)2y21(0y1)可得C的参数方程为x1cos t，ysin t(t为参数，0t). 4分(2)设D(1cos t，sin t)，由(1)知C是以C(1,0)为圆心，1为半径的上半圆因为C在点D处的切线与l垂直，所以直线CD与l的斜率相同，tan t3，t3. 8分故D的直角坐标为1cos 3，sin 3，即32，32. 10分23解 (1)依题设，得|x1|3x2|，所以(x1)2(3x2)2，则x14或x32，故原不等式的解集为xx14或x32.4分(2)因为mn1(m0，n0)，所以1m1n(mn)1m1n2mn