2006年高考试题与答案-全国卷1数学理

2006 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷分第 I 卷（选择题）第 II 卷（非选择题）两部分。第 I 卷 1 至 2 页。第 II 卷 3 至 4 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第 I 卷 注意事项： 1答题前，考生在答题卡上务必用黑色签字笔将自己的姓名、 准考证号填写清楚， 并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。 2每 小 题 选 出 答 案 后 ， 用 2B 铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑 ， 如 需 改 动 ， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。 3本卷共 12 小题，每小题 5 分， 共 60 分。 在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 参考公式： 如果事件 A、B 互斥，那么 球的表面积公式 P（A+B）=P （A） +P（B） S=4 R2 如果事件 A、B 相互独立，那么 其中 R 表示球的半径 P（AB）=P（A） P（B） 球的体积公式 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P，那么 34V n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 其中 R 表示球的半径 nknC)1()( 一选择题 （1 ）设集合 ，则2|,0|2xNxM （A） （B）NMN （C） （D） R （2 ）已知函数 的图像与函数 的图像关于直线 对称，则xey)(xfyxy （A） R） （B） （ ）f()(2 2ln)(f 0 （C） R） （D） （ ）x （3 ）双曲线 的虚轴长是实轴长的 2 倍，则 m=12ym （A） （B）4 （C）4 （D）4 41 （4 ）如果复数 是实数，则实数 m=)(2ii （A）1 （B）1 （C） （D）22 （5 ）函数 的单调增区间为)4tan()xf （A） Z （B） Zkk,2,( kk),1(, （C） Z （D） Z)343 （6 ） ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b 、c . 若 a、b 、c 成等比数列，且acos,2则 （A） （B） （C） （D）41434232 （7 ）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 4，体积为 16，则这个球的表面积是 （A）16 （B）20 （C）24 （D）32 （8 ）抛物线 上的点到直线 距离的最小值是2xy083yx （A） （B） （C） （D）334575 （9 ）设平面向量 a1、a 2、a 3 的和 a1+a2+a3=0. 如果平面向量 b1、b 2、b 3 满足 顺时针旋转 30后与 bi 同向，其中 i=1，2 ，3，则iiib且|,| （A） （B）0321b 01 （C） （D） 32 （10 ）设 是公差为正数的等差数列，若 =80，则na 121,5aa =1321 （A）120 （B）105 （C）90 （D）75 （11 ）用长度分别为 2、3、4、5、6 （单位：cm）的 5 根细木棒围成一个三角形（允许连 接，但 不允许折断） ，能够得到的三角形的最大面积为 （A） cm2 （B） cm28 106 （C） cm2 （D）20cm 253 （12 ）设集合 ，选择 I 的两个非空子集 A 和 B，要使 B 中最小的数大于 A 中,41I 最大的数，则不同的选择方法共有 （A）50 种 （B）49 种 （C）48 种 （D）47 种 2006 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 第卷 注意事项： 1答题前，考生先在答题卡上用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后 贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。 2第 II 卷共 2 页，请用黑色签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答， 在试题卷上 作答无效。 3本卷共 10 小题，共 90 分。 二填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分. 把答案填在横线上. （13 ）已知正四棱锥的体积为 12，底面对角线的长为 ，则侧面与底面所成的二面角62 等于 . （14 ）设 ，式中变量 x、y 满足下列条件xyz2,1,23,1yx 则 z 的最大值为 . （15 ）安排 7 位工作人员在 5 月 1 日至 5 月 7 日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都 不安排在 5 月 1 日和 2 日. 不同的安排方法共有 种.（用数字作答） （16 ）设函数 若 是奇函数，则 = .).0)(3cos()( xxf )(xf 三解答题：本大题共 6 小题，共 74 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17 ） （本小题满分 12 分） ABC 的三个内角为 A、B、C ，求当 A 为何值时, 取得最大值,并2cosCB 求出这个最大值. （18 ） （本小题满分 12） A、B 是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验，每个试验组由 4 只 小白鼠组成，其中 2 只服用 A，另 2 只服用 B，然后观察疗效. 若在一个试验组中，服用 A 有效的小白鼠的只数比服用 B 有效的多，就称该试验组为甲类组. 设每只小白鼠服用 A 有 效的概率为 ，服用 B 有效的概率为 .31 （）求一个试验组为甲类组的概率； （）观察 3 个试验组，用 表示这 3 个试验组中甲类组的个数 . 求 的分布列和 数学期望. （19 ） （本小题满分 12 分） 如图， 、 是相互垂直的异面直线，MN 是它们的公垂线段. 点 A、B 在 上，C1l2 1l 在 上，AM = MB = MN.2l （）证明 ；NBAC （）若 ，求 NB 与平面 ABC 所成角的余弦值.60 （20 ） （本小题满分 12 分） 在平面直角坐标系 中，有一个以 和 为焦点、离心率为xOy)3,0(1F),0(2 的椭23 圆. 设椭圆在第一象限的部分为曲线 C，动点 P 在 C 上，C 在点 P 处的切线与 x、y 轴的交 点分别为 A、B，且向量 . 求：BAM （）点 M 的轨迹方程； （）| |的最小值.O （21 ） （本小题满分 14 分） 已知函数 .1)(axef （）设 ，讨论 的单调性；0)(fy （）若对任意 恒有 ，求 a 的取值范围.,1 （22 ） （本小题满分 12 分） 设数列 的前 n 项的和a ,32,2314nS （）求首项 与通项 ；1na （）设 证明： .,32,1nSTn niT123 2006 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题（必修+选修）参考答案 一选择题 （1）B （2）D （3）A （4）B （5）C （6）B （7）C （8）A （9）D （10）B （11）B （12）B 二填空题 （13） （14）11 （15 ）2400 （16）3 三解答题 （17 ）解：由 ,2,ACBA得 所以有 .sinco 2sinco 1A .3)(si2 当 .co2s,3,21sin取 得 最 大 值时即 CBAA （18 分）解： （）设 A1 表示事件“一个试验组中，服用 A 有效的小白鼠有 i 只” ，i= 0，1 ，2， B1 表示事件“一个试验组中，服用 B 有效的小白鼠有 i 只” ，i= 0，1，2 ， 依题意有 .9432)(,94321)( 21 PP 1.10 所求的概率为 P = P（B 0A1）+ P（B 0A2）+ P（B 1A2） = 9494 . （） 的可能值为 0，1，2，3 且 B （3 ， ） ,72915)(0(3P,4303C8)()2(2.79643P 的分布列为 0 1 2 3 p 215430487964 数学期望 .349E （19 ）解法： （）由已知 l2MN，l 2l 1，MN l1 = M， 可得 l2平面 ABN. 由已知 MNl 1，AM = MB = MN， 可知 AN = NB 且 ANNB 又 AN 为 AC 在平面 ABN 内的射影， ACNB （） Rt CAN = Rt CNB， AC = BC，又已知 ACB = 60， 因此 ABC 为正三角形。 Rt ANB = Rt CNB。 NC = NA = NB，因此 N 在平面 ABC 内的射影 H 是正三角形 ABC 的中心，连结 BH，NBH 为 NB 与平面 ABC 所成的角。 在 Rt NHB 中， .36cos23ABHB 解法二： 如图，建立空间直角坐标系 Mxyz， 令 MN = 1， 则有 A（-1，0，0） ，B （1 ，0，0） ，N （0，1 ，0） 。 （）MN 是 l1、l 2 的公垂线， l2l 1， l 2 平面 ABN， l 2 平行于 z 轴， 故可设 C（0，1，m） 于是 ),01(),(NBA ACNB. （） .|).,1(),1( BCAmBCA 又已知ABC = 60，ABC 为正三角形，AC = BC = AB = 2. 在 Rt CNB 中，NB = ，可得 NC = ，故 C22).2,10( 连结 MC，作 NHMC 于 H，设 H（0， ） （ 0）. ).,1(),10(MHN32C ).32,1(,),0(),3,0( BH则连 结可 得 ,92MCHNBHN 又 HN 平面 ABC，NBH 为 NB 与平面 ABC 所成的角. 又 ).0,1( .362|cos3 4BNH （20 ）解： （）椭圆的方程可写为 ，12bxay 式中 23 ,02aba且 得 ，所以曲线 C 的方程为1,42)0,( 2yxyx221,1 xy 设 ，因 P 在 C 上，有 ，得切线),(0 0200 4|,1, 0yxxyxx AB 的方程为 .)(400yxy 设 A（x，0）和 B（0，y ） ，由切线方程得.,100 由 的 M 的坐标为（x ，y） ，由 满足 C 的方程，得点 M 的轨迹O0,yx 方程为 ).2,1(412yxyx （） |O141222xy 95| 2M 且当 时，上式取等号，13,142 xx即 故 的最小值为 3。O （21 ）解： （） 的定义域为 求导数得)(xf )( ).,1(),(xf对axeaf2)1( （i）当 a=2 时， （0 ，1）和（1 ，+）均大于),(,)(2在xff 0，所以 为增函数。, )(在xf （ii）当 在（，1） ， （1，+）为增函数。2时a)(0)(xff （iii）当 .,时 令 axaxxf 2, ,0)( 21解 得 当 x 变化时， 的变化情况如下表：)(ff和 x)2,(a)2,(a)1,2(a（1，+）)(f + + +x （1，+ ）为增函数，),2( ),()af 在 为减函数。),2()axf在 （） （i）当 时，由（）知：对任意 恒有 0)1,0(x.1)0(fxf （ii）当 时，取 ，则由（）知 2a),(210ax .)(ff （iii）当 时，对任意 ，恒有 ，得,11axe且 .1)(xexfax 综上当且仅当 时，对任意 恒